Fluchtgeschwindigkeit-Vergleich

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, mit der ein von der Erde geworfenes Objekt niemals zurückkehrt — und nutzen Sie diese, um zu erklären, warum die Erde noch Stickstoff besitzt, ihren Wasserstoff langsam verliert und der Mond gar keine Luft hat. Erde: M = 5,972 × 10²⁴ kg, R = 6371 km.

1. „Niemals zurückkehren“ ist eine Aussage über Energie, nicht über Höhe. Die Gravitationskraft nimmt mit der Entfernung ab, erlischt jedoch nie; die Bedingung lautet daher, dass die kinetische Energie mindestens so groß sein muss wie die Tiefe des Gravitationspotenzialtopfs, in dem sich das Objekt befindet.

   $$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}\ge 0$$

2. Man setzt die Gesamtenergie gleich null — der Grenzfall, bei dem das Objekt das Unendliche ohne verbleibende Energie erreicht — und löst auf. Die Masse des geworfenen Körpers kürzt sich heraus, was das erste überraschende Ergebnis ist: Eine Gewehrkugel und ein Felsbrocken benötigen exakt dieselbe Geschwindigkeit.

   $$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

3. Setzt man die Werte für die Erde ein. Dies ist der Wert, den das obige Vergleichswerkzeug anzeigt, wenn die Erde ausgewählt ist, und es ist beachtenswert, dass es sich um eine Geschwindigkeit handelt, nicht um einen Schub: Nichts hier gibt vor, wie man sie erreicht.

   $$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times 10^{-11})(5.972\times 10^{24})}{6.371\times 10^6}}=11186m/s\approx 11.2km/s$$

4. Nutzen Sie nun die Tatsache, dass sich m herausgekürzt hat. Dies gilt für ein Stickstoffmolekül ebenso wie für eine Rakete. Gasmoleküle bewegen sich nicht alle mit derselben Geschwindigkeit, aber die Effektivgeschwindigkeit folgt allein aus der Temperatur.

   $$v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}:{\mathrm{H}}_2\text{at}288\mathrm{K}=1.90km/s,{\mathrm{N}}_2=0.51km/s$$

5. Ein Gas geht nicht in dem Augenblick verloren, in dem ein Molekül die Fluchtgeschwindigkeit überschreitet. Stattdessen entweichen die schnellsten Moleküle am Rand der Geschwindigkeitsverteilung über Milliarden von Jahren. Als Faustregel gilt: Ein Himmelskörper hält ein Gas, wenn seine Fluchtgeschwindigkeit mindestens etwa sechsmal so hoch ist wie die Molekülgeschwindigkeit. Die Werte für den Mond beziehen sich auf seine eigene Temperatur. Da keine Atmosphäre die Wärme verteilt, erreicht die Tagseite etwa 390 K; dadurch steigt die Geschwindigkeit von Stickstoff auf 0,59 km/s.

   $$\frac{v_{\text{esc}}}{v_{\text{rms}}}:\text{Earth},{\mathrm{N}}_2=22\text{Earth},{\mathrm{H}}_2=5.9\text{Moon},{\mathrm{N}}_2=4.0$$

11,2 km/s entkommen der Erde. Der Sonne entkommen sie nicht: sie lassen dich im Griff der Sonne in Erdabstand zurück, in einer Bahn neben dem Planeten, den du gerade verlassen hast. Rechne aus, was das Verlassen des Sonnensystems wirklich kostet.

1. Beginne mit der Zahl auf der Tafel und der Energiebilanz, aus der sie stammt: die kinetische Energie hebt die Tiefe des Gravitationstopfs genau auf.

   $$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times 10^{-11})(5.972\times 10^{24})}{6.371\times 10^6}}=11.19\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

2. Nun wechsle das Zentrum, von dem aus du misst. Die Erde selbst fällt um die Sonne, mit einer Geschwindigkeit, die dasselbe Gesetz eine Astronomische Einheit weit draußen festlegt.

   $$v_{\oplus }=\sqrt{\frac{G{M}_{\odot }}{a}}=\sqrt{\frac{(6.674\times 10^{-11})(1.989\times 10^{30})}{1.496\times 10^{11}}}=29.79\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

3. Der Sonne aus diesem Abstand zu entkommen verlangt das √2-fache der Kreisbahngeschwindigkeit — dieselbe Beziehung wie zuvor, denn die Rechnung kümmert sich nicht darum, welcher Körper dich festhält.

   $$v_{\mathrm{esc},\odot }(1\mathrm{AU})=\sqrt{2}{v}_{\oplus }=1.4142\times 29.79=42.13\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

4. Subtrahiere, und sieh, was dir geschenkt wird. Du bist bereits mit 29,79 unterwegs und brauchst 42,13, es fehlt also nur die Differenz — und die bekommst du umsonst, wenn du in die Richtung startest, in die sich die Erde ohnehin bewegt.

   $$\Delta v=42.13-29.79=12.34\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

5. Aus der Erde musst du trotzdem herausklettern, und es sind die Energien, die sich addieren, nicht die Geschwindigkeiten. Deshalb setzen sich die beiden Werte quadratisch zusammen: die nötige Geschwindigkeit an der Oberfläche ist die Hypotenuse, nicht die Summe.

   $$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{R}=\frac{1}{2}\Delta v^2⟹v=\sqrt{v_{\mathrm{esc}}^2+\Delta v^2}=\sqrt{11.19^2+12.34^2}=16.65\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

6. Nun dreh dich um und starte gegen die Erdbewegung. Die beiden Geschwindigkeiten heben sich nicht mehr auf, sondern addieren sich.

   $$v_{\mathrm{retro}}=\sqrt{11.19^2+(42.13+29.79{)}^2}=\sqrt{125.2+5172.5}=72.79\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$