Bode/Nyquist-Regelungslabor

Pole per Schieberegler verschieben und sofort sehen, wie sich die Robustheitsreserven ändern

Startwerte — Bode/Nyquist-Regelungslabor

Kreisverstärkung K	1
Eigenfrequenz wn	3
Dämpfungsgrad zeta	0.7

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

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Lektion

Die Theorie — Bode/Nyquist-Regelungslabor

Das Nyquist-Stabilitätskriterium entscheidet über die Stabilität eines Regelkreises durch Zählen statt durch Lösen. Man trägt den Frequenzgang der offenen Kette G(jω) in die komplexe Ebene ein, zählt, wie oft die Kurve den Punkt −1 + j0 umschlingt, und addiert die Zahl der instabilen Pole, die die Kette schon vor dem Schließen hatte: Z = N + P. Jedes Z außer null bedeutet, dass der geschlossene Kreis wegläuft.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

P: die Zahl der Pole der offenen Kette G(s), die bereits in der rechten Halbebene liegen — gezählt, bevor der Kreis geschlossen wird. Für die Strecke auf dieser Seite ist sie immer 0.
N: die Zahl der im Uhrzeigersinn durchlaufenen Umschlingungen von −1 + j0 durch die Nyquist-Kurve. Umläufe gegen den Uhrzeigersinn zählen negativ, N kann also unter null liegen.
Z: die Zahl der Pole des geschlossenen Kreises in der rechten Halbebene — die Antwort, um die es eigentlich ging. Z = 0 heißt stabil; alles andere nicht.
−1 + j0: der kritische Punkt, auf der Nyquist-Tafel rot eingezeichnet. Dort beträgt die Kreisverstärkung genau 1 bei genau 180° Phasennacheilung: ein einmal um den Kreis geschicktes Signal kehrt gleich groß und umgekehrt zurück.

Woher die Formel kommt

Die Frage richtig stellen. Bei negativer Einheitsrückführung lautet die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises G/(1 + G); ihre Pole sind also die Nullstellen von 1 + G(s). Stabilität schrumpft damit auf eine einzige Frage: Hat 1 + G(s) Nullstellen in der rechten Halbebene? Sie zu finden hieße, ein Polynom zu faktorisieren, das man womöglich gar nicht besitzt.
Zählen statt suchen. Das Argumentprinzip besagt: Läuft s einmal im Uhrzeigersinn um eine geschlossene Kontur, so umläuft das Bild von 1 + G(s) den Ursprung genau so oft, wie darin Nullstellen liegen, abzüglich der darin liegenden Pole. Ein Umlauf um den Ursprung von 1 + G ist dieselbe Bewegung wie ein Umlauf um −1 von G — daher liegt der kritische Punkt dort, wo er liegt, und heißt −1 und nicht anders.
Als Kontur wählt man die gesamte rechte Halbebene: die imaginäre Achse hinauf und über einen unendlich großen Halbkreis zurück. Jetzt bedeuten „innerhalb der Kontur“ und „instabil“ dasselbe. Die eingeschlossenen Nullstellen sind Z, die eingeschlossenen Pole P, die Umlaufzahl ist N, und das Argumentprinzip lautet N = Z − P — umgestellt Z = N + P. Auf der imaginären Achse ist s = jω, und G(jω) ist der Frequenzgang: genau die Kurve, die diese Seite ohnehin zeichnet.
Dieser letzte Satz ist der eigentliche Gewinn. Für das Zählen wird kein Modell gebraucht. G(jω) lässt sich messen — echte Hardware mit Sinusschwingungen anregen und aufzeichnen, was zurückkommt —, sodass man ein Stabilitätsurteil über ein System bekommt, für das nie jemand eine Gleichung aufgeschrieben hat. Amplituden- und Phasenreserve sind dann zwei Arten zu fragen, wie weit die gemessene Kurve an −1 vorbeigeht: einmal entlang der negativen reellen Achse, einmal auf dem Einheitskreis.

So liest du, was du siehst

Alle drei Tafeln zeigen die offene Kette — G(jω) für sich, mit noch nicht angeschlossenem Rückführzweig —, während die beiden Reserven darunter beschreiben, was nach dem Schließen passiert. Die Amplitudenüberhöhung nahe ω_n und ebenso ω_r und M_r in der Tabelle gehören daher zu G und nicht zu dem geschlossenen Kreis, den du entwirfst. Auf der Nyquist-Tafel ist die durchgezogene Kurve ω von null aufwärts, die gestrichelte ihr Spiegelbild für negative ω. Beide werden gebraucht: Eine Umschlingung entsteht erst, wenn sich die Kontur schließt, und ein Frequenzdurchlauf kann immer nur ihre Hälfte messen. Die Pfeile geben die Durchlaufrichtung an — sie entscheidet, ob ein Umlauf als im Uhrzeigersinn zählt.

