Energie pro Operation

Irreversibles Löschen eines Bits hat eine temperaturabhängige Mindestenergie.

Rechenbeispiel — Energie pro Operation

Gewählte Skala	ein Femtojoule
Minimum für irreversible Bitlöschung	2,967 × 10⁻²¹ J/bit
Vergleichsenergie	1,000 × 10⁻¹⁵ J/event
Vielfaches der Landauer-Grenze	3,37 × 10⁵×
Nur durch Energie begrenzter Durchsatz	2,00 × 10¹⁶ Ereignisse/s

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Die Grenze gilt für Löschung 🖖

Landauers kT ln 2 gilt, wenn logisch irreversible Verarbeitung ein Bit Information vernichtet. Reversible Transformationen können diese spezielle Grenze prinzipiell vermeiden.

Kühlung senkt die Untergrenze und erhöht die Rechnung 🖖

kT ln 2 ist linear in der Temperatur, von 310 K auf 77 K sinkt die Untergrenze also um den Faktor 4,03. Doch selbst ein perfekter Kühlschrank braucht 2,9 J Arbeit, um jedes Joule Abwärme von 77 K in einen 300 K warmen Raum zu schaffen — die Gesamtenergie pro Löschvorgang verbessert sich damit um den Faktor 1,03. Die Untergrenze wandert weit. Die Rechnung kaum.

Ein Gramm DNA zu löschen kostet sieben Joule 🖖

Ein Gramm DNA speichert etwa 2,9 × 10²⁰ Byte, also 2,3 × 10²¹ Bit. Jedes einzelne davon an der Untergrenze bei 310 K zu löschen kostet 7 J — weniger als ein Tausendstel der Ladung einer AA-Zelle. Nicht Landauers Grenze macht Rechnen teuer, sondern der Faktor 337 000, mit dem echtes Silizium darüber liegt.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Handy-Akku, der 10.000 Stunden hält, und derselbe Akku, der 384.500 Jahre hält 6 Schritte
Berechnen Sie die minimale Energie, die die Physik für das Löschen eines Bits bei Körpertemperatur zulässt, vergleichen Sie diese mit dem tatsächlichen Aufwand eines Logikereignisses in Silizium und verbrauchen Sie dann einen 10-Wh-Handy-Akku auf beide Arten bei einer Billion Operationen pro Sekunde.
1. Die Landauer-Grenze besagt, dass das Löschen eines Bits an Information mindestens k_BT ln 2 kostet, und keine Umgestaltung der Schaltung dies vermeidet, da der Aufwand für das Vernichten der Information anfällt und nicht für das Bewegen der Ladung.
  
  $E_{m i n} = k_{B} T ln 2 = 1.380649 \times 1 0^{- 23} \times 310 \times 0.69315 = 2.967 \times 1 0^{- 21} J$
2. Setzen Sie die Körpertemperatur ein. 1,380649 × 10⁻²³ × 310 × 0,69315 = 2,967 × 10⁻²¹ J pro Bit. Das ist die gesamte Untergrenze, und es ist eine sehr kleine Zahl.
3. Ein Logikereignis auf heutigem Silizium kostet etwa 1 × 10⁻¹⁵ J. Dividiert man: 10⁻¹⁵ ÷ 2,967 × 10⁻²¹ = 337.077. Reale Hardware arbeitet etwa dreihunderttausendmal über dieser Untergrenze.
  
  $\frac{1 0 ^{- 15}}{2.967 \times 1 0 ^{- 21}} = 337, 077$
4. Nun verbrauchen Sie einen Akku. 10 Wh sind 10 × 3600 = 36.000 J. Bei den tatsächlichen Kosten reicht dies für 36.000 ÷ 10⁻¹⁵ = 3,60 × 10¹⁹ Operationen; an der Untergrenze würde dies für 36.000 ÷ 2,967 × 10⁻²¹ = 1,21 × 10²⁵ reichen.
  
  $N_{real} = \frac{36 , 000}{1 0 ^{- 15}} = 3.60 \times 1 0^{19}, N_{m i n} = \frac{36 , 000}{2.967 \times 1 0 ^{- 21}} = 1.21 \times 1 0^{25}$
5. Betreiben Sie diese mit 10¹² Operationen pro Sekunde. Der reale Akku hält 3,60 × 10⁷ s, was 10.000 Stunden entspricht. Der durch die Untergrenze begrenzte Akku hält 1,21 × 10¹³ s, was 384.500 Jahren entspricht.
  
  $\frac{3.60 \times 1 0 ^{19}}{1 0 ^{12}} = 10, 000 h, \frac{1.21 \times 1 0 ^{25}}{1 0 ^{12}} = 384, 500 yr$
6. Versuchen Sie, die Lücke durch Kühlung zu schließen. Das Absenken von 310 K auf 300 K verringert die Untergrenze auf 2,871 × 10⁻²¹ J, eine Einsparung von 3,2 %, da die Schranke linear in T verläuft. Der Faktor 337.077 ist kein Temperatureffekt und kein Thermostat ändert daran etwas.
  
  $k_{B} (300) ln 2 = 2.871 \times 1 0^{- 21} J \Rightarrow 3.2% lower$
Antwort

Derselbe Akku hält bei derselben Operationsrate in Silizium 10.000 Stunden und an der thermodynamischen Grenze 384.500 Jahre. Dies klärt, wozu die Landauer-Grenze dient. Sie ist nicht der Grund, warum Computer Energie benötigen, und sie ist kein Ziel, dem sich jemand annähert: Beim 337.077-Fachen der Untergrenze fließt im Wesentlichen die gesamte Energie eines Chips in das Auf- und Entladen von Kapazitäten, das Ansteuern von Leitungen sowie Leckströme, und nichts davon sind die unreduzierbaren Kosten des Vergessens. Eine Seite, die besagt, „Rechnen hat einen fundamentalen Energieaufwand“, ist zwar wahr, geht aber fast vollständig am Thema vorbei. Die Zahl, die es zu zitieren lohnt, ist das Verhältnis, nicht die Grenze. Und beachten Sie, was die Grenze nicht in Rechnung stellt: Eine reversible Operation löscht nichts, hat also gar keine Untergrenze — was der eigentliche Grund dafür ist, dass reversibles Rechnen ein Forschungsgebiet und kein bloßes Kuriosum ist.

Lernpfad

Rechnen mit Molekülen

Quellen (2)

The original statement of the irreversible-computation energy bound: R. Landauer, “Irreversibility and Heat Generation in the Computing Process.” IBM Journal of Research and Development 5(3), 183–191, 1961.
Direct experimental approach to the kT ln 2 limit in a one-bit memory: A. Bérut et al., “Experimental verification of Landauer’s principle linking information and thermodynamics.” Nature 483, 187–189, 2012.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-22

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Beispielaufgaben

Landauer-Grenze - Die Untergrenze selbst: 2,967 × 10⁻²¹ J pro gelöschtem Bit bei Körpertemperatur.
ATP-Skala: 20 kT - Eine ATP-Hydrolyse liegt 2,89 × 10¹-fach über der Grenze — Biologie rechnet im Dreißigfachen der Thermodynamik.
ein Femtojoule - Ein Femtojoule-Schaltvorgang liegt 3,37 × 10⁵-fach über derselben Grenze.
ein Pikojoule - Bei einem Picojoule pro Ereignis kauft ein 20-W-Budget 2,00 × 10¹³ Ereignisse pro Sekunde.