Zufallshäufungen (Serien-Paradoxon)

warum lange Serien bei Münzwürfen viel häufiger sind, als man denkt

Startwerte — Zufallshäufungen (Serien-Paradoxon)

Würfe pro Sequenz (N)	100
Serienlänge (L)	6
Simulationsdurchläufe ℹ️	1000

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Nicht das Rad war das Merkwürdige 🖖

Am 18. August 1913 fiel die Roulettekugel im Casino von Monte-Carlo sechsundzwanzig Mal hintereinander auf Schwarz, und die Spieler ringsum verloren Vermögen – sie setzten immer höher auf Rot, das doch fällig sein musste. Rot war nicht fällig. Jeder Wurf zahlte weiterhin 18 von 37, und die Serie selbst war bloß selten: Die Chance, dass ein bestimmter Wurf sechsundzwanzig Schwarz eröffnet, liegt bei etwa eins zu 137 Millionen. Der Name blieb hängen – der Spielerfehlschluss heißt bis heute auch Monte-Carlo-Fehlschluss. Stell dieses Werkzeug auf 100 Würfe, und eine Serie von sechs erscheint in 80,7 % der Fälle; was keine Einstellung ändert, ist der nächste Wurf.

Warum lange Serien fast garantiert sind 🖖

Unser Bauchgefühl erwartet, dass sich Kopf und Zahl schön abwechseln, doch der Zufall ballt sich. Die längste Serie gleicher Ergebnisse wächst mit der Anzahl der Würfe — ungefähr log₂(N). Wirft man eine faire Münze 100-mal, taucht eine Serie von sechs Gleichen häufiger auf als nicht. Mit diesem Tool siehst du, wie diese Intuition kippt: Erhöhe N, und die Serienkurve steigt steil an.

Ein gefälschtes Münzwurf-Protokoll erkennen 🖖

Lässt man Studierende heimlich 200 Münzwürfe erfinden, statt echt zu werfen, erkennt ein Statistiker die Fälschungen meist auf einen Blick. Wer sich "zufällige" Folgen ausdenkt, notiert fast nie eine Serie von sechs oder sieben gleichen Ergebnissen, während echte Würfe fast immer eine enthalten. Diese Vorführung (bekannt gemacht vom Mathematiker Theodore Hill) zeigt: Menschen glätten genau die Häufungen, auf denen echter Zufall besteht.

Aufgabe vollständig gelöst

6 gleiche Ergebnisse in Folge bei 100 Würfen einer fairen Münze 5 Schritte
100 Würfe einer fairen Münze, und die Frage ist, ob darin irgendwo 6 gleiche Ergebnisse in Folge auftauchen. Zählen Sie die Sequenzen, die entkommen – aber 2¹⁰⁰ Sequenzen werden nicht einzeln gezählt.
1. Zerlegt man eine Sequenz in ihre maximalen Läufe: Einer Serie von 6 zu entkommen bedeutet, dass jeder Lauf 5 oder weniger Elemente lang ist; man zählt also die Möglichkeiten, 100 als geordnete Summe von Teilen von 1 bis 5 zu schreiben, verdoppelt, da der erste Wurf eine der beiden Seiten sein kann. Bezeichnet man diese Anzahl mit R(i): Ein führender Lauf der Länge j lässt R(i − j) übrig, und die fünf erlaubten Längen ergeben fünf Terme.
  
  $R (i) = R (i - 1) + R (i - 2) + R (i - 3) + R (i - 4) + R (i - 5), R (0) = 1$
2. Teilt man durch 2^N, um mit Wahrscheinlichkeiten statt Anzahlen zu arbeiten, bringt jeder Teil der Länge j einen Faktor 2^−j mit sich. Alles unter 6 Würfen ist von vornherein sicher, sodass q₁ bis q₅ gleich 1 sind, und der erste echte Wert lässt sich von Hand überprüfen: Genau 2 der 64 Sechs-Wurf-Sequenzen sind durchgehend gleich, sodass q₆ = 31/32 gilt.
  
  $q_{N} = \frac{2 R ( N )}{2 ^{N}} = j = 1 \sum 5 2^{- j} q_{N - j}, q_{6} = \frac{31}{32}$
3. Bis zu 11 Würfen gibt es eine Abkürzung, da zwei getrennte 6er-Läufe 12 Würfe benötigen, um nebeneinander zu passen. Darunter kann keine Sequenz zwei enthalten, sodass die Wahrscheinlichkeit einer Serie genau ihrem Erwartungswert entspricht – 2/64 für einen Lauf, der bei Wurf 1 beginnt, und 1/64 für jeden späteren Beginn, bei dem sich auch der vorherige Wurf unterscheiden muss. Bei N = 10 ist das 6/64, sodass q₁₀ = 29/32 = 0,90625 ohne jede Näherung gilt.
  
