Comparador de velocidad de escape

Encuentra la velocidad a la que algo lanzado desde la Tierra nunca regresa — y luego úsala para explicar por qué la Tierra todavía conserva su nitrógeno, está perdiendo lentamente su hidrógeno y por qué la Luna no tiene aire en absoluto. Tierra: M = 5.972 × 10²⁴ kg, R = 6371 km.

1. «Nunca regresa» es una afirmación sobre la energía, no sobre la altura. La atracción de la gravedad se debilita con la distancia, pero nunca se apaga, por lo que la condición es que la energía cinética sea al menos tan grande como la profundidad del pozo gravitatorio en el que se encuentra el objeto.

   $$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}\ge 0$$

2. Iguala el total a cero —el caso límite, llegar al infinito sin que quede nada— y resuelve. La propia masa del proyectil se cancela, que es la primera cosa sorprendente: una bala y una roca gigante necesitan exactamente la misma velocidad.

   $$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

3. Introduce los números de la Tierra. Este es el valor que imprime el comparador de arriba cuando se selecciona la Tierra, y vale la pena notar que es una velocidad, no un empuje: nada aquí dice cómo se alcanza.

   $$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times 10^{-11})(5.972\times 10^{24})}{6.371\times 10^6}}=11186m/s\approx 11.2km/s$$

4. Ahora usa el hecho de que m se canceló. Se aplica tanto a una molécula de nitrógeno como a un cohete. Las moléculas de un gas no se mueven todas a una misma velocidad, pero la velocidad cuadrática media depende únicamente de la temperatura.

   $$v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}:{\mathrm{H}}_2\text{at}288\mathrm{K}=1.90km/s,{\mathrm{N}}_2=0.51km/s$$

5. Un gas no se pierde en cuanto una molécula supera la velocidad de escape: la cola rápida de la distribución se va filtrando a lo largo de miles de millones de años. Como regla práctica, se considera que un astro retiene un gas si su velocidad de escape es al menos unas seis veces mayor que la velocidad molecular. La fila de la Luna corresponde a su propia temperatura. Al no tener atmósfera que reparta el calor, la cara diurna alcanza unos 390 K, lo que eleva la velocidad del nitrógeno a 0,59 km/s.

   $$\frac{v_{\text{esc}}}{v_{\text{rms}}}:\text{Earth},{\mathrm{N}}_2=22\text{Earth},{\mathrm{H}}_2=5.9\text{Moon},{\mathrm{N}}_2=4.0$$

11,2 km/s escapan de la Tierra. No escapan del Sol: te dejan en manos del Sol a la distancia de la Tierra, orbitando junto al planeta que acabas de abandonar. Calcula lo que cuesta de verdad salir del Sistema Solar.

1. Empieza por la cifra del panel y por el balance de energía que la produjo: la energía cinética cancelando exactamente la profundidad del pozo gravitatorio.

   $$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times 10^{-11})(5.972\times 10^{24})}{6.371\times 10^6}}=11.19\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

2. Ahora cambia el centro desde el que mides. La propia Tierra está cayendo alrededor del Sol, a una velocidad que fija la misma ley a una unidad astronómica de distancia.

   $$v_{\oplus }=\sqrt{\frac{G{M}_{\odot }}{a}}=\sqrt{\frac{(6.674\times 10^{-11})(1.989\times 10^{30})}{1.496\times 10^{11}}}=29.79\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

3. Escapar del Sol desde ahí exige √2 veces la velocidad circular — la misma relación de antes, porque a la aritmética le da igual qué cuerpo te sujeta.

   $$v_{\mathrm{esc},\odot }(1\mathrm{AU})=\sqrt{2}{v}_{\oplus }=1.4142\times 29.79=42.13\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

4. Resta, y fíjate en lo que te regalan. Ya viajas a 29,79 y necesitas 42,13, así que solo falta la diferencia — y la consigues gratis lanzando en la dirección en que la Tierra ya se mueve.

   $$\Delta v=42.13-29.79=12.34\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

5. Pero aún tienes que trepar fuera de la Tierra, y lo que se suma son las energías, no las velocidades. Por eso las dos cifras se combinan al cuadrado: la velocidad necesaria en la superficie es la hipotenusa, no la suma.

   $$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{R}=\frac{1}{2}\Delta v^2⟹v=\sqrt{v_{\mathrm{esc}}^2+\Delta v^2}=\sqrt{11.19^2+12.34^2}=16.65\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

6. Ahora date la vuelta y lanza contra el movimiento de la Tierra. Las dos velocidades dejan de cancelarse y empiezan a sumarse.

   $$v_{\mathrm{retro}}=\sqrt{11.19^2+(42.13+29.79{)}^2}=\sqrt{125.2+5172.5}=72.79\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$