Setzt voraus: Negative Einheitsrückführung und ein bekanntes P. Diese Seite fragt P nie ab — sie setzt es auf null, was hier nur deshalb stimmt, weil der Dämpfungsregler bei ζ = 0.05 endet und beide Pole bei jeder erreichbaren Einstellung in der linken Halbebene bleiben. Gibt man demselben Kriterium eine Strecke, die offen bereits instabil ist, so bedeutet eine Kurve ohne Umschlingung genau das Gegenteil dessen, was sie hier bedeutet. Vorausgesetzt wird außerdem, dass unterwegs nichts gekürzt wurde: Ein durch eine Nullstelle gekürzter Pol der rechten Halbebene verschwindet aus G(s), bleibt aber in der Hardware — und die Zählung bescheinigt dann einem Kreis Stabilität, der trotzdem wegläuft.
Versagt, wenn: Nyquist antwortet mit Ja oder Nein über ein einziges exaktes Modell, und Hardware ist weder exakt noch unveränderlich. Z = 0 sagt, dass der nominelle Kreis stabil ist, und überhaupt nichts darüber, wie weit eine Verstärkung driften oder eine Temperatur wandern muss, bis er es nicht mehr ist — deshalb druckt diese Seite zwei Reserven statt des einen Wortes „stabil“. Die Reserven selbst sind zu optimistisch, denn jede wird gemessen, während die andere festgehalten wird: Ein Kreis kann bequeme Amplituden- und bequeme Phasenreserve zeigen und trotzdem bei einer mäßigen Änderung beider zugleich mit der Kurve mitten durch −1 laufen. Der ehrliche Wert ist der kürzeste Abstand der Kurve zum kritischen Punkt, in welcher Richtung auch immer, und den zeichnet hier keine Tafel.

Diesen Regelkreis kann man mit Verstärkung nicht instabil machen 🖖

Jeder der beiden Pole liefert höchstens 90° Phasennachlauf und erreicht seine vollen 90° erst bei unendlicher Frequenz. Die Phase von K·ω_n²/(s² + 2ζω_ns + ω_n²) nähert sich also −180°, ohne dort jemals anzukommen. Schiebt man alle drei Regler an ihre Grenzen, bleibt sie bei −179,99° stehen. Deshalb zeigt die Amplitudenreserve ∞: Die Nyquist-Kurve umschlingt −1 nie, und ein größeres K streckt sie bloß. Instabilität braucht hier eine dritte Quelle von Nachlauf – einen zusätzlichen Pol, einen Integrator, eine Totzeit – nicht mehr Verstärkung.

Schwingungen vorhersagen ohne Gleichungen 🖖

Statt die Differentialgleichung zu lösen, regt man das System mit Sinussignalen über viele Frequenzen an und beobachtet die Antwort. Das Bode-Diagramm zeigt, wie stark jede Frequenz verstärkt und wie weit sie in der Phase verzögert wird. Kritisch wird es, wo die Verstärkung 0 dB durchschreitet, während die Phase sich −180° nähert: Dann verstärkt sich die Rückkopplung selbst und der Regelkreis schwingt. Die Phasenreserve misst den Abstand zu dieser Grenze — mehr Reserve bedeutet ruhigere Regelung.

Phasenreserve als verstecktes Totzeit-Budget 🖖

Eine gesunde Phasenreserve verrät auch, wie viel reine Totzeit der Regelkreis verträgt. Eine Verzögerung fügt eine Phasennacheilung hinzu, die mit der Frequenz wächst (−ωτ), und zehrt die Reserve dort am schnellsten, wo der Kreis am aktivsten ist. Die zulässige Totzeit beträgt etwa τ = PM / ω_c, mit PM im Bogenmaß und ω_c der Durchtrittsfrequenz. Ein schneller, breitbandiger Kreis kann so an wenigen Millisekunden Sensorverzögerung scheitern, die ein langsamer Kreis mit gleicher Reserve verkraftet.

Verbreiteter Irrtum

Höhere Verstärkung bedeutet nicht automatisch bessere Regelung. Sie kann die Geschwindigkeit erhöhen und dabei still die Robustheitsreserven zerstören.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine Resonanzspitze von 1,0002 und eine unendliche Amplitudenreserve 6 Schritte
Ein Regelkreis zweiter Ordnung mit ζ = 0,7. Das Bedienfeld zeigt eine Resonanzüberhöhung von 1,0002 und einen unendlichen Amplitudenrand. Erklären Sie beides.
1. Die Standardform zweiter Ordnung mit den drei Parametern, die über die Schieberegler eingestellt werden. Alles Folgende wird am Nenner abgelesen.
  
  $G (s) = \frac{K ω _{n}^{2}}{s ^{2} + 2 ζ ω _{n} s + ω _{n}^{2}} = \frac{9}{s ^{2} + 4.2 s + 9} (K = 1, ω_{n} = 3, ζ = 0.7)$
2. Die Pole sind die Nullstellen. Der Realteil ist die Abklingrate und der Imaginärteil die Schwingungsfrequenz, und beide sind in der Sprungantwort sichtbar.
  
