Umlaufzeitrechner
T = 2π√(a³/GM) — Keplers Drittes Gesetz verbindet Bahngröße mit Umlaufzeit
Kepler wusste nicht warum — Newton schon 🖖
Kepler entdeckte 1619 empirisch, dass T² ∝ a³, hatte aber keine Erklärung. Erst Newtons Gravitationsgesetz (1687) leitete es her: T = 2π√(a³/GM). Das Schöne: Die Masse des umlaufenden Objekts kürzt sich vollständig heraus.
Die Masse des umlaufenden Körpers fällt heraus 🖖
In der Formel T = 2π√(a³/GM) steht M, die Masse des Zentralkörpers, aber nicht die des Satelliten. Eine Feder und eine voll beladene Raumstation umkreisen die Erde in gleicher Höhe in exakt derselben Zeit. Die Umlaufzeit hängt nur davon ab, wie groß die Bahn ist und was man umkreist, nie davon, wie schwer man selbst ist.
Ein Tunnel durch die Erde hält Bahntakt 🖖
Lässt man eine Kugel in einen reibungsfreien Tunnel quer durch die Erde fallen, erreicht sie die andere Seite und kehrt in etwa 84.5 Minuten zurück. Genau das ist die Umlaufzeit eines Satelliten, der die Erdoberfläche streift. Beide folgen demselben √(R³/GM), sodass der „Gravitationszug" und die tiefstmögliche Umlaufbahn denselben Takt teilen.
Beispielaufgaben
- ISS - ISS in ~400 km Höhe: T ˜ 92 min — umkreist die Erde 16-mal pro Tag
- GPS-Satellit - GPS-Satelliten: T ˜ 12 h — jeder Satellit umrundet die Erde zweimal pro Tag
- Geostationär - Geostationärer Orbit: T ˜ 24 h — erscheint fest über einem Punkt der Erde
- Mond - Mond um die Erde: T ˜ 27.3 Tage — Ursprung des Wortes „Monat“
- Merkur - Merkur um die Sonne: T ˜ 88 Tage — schnellster Planet
- Erde (um Sonne) - Erde um die Sonne: T ˜ 365.25 Tage — definiert das Jahr
- Mars (um Sonne) - Mars um die Sonne: T ˜ 687 Tage — fast zwei Erdjahre