Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen
Experiment 1 · Geometrie · strenge Schranken
Beim Kreis mit Durchmesser 1 ist das innere Polygon zu kurz und das äußere zu lang. Ihre halben Umfänge schließen π ein.
Schluss: Beide Schranken nähern sich demselben Grenzwert; nach dem Sandwichsatz ist er π.
Experiment 2 · Messung · Umfang
π ist als C/d definiert. Ein Rad mit Durchmesser 1 rollt bei einer vollen Drehung genau einen Umfang ab.
Schluss: Eine Drehung ergibt C; für d = 1 ist die Strecke gleich π.
Experiment 3 · Analysis · Fläche
Ein dünner Ring im Radius x hat Länge 2πx. Aufgeschnitten ordnen sich alle Ringe von 0 bis 2πr.
Schluss: Das Dreieck hat Grundseite 2πr und Höhe r: A = ½(2πr)r = πr².
Experiment 4 · Physik · Phasenraum
Impuls und Energie binden beide Geschwindigkeiten an eine Ellipse. Skaliert wird jeder Stoß zur Spiegelung an einem Kreis.
Schluss: Für M/m = 100^d ist die Zahl floor(π·10^d) und enthüllt weitere Dezimalstellen.
Experiment 5 · Wahrscheinlichkeit · Richtung
Eine Nadel kreuzt eine Linie nur bei passender Nähe und Orientierung. Der zufällige Winkel führt zum Integral von sin θ.
Schluss: Für Nadellänge gleich Linienabstand gilt P(Kreuzung) = 2/π und π ≈ 2N/C.
Experiment 6 · Wahrscheinlichkeit · Fläche
Bei gleichverteilten Punkten entspricht die Trefferwahrscheinlichkeit dem Flächenanteil der Region.
Schluss: Viermal der beobachtete Anteil ergibt π ≈ 4H/N.
Experiment 7 · Analysis · Konvergenz
Unendliche Reihen können π ohne Kreis kodieren. Verschiedene Identitäten nähern sich demselben Grenzwert unterschiedlich schnell.
Schluss: Die Partialsumme ist eine Näherung; der absolute Fehler misst den Abstand zu π.
Jeder Abschnitt isoliert eine Idee, leitet ihre Gleichung her und erklärt, was die Grafik tatsächlich beweist.
Jeder euklidische Kreis hat dasselbe Verhältnis von Umfang zu Durchmesser.
C / d = π
Eine Skalierung mit k multipliziert C und d mit k; C/d bleibt gleich. Dieses Invariant ist π: C = πd = 2πr.
Ähnlichkeit macht π universell, nicht eine bestimmte Maßeinheit.
Archimedes nahm eine Figur unter und eine über dem Kreisumfang.
n sin(π/n) < π < n tan(π/n)
Für d = 1 liefern reguläre n-Ecke n sin(π/n) < π < n tan(π/n). Mehr Seiten verengen ein garantiertes Intervall.
Eine Schranke gibt Näherung und maximalen Fehler zugleich.
Der Mittelpunkt bewegt sich gleichmäßig, der Randpunkt aber nicht.
x = r(θ − sin θ), y = r(1 − cos θ)
Für Winkel θ gilt x = r(θ − sin θ), y = r(1 − cos θ). An jeder Spitze berührt der Punkt den Boden und ruht augenblicklich.
Rollen ohne Gleiten verbindet Strecke und Winkel durch s = rθ.
Jeder dünne Ring trägt ungefähr Umfang × Dicke bei.
∫₀ʳ 2πx dx = πr²
Für Radius x und Dicke dx gilt dA = 2πx dx. Alle Ringe ergeben A = ∫₀ʳ 2πx dx = πr².
Mehr und dünnere Ringe glätten den stufigen Rand.
Energieerhaltung macht den Geschwindigkeitszustand zu einer Ellipse.
N = floor(π√(M/m)), M/m = 100ᵈ
Die Koordinaten (√m·v₁, √M·v₂) verwandeln sie in einen Kreis und Stöße in Spiegelungen. M/m = 100^d erzeugt ungefähr π·10^d Spiegelungen.
Die Ziffern stammen aus Kreisgeometrie im Geschwindigkeitsraum.
Die Wahrscheinlichkeit mittelt eine trigonometrische Projektion über alle Winkel.
P = 2L/(πD)
Für L ≤ D ergibt das Mittel über θ ∈ [0, π] die Formel P = 2L/(πD). Hier ist L = D, also P = 2/π.
Zufall schätzt π, weil die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit exakt bekannt ist.
Mehr Punkte helfen, aber Stichproben konvergieren nur mit Wurzelgeschwindigkeit.
π ≈ 4H/N
Mit p = π/4 fällt der Standardfehler wie 1/√N. Eine zusätzliche Dezimalstelle braucht typischerweise etwa 100-mal mehr Punkte.
Schwankungen sind normal; nicht jede neue Stichprobe verbessert das Ergebnis.
Gleiche Grenzwerte können sehr verschiedene Geschwindigkeiten verbergen.
Σ 1/n² = π²/6
Leibniz ist extrem langsam, Nilakantha deutlich schneller. Basel verbindet Σ1/n² = π²/6 mit der Arithmetik der ganzen Zahlen.
Der Graph zeigt Partialsummen; π selbst verändert sich nicht.
Die algebraische Natur von π entschied das antike Problem.
π ∉ Q̄
Ein flächengleiches Quadrat zum Einheitskreis bräuchte Seite √π. Zirkel und Lineal erzeugen algebraische Zahlen, doch Lindemann bewies 1882, dass π transzendent ist.
Näherungen sind leicht; unmöglich ist die exakte Konstruktion nach diesen Regeln.