  $s = - ζ ω_{n} \pm j ω_{n} 1 - ζ^{2} = - 2.1 \pm j 3 0.51 = - 2.1 \pm j 2.142$
3. Die Resonanzfrequenz ist nicht die Eigenfrequenz. Die darin enthaltene Quadratwurzel kann zu Null werden; darum geht es im gesamten nächsten Schritt.
  
  $ω_{r} = ω_{n} 1 - 2 ζ^{2} = 3 1 - 0.98 = 3 0.02 = 0.424 rad/s$
4. Sie wird bei ζ = 1/√2 zu Null. Bei 0,7 befindet sich das System knapp innerhalb des Bereichs mit Resonanzüberhöhung, und die Überhöhung beträgt 0,002 dB — algebraisch vorhanden und auf jedem Diagramm unsichtbar.
  
  $1 - 2 ζ^{2} > 0 ⟺ ζ < \frac{1}{2} = 0.7071; M_{r} = \frac{1}{2 ζ 1 - ζ ^{2}} = 1.0002$
5. Nun zur Phase. Jeder Pol trägt zu einer Phasenverzögerung bei, die sich 90° nähert, sodass zwei Pole sich von oben her 180° nähern und diesen Wert nie schneiden.
  
  $∠ G (j ω) = - arctan \frac{2 ζ ω _{n} ω}{ω _{n}^{2} - ω ^{2}} ⟶ - 18 0^{\circ} only as ω \to \infty$
6. Kein Schneiden bedeutet, dass es keinen nennenswerten Amplitudenrand gibt — und genau das zeigt das Bedienfeld an.
  
  $PM = 163.7 5^{\circ}, GM = \infty$
Antwort

ζ = 0,7 liegt knapp unter 1/√2, und zwei Pole können −180° nicht erreichen. Die Resonanzfrequenz enthält √(1 − 2ζ²), was bei ζ = 0,7071 zu Null wird — somit liegt 0,7 genau 0,001 innerhalb des Bereichs, in dem überhaupt eine Überhöhung existiert, und die vorhandene Überhöhung beträgt 1,0002 bzw. 0,002 dB. Dieser Schwellenwert ist die Butterworth-Bedingung, und das ist der Grund, warum 0,707 die Dämpfung ist, zu der jedes Filterlehrbuch greift: Es ist die reaktionsschnellste Einstellung, die noch keine Überhöhung aufweist. Der unendliche Amplitudenrand ist eine stärkere und gefährlichere Aussage. Jeder Pol trägt höchstens 90° zur Phasenverzögerung bei, sodass zwei von ihnen sich 180° nähern und diese nie erreichen; keine noch so große Verstärkung bringt diesen Regelkreis zum Schwingen. Reale Regelkreise schwingen letztlich immer — der dritte Pol, die Totzeit, die unmodellierte Resonanz —, sodass ein unendlicher Amplitudenrand ein zuverlässiges Zeichen dafür ist, dass dem Modell etwas fehlt, und nicht dafür, dass die Hardware sicher ist.

$ζ = 0.7 sits just under \frac{1}{2}; GM = \infty$

Quellen (2)

The lesson — the encirclement count Z = N + P, in the paper that introduced it: H. Nyquist, "Regeneration Theory." Bell System Technical Journal 11(1), 126–147, 1932.
Insight block 3 — phase margin as a delay budget: K. Ogata, Modern Control Engineering, 5th edition, ch. 7. Prentice Hall, 2010. ISBN 978-0-13-615673-4.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

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Beispielaufgaben

stabile Basis - K = 1 ergibt Einheitsverstärkung bei Gleichspannung, eine Durchtrittsfrequenz von 0,60 rad/s und eine Phasenreserve von 163,74°. Das System ist weit von jeder Instabilität entfernt.
nahe Schwingung - Die geringste Stabilitätsreserve aller Voreinstellungen: Bei einer Phasenreserve von 16,70° und einer Resonanzüberhöhung von 16,44 dB beträgt die noch zulässige Verzögerung nur 52 ms.
langsam, robust - Mit K = 0,8 und ζ = 0,9 erreicht der Amplitudengang nirgends 0 dB. Deshalb gibt es keine Durchtrittsfrequenz, die Phasenreserve ist unendlich, und selbst eine beliebig große Verzögerung kann das System nicht destabilisieren.
Verstärkungsrisiko - Der Name weist auf ein Risiko hin, doch von den beiden knapp stabilen Voreinstellungen ist diese die sicherere: Ihre Phasenreserve beträgt 21,66° gegenüber 16,70° bei „Nahe an der Schwingungsgrenze“. Der Vorteil von ζ = 0,35 gegenüber 0,2 wiegt den Nachteil von K = 4,2 gegenüber 2,6 mehr als auf.