  $1 - q_{N} = \frac{2}{64} + \frac{N - 6}{64} = \frac{N - 4}{64} (6 \leq N \leq 11)$
4. Nach 11 Würfen überlappen sich die Ereignisse und die Abkürzung beim Zählen bricht zusammen, aber die Rekursion geht in einen stetigen geometrischen Zerfall über. Die Substitution q_N = Ax^N hinterlässt fünf Potenzen von 2x, deren Summe 1 ergibt, und die Formel für die geometrische Reihe fasst diese fünf Terme zu einem zusammen: y = 2 − y⁻⁵, mit y = 2x. Iteriert man ausgehend von y = 2, konvergiert dies in vier Schritten – 1,968750, 1,966190, 1,965969, 1,965950 – gegen y = 1,965948, sodass x = 0,982974.
  
  $1 = j = 1 \sum 5 (2 x)^{- j} ⟹ y = 2 - y^{- 5}, y = 2 x = 1.965948$
5. Neunzig Würfe trennen den exakten Anker bei N = 10 vom Ziel bei N = 100. Der geometrische Zerfall hat bei N = 10 kaum begonnen, daher handelt es sich um eine Näherung, aber die Korrektur klingt schnell genug ab, sodass sie beide Nachkommastellen reproduziert, die das Werkzeug aus seiner exakten Rekursion ausgibt.
  
  $q_{100} \approx q_{10} x^{90} = 0.90625 \times 0.98297 4^{90} = 0.1932 ⟹ P = 0.8068$
Antwort

19,32 % der 100-Wurf-Sequenzen entkommen, sodass die 80,68 % der Tabelle zeigen, dass eine 6er-Serie das gewöhnliche Ergebnis ist, nicht das unheimliche. Die Zahl, die die Erkenntnis liefert, ist 0,982974: Jeder zusätzliche Wurf verringert die Chance zu entkommen um 1,7 %, was sie alle 40,4 Würfe halbiert. Rechnet man dies rückwärts, erreicht man eine ausgeglichene Chance bei 45 Würfen; rechnet man es vorwärts, bleiben bei 180 Würfen weniger als 5 % der Sequenzen frei von Serien. Die simulierte Spalte neben der exakten ist eine andere Art von Zahl. Eine Schätzung eines 80,68-%-Ereignisses aus 1000 Durchläufen weist eine Standardabweichung von √(0,8068×0,1932/1000) = 1,25 Prozentpunkten auf; sie schwankt also zwischen den Durchläufen um mehr als einen ganzen Punkt, und selbst bei der Obergrenze dieses Werkzeugs von 10.000 Durchläufen liegt sie noch bei ±0,39 Punkten. Die zweite Nachkommastelle der exakten Spalte hat eine Aussagekraft, die der simulierten Spalte fehlt – genau das misst die darunterliegende z-Zeile.

$\frac{ln 2}{- ln 0.982974} = 40.4, σ = \frac{0.8068 \times 0.1932}{1000} = 0.0125$

Quellen (2)

Insight block 3 — why a fabricated coin-flip log gives itself away: T. P. Hill, "The Difficulty of Faking Data." CHANCE 12(3), 27–31, 1999.
And the general result behind the tool: P. Diaconis and F. Mosteller, "Methods for Studying Coincidences." Journal of the American Statistical Association 84(408), 853–861, 1989 — why surprising runs are expected rather than remarkable.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

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Beispielaufgaben

100 Würfe, Serie von 6 - Bei 100 Münzwürfen und der Suche nach einer Serie von 6 gleichen Ergebnissen (Kopf oder Zahl) beträgt die exakte Wahrscheinlichkeit 80.7%. Die meisten halten 6 in Folge für höchst ungewöhnlich, dabei tritt es bei 100 Würfen eher wahrscheinlich als unwahrscheinlich auf!
50 Würfe, Serie von 5 - Bei 50 Würfen ist eine Serie von 5 aufeinanderfolgenden gleichen Ergebnissen (Kopf oder Zahl) durchaus zu erwarten, mit einer natürlichen Auftrittswahrscheinlichkeit von 82.1%.
150 Würfe, Serie von 7 - Bei 150 Würfen liegt die Wahrscheinlichkeit für eine Serie von 7 aufeinanderfolgenden gleichen Ergebnissen (Kopf oder Zahl) bei 69.7%. Das zeigt, wie Clusterbildung Serien identischer Ergebnisse in längeren Folgen praktisch unvermeidlich macht.