Laboratorio de contradicciones lógicas

Resuelve un nuevo acertijo cuya respuesta única ha sido verificada mediante búsqueda exhaustiva.

Ejemplo resuelto — Laboratorio de contradicciones lógicas

Resueltos	0 / 0
Cadena de deducción	0/3 ecuaciones aplicadas

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Un acertijo es un sistema de ecuaciones booleanas

Codifica a quien dice la verdad como 1 y al mentiroso como 0. Hay coherencia cuando el valor de su frase coincide con su bit de rol.

S_X(R) = R_X

El laboratorio comprueba Sₓ(R) = Rₓ para cada X. Todas las ecuaciones comparten el mismo vector R y deben cumplirse a la vez.

Cada frase es una función booleana de la asignación completa.

Una contradicción elimina todo un mundo posible

Supón una asignación, evalúa cada frase y compara el resultado con el rol del hablante.

S_X(R) ≠ R_X ⇒ reject R

Una sola discrepancia basta para rechazar la asignación. Las pistas identifican el supuesto y la ecuación que vuelve imposible su rama.

La contradicción demuestra que un mundo no puede satisfacer las reglas.

No basta con que sea resoluble: debe ser único

Un acertijo puede ser coherente y aun tener varias asignaciones válidas.

|{R : ∀X, S_X(R)=R_X}| = 1

Cada acertijo generado se comprueba exhaustivamente y solo se acepta si sobrevive exactamente un mundo.

El mundo verde es el único modelo del sistema.

Las pistas fuertes eliminan muchos mundos

Una frase útil divide los candidatos; una débil puede valer igual en casi todos.

candidates: 2ⁿ → … → 1

El motor de pistas elige la ecuación no aplicada que elimina más mundos actuales: reduce incertidumbre sin saltar a la respuesta.

El número de candidatos baja con ecuaciones informativas.

La autorreferencia no siempre es una pista útil

«Digo la verdad» concuerda con ambos roles y no aporta información.

S_X(R) = R_X

«Estoy mintiendo» no puede decirlo coherentemente ningún rol bajo reglas estrictas. El generador excluye ambos patrones y usa relaciones entre participantes.

Una autoafirmación es tautológica; la otra crea una ecuación imposible.

Problemas resueltos al detalle

Tres participantes bajo las reglas de caballeros y escuderos eligiendo entre tareas 7 pasos
Tres participantes bajo las reglas de Caballeros y Escuderos: la frase de un Caballero debe resultar verdadera; la de un Escudero, falsa. El laboratorio plantea un acertijo nuevo en cada visita, así que resuelve este en papel: A dice que C miente; B dice que A y C tienen el mismo rol; C dice que al menos 2 de nosotros dicen la verdad. Antes de nombrar a nadie, cuenta las asignaciones entre las que estás eligiendo y luego descártalas frase a frase.
1. No se asume nada sobre cuántos Caballeros hay, por lo que cada participante es un bit independiente: Caballero 1, Escudero 0. Un mundo es el vector completo de 3 bits, y cada uno de ellos empieza vivo. Ese es el número con el que se abre el panel de mundos, y es una propiedad del reparto, no de lo que haya dicho nadie.
  
  $2^{3} = 8$
2. Una frase no es un hecho sobre la sala; es una ecuación sobre quien la pronuncia. La frase del hablante X es una función booleana de todo el vector de roles R, y la coherencia exige que su valor de verdad sea igual al propio bit de X: verdadero si viene de un Caballero, falso si viene de un Escudero; una ecuación en cualquier caso. Las 3 ecuaciones comparten el mismo R, razón por la cual no se puede resolver A, luego B y luego C por separado.
  
  $S_{X} (R) = R_{X}, X \in {A, B, C}$
3. Empieza por A. Si A es un Caballero, la frase se cumple y C miente; si A es un Escudero, la frase falla y C dice la verdad. Cualquiera de las dos ramas deja a A y a C con bits diferentes, lo que supone 4 de los 8 mundos, quedando B aún libre.
  
