Exponentielles Wachstum & Zerfall

Wachstum und Zerfall mit N(t) = N0 · e^(kt) modellieren

Rechenbeispiel — Exponentielles Wachstum & Zerfall

N(t)	2225.5409
Verdopplungszeit	8.6643

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Exponentielles Wachstum & Zerfall

Exponentielle Änderung tritt auf, wenn die Änderungsrate proportional zur vorhandenen Menge ist — Zinsen auf ein Guthaben, der Zerfall eines Atomkerns, eine Population mit Raum zur Ausbreitung. Es gibt keine getrennten Formeln für Wachstum und Zerfall; es gibt eine einzige Formel und ein Vorzeichen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

N₀: der Anfangswert bei t = 0. Er skaliert die gesamte Kurve und ändert nichts an ihrer Form, weshalb er in keiner der beiden Zeilen für die Ratenzeiten vorkommt.
k: die Ratenkonstante, deren Vorzeichen alles entscheidet. Ist sie positiv, wächst die Menge unbegrenzt; ist sie negativ, fällt sie gegen Null, ohne sie zu erreichen; ist sie exakt Null, passiert überhaupt nichts.
t: die verstrichene Zeit in derjenigen Einheit, in der k angegeben wurde. Beide Einheiten müssen übereinstimmen — eine Rate pro Jahr kombiniert mit einer Zeit in Monaten ist der häufigste Weg, hier ein garantiert falsches Ergebnis zu erhalten.
N(t): der Wert nach dieser Zeit. Bei N₀ = 1000, k = 0.08 und t = 10 zeigt die Zeile 2225.5409 an — mehr als verdoppelt, da das Wachstum kontinuierlich und nicht nur einmalig verzinst wurde.

Woher die Formel kommt

"Die Rate ist proportional zur Menge" lautet als Formel dN/dt = kN. Das ist die einzige Annahme; alles Weitere folgt daraus.
Durch Trennung der Variablen und Integration erhält man N(t) = N₀·e^(kt). Die Basis e ist keine Willkür — sie ergibt sich zwangsläufig, wenn das Wachstum kontinuierlich statt in diskreten Schritten erfolgt.
Für die Verdopplungszeit ermittelt man, wann N den Wert 2N₀ erreicht: e^(kt) = 2, also kt = ln 2 und t = ln 2 / k. Der Anfangswert kürzt sich heraus, weshalb die Verdopplungszeit eine reine Eigenschaft der Ratenkonstante ist.
Die Halbwertszeit ist dieselbe Berechnung mit ½ anstelle von 2, was t = ln 2 / |k| ergibt — derselbe Ausdruck, da eine Halbierung mit der Ratenkonstante −k genau so lange dauert wie eine Verdopplung mit der Ratenkonstante +k. Bei k = 0.08 zeigt die Verdopplungszeit-Zeile 8.6643 an; bei k = 0.02, einem Viertel der Rate, zeigt sie 34.6574 an, also exakt viermal so lange.

So liest du, was du siehst

Die Zeilen für Verdopplungszeit und Halbwertszeit schließen sich gegenseitig aus, und der Gedankenstrich erfüllt eine echte Funktion. Bei k = 0.08 zeigt die Verdopplungszeit 8.6643 und die Halbwertszeit — an; wechselt man zu k = −0.2, zeigt die Halbwertszeit 3.4657 an, während die Verdopplungszeit ausgeblendet wird. Eine wachsende Größe hat keine Halbwertszeit und eine schrumpfende keine Verdopplungszeit — die leere Zeile ist also eine Aussage und keine Lücke.

Setzt voraus: Eine Ratenkonstante, die über den gesamten Zeitraum unverändert bleibt, und eine Größe ohne äußere Einschränkungen. Beides hält in der Praxis selten lange stand: Populationen stoßen an Kapazitätsgrenzen, und Zinssätze werden neu verhandelt.
Versagt, wenn: Setzt man k exakt auf 0, zeigen beide Raten-Zeilen gleichzeitig — an, was die ehrliche Antwort ist und kurz bedacht werden sollte. Es ist nichts fehlerhaft: Bei einer Rate von Null bleibt die Menge für immer bei 1000, verdoppelt oder halbiert sich also nie, und ln 2 / 0 ist nicht unendlich, sondern undefiniert. Die Formel entartet zu einer waagerechten Linie, und die beiden Gedankenstriche bedeuten, dass die Anzeige eine Division durch Null verweigert, anstatt ein falsches Ergebnis zu berechnen.

