Labor: Regelmäßige Parkettierungen

Alles auf dieser Seite folgt aus einem einzigen Vergleich. Ein regelmäßiges p-Eck hat Innenwinkel von 180(p−2)/p Grad; legt man q davon um einen Punkt, ergibt das q·180(p−2)/p. Ist das kleiner als 360°, hat die Ecke Spiel und muss sich falten; ist es genau 360°, liegt sie eben; ist es mehr, lässt es sich aus ebenen Teilen gar nicht bauen. Umgestellt sind das die drei Fälle (p−2)(q−2) kleiner, gleich oder größer als 4 — und der erste hat genau fünf ganzzahlige Lösungen, der zweite genau drei. Das ist keine moderne Umformulierung: Es ist die Bemerkung, mit der Euklid Elemente XIII schließt und einen sechsten Körper mit dem Argument ausschließt, dass sechs Dreiecke an einer Ecke „vier rechte Winkel ergäben“ und damit eben lägen.

Ein Würfel ist überall eben, außer an acht Punkten. Über eine Fläche zu laufen krümmt nichts; um eine Ecke herum findet man 270°, wo eine ebene Fläche 360° geboten hätte. Die fehlenden 90° sind die Krümmung, und woanders kann sie nicht sein. Nun addiere man: 8 × 90° = 720°. Beim Ikosaeder sind es 12 × 60° = 720°. Beim Dodekaeder 20 × 36° = 720°. Die Summe rührt sich nie, bei keinem konvexen Polyeder, ob regelmäßig oder nicht — Descartes bemerkte das um 1630. Es sind dieselben 720° = 2 × 360°, die Eulers E − K + F = 2 zählt, und es ist der Satz von Gauß-Bonnet aus Pythagoras: dort war der Winkelüberschuss eines Dreiecks Krümmung × Fläche, glatt über die Fläche verteilt, hier ist es dieselbe Größe, in Punkten zusammengedrängt.

Die fünf Körper haben mehr Theorie angezogen, als sie tragen können. Kepler schachtelte sie in Mysterium Cosmographicum (1596) ineinander, um die Abstände der sechs bekannten Planeten festzulegen — eine schöne Idee, und falsch; den Rest seiner Laufbahn verbrachte er damit, sie durch die Bahnen zu ersetzen, die wirklich stimmen. Der hyperbolische Fall musste warten, bis es eine hyperbolische Ebene zum Zeichnen gab. Coxeter veröffentlichte in den 1950er-Jahren eine solche Figur, Escher sah sie und fragte ihn, wie sie entstanden sei; aus der Antwort wurden die vier Circle Limit-Drucke, in denen die Kacheln zum Rand hin schrumpfen — nicht weil sie kleiner werden, sondern weil die Scheibe die Karte einer unendlichen Fläche ist. Stelle die Seitenzahl auf 7 und die Eckenzahl auf 3, und du siehst dieselbe Konstruktion.

Ein Fußball ist keine Designentscheidung. Nimm irgendeinen geschlossenen Körper aus Fünf- und Sechsecken, bei dem an jeder Ecke genau drei Flächen zusammenstoßen, und zähle die Fünfecke: es sind zwölf. Immer — wie groß der Körper auch ist und wie viele Sechsecke er hat. Drei Flächen pro Ecke ergeben 3E = 2K, und E − K + F = 2 läuft dann auf zwölf Fünfecke hinaus, wobei sich die Zahl der Sechsecke vollständig heraushebt. Genau das heißt, etwas an einer Form abzulesen, ohne zu messen. Ein Fußball hat 12 Fünfecke und 20 Sechsecke; Buckminsterfulleren C₆₀ hat 12 Fünfecke und 20 Sechsecke; eine geodätische Kuppel von Hausgröße hat immer noch exakt 12 Fünfecke zwischen ihren Sechsecken. Der Grund sind die 720° auf dieser Seite. Drei Sechsecke an einer Ecke ergeben genau 360°, sind also eben und tragen nichts bei — jedes Grad der 720° muss von den Fünfecken kommen, und bei 60° je Stück braucht das zwölf davon. Deshalb bauen auch so viele Viren ikosaedrische Hüllen: ein geschlossener Behälter aus einem einzigen wiederholten Protein hat sehr wenige Möglichkeiten, und Caspar und Klug haben 1962 ausgearbeitet, welche.

Der ebene Fall ist nicht nur möglich, er ist optimal. Von allen Arten, eine Fläche in flächengleiche Gebiete zu zerlegen, hat die Sechseckparkettierung den kleinsten Gesamtumfang — zweitausend Jahre lang vermutet und 2001 von Thomas Hales bewiesen. Eine Wabe ist ein Ergebnis der Wachsökonomie, kein ästhetisches. Der hyperbolische Fall verdient sein Geld mit dem Wachstum, das man in der Scheibe sieht: jeder Ring enthält mehr Kacheln als der vorige. Ein Baum verzweigt sich genauso, und ein Baum lässt sich nicht in der Ebene zeichnen, ohne die äußeren Äste zusammenzudrängen, denn die Ebene bietet nur Fläche proportional zu r². Der hyperbolische Raum bietet exponentiell mehr, also passen Hierarchien und skalenfreie Netzwerke mit Platz hinein — weshalb hyperbolische Einbettungen heute ein Standardweg sind, sie zu modellieren und zu zeichnen. Und man kann eine solche Fläche in die Hand nehmen: Salat, Grünkohl und Korallen kräuseln sich, weil der wachsende Rand schneller Länge gewinnt, als die Fläche dahinter Fläche gewinnt, und eine Fläche mit mehr Rand, als die Ebene aufnehmen kann, muss sich wellen.