Lecciones Interactivas de Matemáticas y Ciencias (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*:･ﾟ✧
Experimento 1 · Geometría · cotas rigurosas
En un círculo de diámetro 1, el polígono interior es demasiado corto y el exterior demasiado largo. Sus semiperímetros encierran π.
Conclusión: Ambas cotas tienden al mismo límite; el teorema del sándwich identifica ese límite como π.
Experimento 2 · Medición · circunferencia
π se define como C/d. Una rueda de diámetro 1 recorre una circunferencia exacta en una vuelta.
Conclusión: Una vuelta produce la distancia C; con d = 1, esa distancia es π.
Experimento 3 · Cálculo · área
Un anillo fino de radio x mide 2πx. Al cortar y apilar todos los anillos, sus longitudes van de 0 a 2πr.
Conclusión: El triángulo tiene base 2πr y altura r: A = ½(2πr)r = πr².
Experimento 4 · Física · espacio de fases
El momento y la energía restringen las velocidades a una elipse. Tras reescalar, cada choque es una reflexión alrededor de un círculo.
Conclusión: Para M/m = 100^d, el recuento es floor(π·10^d) y revela cifras sucesivas de π.
Experimento 5 · Probabilidad · orientación
La aguja cruza una línea solo si su centro está cerca y su proyección alcanza la línea. El ángulo aleatorio introduce una integral de sin θ.
Conclusión: Si la longitud iguala la separación, P(cruce) = 2/π y π ≈ 2N/C.
Experimento 6 · Probabilidad · área
Para puntos uniformes, la probabilidad de caer en una región equivale a su proporción del área.
Conclusión: Cuatro veces la fracción observada da π ≈ 4H/N.
Experimento 7 · Análisis · convergencia
Las series infinitas codifican π sin dibujar círculos. Identidades distintas llegan al mismo límite a velocidades muy diferentes.
Conclusión: La suma parcial es una aproximación y el error absoluto mide su distancia a π.
Cada sección aísla una idea, deriva su ecuación y explica qué demuestra realmente la imagen.
Todo círculo euclidiano comparte la misma razón entre circunferencia y diámetro.
C / d = π
Escalar por k multiplica C y d por k, así que C/d no cambia. Ese invariante es π: C = πd = 2πr.
La semejanza, no una unidad concreta, hace universal a π.
Arquímedes situó una figura por debajo y otra por encima de la circunferencia.
n sin(π/n) < π < n tan(π/n)
Para d = 1, los polígonos regulares garantizan n sin(π/n) < π < n tan(π/n). Más lados estrechan un intervalo certificado.
Una cota ofrece a la vez aproximación y error máximo.
El centro avanza uniformemente, pero el punto del borde acelera y frena.
x = r(θ − sin θ), y = r(1 − cos θ)
Con ángulo θ, x = r(θ − sin θ) e y = r(1 − cos θ). En cada cúspide el punto toca el suelo y queda instantáneamente quieto.
Rodar sin deslizar une distancia y ángulo mediante s = rθ.
Cada anillo fino aporta aproximadamente circunferencia × grosor.
∫₀ʳ 2πx dx = πr²
Para radio x y grosor dx, dA = 2πx dx. Sumarlos da A = ∫₀ʳ 2πx dx = πr².
Más anillos y más finos suavizan el borde escalonado.
La conservación de energía convierte el estado de velocidades en una elipse.
N = floor(π√(M/m)), M/m = 100ᵈ
Las coordenadas (√m·v₁, √M·v₂) la transforman en círculo y los choques en reflexiones. M/m = 100^d genera cerca de π·10^d reflexiones.
Las cifras nacen de geometría circular en el espacio de velocidades.
La probabilidad promedia una proyección trigonométrica sobre todos los ángulos.
P = 2L/(πD)
Para L ≤ D, el promedio sobre θ ∈ [0, π] da P = 2L/(πD). Aquí L = D, por lo que P = 2/π.
El azar estima π porque la probabilidad subyacente se conoce exactamente.
Más puntos ayudan, pero el muestreo converge a ritmo de raíz cuadrada.
π ≈ 4H/N
Con p = π/4, el error estándar cae como 1/√N. Una cifra decimal adicional suele exigir unas 100 veces más puntos.
Las oscilaciones son normales; no todo lote nuevo mejora el resultado.
Un mismo límite puede ocultar velocidades muy distintas.
Σ 1/n² = π²/6
Leibniz es muy lenta, Nilakantha mucho más rápida. Basilea conecta Σ1/n² = π²/6 con la aritmética de los enteros.
La gráfica muestra sumas parciales; π no cambia.
La naturaleza algebraica de π resolvió el antiguo problema.
π ∉ Q̄
El cuadrado equivalente al círculo unidad necesitaría lado √π. Regla y compás producen números algebraicos, pero Lindemann probó en 1882 que π es trascendente.
Aproximar es fácil; lo imposible es la construcción exacta bajo esas reglas.
Un hexágono encierra a π entre 3 y 3,4641. Eso supone un margen de 0,46: inútil. Calcula cuántas duplicaciones hacen falta para obtener un buen resultado y qué nos dice esto sobre Arquímedes.
El truco no necesita a π para nada: un polígono dentro de la circunferencia tiene un perímetro menor, uno fuera lo tiene mayor, y ambos perímetros se pueden calcular únicamente con trigonometría.
Se empieza con seis lados, porque el lado de un hexágono regular es igual al radio: el perímetro inscrito es exactamente 3 diámetros, sin aproximación alguna. El circunscrito es 2√3.
Así pues, π queda encerrado en una franja de 0,464 de ancho, lo cual es una demostración real y un mal número. No hay nada incorrecto en ello; sencillamente no hay suficiente polígono.
Duplicar los lados estrecha la franja rápidamente. El ancho disminuye aproximadamente a la cuarta parte cada vez — 0,110; 0,0270; 0,00674; 0,00168 —, ya que el error es de segundo orden en la longitud del lado.
Con cuatro duplicaciones se llega a 96 lados, y la franja se sitúa entre 3,141032 y 3,142715.
Respuesta
La herramienta muestra 3,000000, 3,464102 y una anchura de 0,464102. Cuatro duplicaciones después, un polígono de 96 lados ofrece π con dos decimales de certeza —y ahí es exactamente donde se detuvo Arquímedes, hacia el 240 a. C., con 3¹⁰⁄₇₁ < π < 3¹⁄₇. Lo que hace de esto un hito no es la precisión, sino la acotación: no estimó π, sino que demostró dos números entre los cuales debe situarse, y el método mejora sin límite. Desplaza el control deslizante hasta su máximo de 128 lados y los límites indican 3,141277 y 3,142224 —aún con solo dos decimales seguros, tras más de cuatro duplicaciones. Esa es la medida tanto del logro como del límite del método: la anchura disminuye como 1/n², por lo que cada decimal adicional cuesta diez veces más lados.