Warum 70 geteilt durch den Prozentsatz die Verdopplungszeit ergibt 🖖

Dieser Trick funktioniert, weil ln 2 = 0.693147 ist — im Grunde eine getarnte 70, sobald man die Rate in Prozent statt als Dezimalzahl rechnet. Bei 7 % pro Jahr gibt dieses Werkzeug eine Verdopplungszeit von 9.9021 an, während 70/7 das Ergebnis 10 liefert — um etwa ein Hundertstel daneben. Bei 8 % steht dort 8.6643 gegenüber 70/8 = 8.75, und der Abstand vergrößert sich mit steigender Rate, weil die Näherung nur im Grenzfall kleiner k exakt ist. Banker, die 72 statt 70 nennen, haben sich nicht geirrt: 72 lässt sich sauber durch 2, 3, 4, 6, 8 und 9 teilen, und sie tauschen ein wenig Genauigkeit gegen Kopfrechnen ein, das man laut sagen kann.

Aufgaben vollständig gelöst

Eine Kultur, die mit 1000 Zellen beginnt und um 8 % pro Stunde wächst 5 Schritte
Eine Kultur beginnt bei 1000 Zellen und wächst 10 Stunden lang um 8% pro Stunde. Drei Personen werden Ihnen drei verschiedene Antworten geben, und alle drei können die ihre verteidigen. Ermitteln Sie, welche Antwort das Exponentialmodell liefert und wie weit sie voneinander entfernt sind.
1. Die erste Antwort behandelt 8% pro Stunde als feste Größe: 80 Zellen pro Stunde, 800 in zehn Stunden. Das ist es, was „pro Stunde“ bei einem Gehalt bedeutet, und das ist es, was sich die meisten Menschen vorstellen. Es ist auch die einzige der drei Antworten, die nach ihren eigenen Maßstäben falsch ist, denn die in der ersten Stunde entstandenen Zellen teilen sich in der zweiten Stunde weiter.
  
  $(i) N = N_{0} (1 + k t) = 1000 (1 + 0.8) = 1800$
2. Die zweite behebt dies durch stündliches Aufzinsen — zehnmaliges Multiplizieren mit 1,08. Nun tragen die neuen Zellen bei. Dies ist ein völlig vertretbares Modell, und es ist exakt richtig, falls die Population zufällig jeweils zur vollen Stunde einen Schritt macht.
  
  $(ii) N = N_{0} (1 + k)^{t} = 1000 \times 1.0 8^{10} = 2158.92$
3. Die dritte bildet den Grenzwert. Zellen warten nicht auf die Uhr, daher gilt die Rate kontinuierlich, und das ist die Differentialgleichung dN/dt = kN. Ihre Lösung ist die Exponentialfunktion, und e^0,8 stellt den gesamten Unterschied zur zweiten Antwort dar.
  
  $(iii) \frac{d N}{d t} = k N ⟹ N = N_{0} e^{k t} = 1000 e^{0.8} = 2225.5409$
4. Die Verdopplungszeit ergibt sich aus derselben Lösung, und N₀ kürzt sich auf dem Weg weg. Das ist es, was exponentielles Wachstum unanschaulich macht: Die Zeit bis zur Verdopplung hängt nicht davon ab, wie groß die Population bereits ist, sodass eine Kultur von einer Million auf zwei Millionen genauso lange braucht wie von eintausend auf zweitausend.
  
  $N = 2 N_{0} ⟺ k t = ln 2 ⟹ t_{2} = \frac{ln 2}{0.08} = 8.6643$
5. Die Streuung ist der entscheidende Punkt. Kontinuierliches Wachstum übertrifft das naive Verständnis um 24% und die stündliche Aufzinsung um 3%, über dieselben zehn Stunden bei derselben angegebenen Rate.
  
  $\frac{2225.54}{1800} = 1.236, \frac{2225.54}{2158.92} = 1.031$
Antwort

Das Tool gibt 2225,5409 und eine Verdopplungszeit von 8,6643 Stunden aus. Die drei Kandidatenantworten lauteten 1800, 2158,92 und 2225,54 — die erste und die letzte unterscheiden sich um 425 Zellen, mehr als 40% der Anfangspopulation, und nichts von dieser Lücke entsteht durch Uneinigkeit über die Rate. Sie entsteht vollkommen durch Uneinigkeit darüber, wann das Wachstum gutgeschrieben wird. Es ist auch der Ursprung der „70er-Regel“: 70/8 = 8,75 gegenüber echten 8,6643, etwa 1% zu hoch, weil ln 2 = 0,693 ist und jemand einen Zähler mit vielen Teilern bevorzugte.

$N (10) = 1000 e^{0.8} = 2225.5409, t_{2} = \frac{ln 2}{k} = 8.6643$
Wie lange eine einzelne Zelle lebt, und wann die Kurve aufhört zu zählen 6 Schritte
Die Zerfalls-Voreinstellung lässt von ursprünglich 1000 Zellen nach zehn Stunden 135,3353 übrig, mit einer Halbierung alle 3,4657. Rechne aus, wie lange eine einzelne Zelle im Mittel lebt, und entscheide, ab wann die Kurve überhaupt keine Kultur mehr beschreibt.
1. N(t) = 1000e^(−0,2t), bei t = 10 ist der Exponent also −2 und das Feld zeigt 135,3353.
  
  $N (t) = N_{0} e^{k t} = 1000 e^{- 0.2 \times 10} = 1000 e^{- 2} = 135.3353$
2. Die Halbwertszeit kommt aus e^(−0,2T) = ½ und ergibt T = ln 2 / 0,2 = 3,4657 in der Zeile, die die Verdopplungszeit geräumt hat. Zehn Stunden sind 2,8854 davon, und 1000 × 2^(−2,8854) ist wieder 135,3353, derselbe Wert auf dem anderen Weg.
  
  $e^{- 0.2 T} = \frac{1}{2} \Rightarrow T = \frac{ln 2}{0.2} = 3.4657; \frac{10}{3.4657} = 2.8854, 1000 \times 2^{- 2.8854} = 135.3353$
3. Die Halbwertszeit ist nicht die Konstante im Exponenten. Schreib dieselbe Kurve als N = N₀e^(−t/τ), und τ = 1/|k| = 5 Stunden. Nach fünf Stunden steht die Zahl bei 1000/e = 367,8794.
  
  $N = N_{0} e^{- t / τ}, τ = \frac{1}{∣ k ∣} = 5; N (τ) = \frac{1000}{e} = 367.8794$
4. τ ist die mittlere Lebensdauer einer Zelle. Die Chance, dass eine bestimmte Zelle zur Zeit t noch da ist, beträgt e^(−t/τ), und integriert man das von null bis unendlich, kommt exakt τ heraus. Also ist τ/T = 1/ln 2 = 1,4427 für jeden exponentiellen Zerfall, den es gibt: Die mittlere Lebensdauer läuft immer etwa 44 % über die Halbwertszeit hinaus, weil die Halbwertszeit der Median ist und ein paar lange Überlebende den Mittelwert darüber hinausziehen.
  
  $Pr (alive at t) = e^{- t / τ} ⟹ \overset{ˉ}{t} = \int_{0}^{\infty} e^{- t / τ} d t = τ = 5, \frac{τ}{T} = \frac{1}{ln 2} = 1.4427$
5. Nun das Leerwerden. Die Kurve erreicht die Null nie, der Kolben aber schon. Die erwartete Zahl der Überlebenden ist genau N(t), die letzte Zelle wird also dort erwartet, wo die Kurve die 1 kreuzt: t = τ ln N₀ = 5 ln 1000 = 34,5388 Stunden.
  
  $N (t) = 1 ⟺ t = τ ln N_{0} = 5 ln 1000 = 34.5388$
6. Irgendwo zwischen beidem hört die Anzeige auf, eine Anzahl zu sein. Bei t = 30 gibt die Kurve 2,4788, und keine Kultur hat je 2,4788 Zellen enthalten. Diese Zahl ist ein Mittelwert über viele Wiederholungen des Versuchs; ein einzelner Kolben enthält 0, 1, 2 oder 3.
  
  $N (30) = 2.4788$
Antwort

Eine Zelle lebt im Mittel 5 Stunden gegen eine Halbwertszeit von 3,4657, und das Verhältnis 1/ln 2 ist für Kohlenstoff-14 dasselbe wie für Cäsium-137. Der Kolben wird nach 34,5388 Stunden leer erwartet, und das ist keine neue Rechnung, sondern der eigene Durchgang der Kurve durch N = 1. Mit doppelt so vielen Zellen zu beginnen schiebt das um 5 ln 2 = 3,4657 Stunden hinaus, also um eine zusätzliche Halbwertszeit, wie hoch die Anfangszahl auch war, und das ist das Verdopplungszeit-Argument der anderen Voreinstellung mit umgekehrtem Vorzeichen. Lies N(t) als Anzahl, solange sie groß ist, und als Erwartungswert, sobald sie klein ist. Die Formel ändert sich nicht; was sie dir sagt, schon.

$t_{last} = τ ln N_{0} ⟹ N_{0} \to 2 N_{0} buys τ ln 2 = T = 3.4657 hours$

Quellen (2)

Where the exponential decay law was first established as a physical law rather than a curve fit: E. Rutherford & F. Soddy, “XLI. The cause and nature of radioactivity.—Part I.” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 4(21), 370–396, 1902.
The second half of the same argument, which introduces the transformation theory the half-life belongs to: E. Rutherford & F. Soddy, “LXIV. The cause and nature of radioactivity.—Part II.” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 4(23), 569–585, 1902.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-05-21

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

stetiges Wachstum - k = 0.08 macht aus 1000 bis t = 10 den Wert 2225.5409, Verdopplungszeit 8.6643; die Zeile Halbwertszeit zeigt —
stetiger Zerfall - k = −0.2 lässt von 1000 noch 135.3353 übrig, Halbwertszeit 3.4657, und stattdessen bleibt die Verdopplungszeit leer
langsames Wachstum - k = 0.02 braucht 34.6574 zum Verdoppeln — genau das Vierfache der 8.6643 bei k = 0.08, denn die Verdopplungszeit ist ln(2)/k