  $R_{A} = \neg R_{C} ⟹ 8 \to 4$
4. B afirma que A y C coinciden. No es así, por lo que la frase de B es falsa y B es un Escudero. Sobreviven dos mundos: A como Caballero con C como Escudero, o A como Escudero con C como Caballero.
  
  $R_{B} = [R_{A} = R_{C}] = 0 ⟹ 4 \to 2$
5. C lo resuelve. En ambos supervivientes exactamente 1 participante dice la verdad, de modo que «al menos 2 de nosotros» es falso, por lo que el propio bit de C debe ser 0. El mundo con C como Caballero afirma algo que su propio rol prohíbe y desaparece. Queda un mundo.
  
  $Σ R = 1 < 2 ⟹ S_{C} = 0 ⟹ R_{C} = 0$
6. Vuelve atrás y pregúntate por qué A y B descartaron cada uno exactamente la mitad. Ninguna de las dos frases menciona a quien la pronuncia, por lo que para cada combinación de los otros 2 bits hay exactamente 1 valor del bit del hablante que satisface la ecuación. Una frase sobre otras personas deja siempre 2^n-1 mundos: ni más ni menos, diga lo que diga.
  
  $R_{X} = S_{X} (R_{- X}) ⟹ 2^{n - 1} = 2^{2} = 4$
7. La frase de C no es de ese tipo: «al menos 2 de nosotros» también cuenta a C, así que el bit del hablante está a ambos lados de la ecuación y el argumento de la reducción a la mitad se desploma. Aplicada por sí sola a los 8 mundos, la ecuación de C deja 6: elimina 2 mundos donde la de A y la de B eliminan 4 cada una.
  
  $# {R : R_{C} = S_{C} (R)} = 6 \neq = 4$
Respuesta

A es un Caballero, B y C son Escuderos: 1 mundo de los 8 con los que se abre el panel. La unicidad se debe a la aritmética más que a la suerte: 3 hablantes que solo hablan de otras personas reducen el campo a la mitad 3 veces, y si los descartes son independientes, 2³ reducido a la mitad 3 veces es exactamente 1. Por eso los acertijos con esta estructura tienen a todo el mundo cotilleando sobre los demás. C es la excepción, y pasa factura: una ecuación que cuenta a quien la pronuncia deja 6 de 8 en lugar de 4, por lo que despeja un cuarto del tablero donde las otras despejan la mitad. Puedes calcular ese número para cualquier frase candidata antes de conocer un solo rol, lo que lo convierte en la medida honesta de una pista: no lo ingeniosa que suene, sino cuánto tablero elimina.

$2^{n} \cdot (\frac{1}{2})^{n} = 1$
Cuatro participantes en una temática de Hombre Lobo contando los mundos vivos 6 pasos
Mismo laboratorio, temática de Hombres Lobo, 4 participantes. Exactamente 1 de los 4 es el Hombre Lobo, y el Hombre Lobo es el único que miente. Cuenta los mundos vivos antes de que hable nadie y luego compáralo con la ronda de Caballeros de 3 personas.
1. Los roles siguen siendo bits (Aldeano 1, Hombre Lobo 0) y 4 bits libres darían 16 vectores. Ese es el número que la temática tiene que superar.
  
  $2^{4} = 16$
2. La temática es una restricción, no un adorno: exactamente 1 bit es 0. Elegir qué bit es significa elegir 1 participante entre 4, por lo que solo 4 de los 16 vectores son válidos. La cuadrícula de mundos los enumera, desplazándose la W única una posición en cada fila.
  
  $(1 4) = 4$
3. Reducir el espacio en un factor de 4 vale 2 bits, y te los entregaron antes de que se pronunciara una sola palabra.
  
  $lo g_{2} \frac{16}{4} = 2$
4. Ahora la comparación que importa. La ronda de Caballeros con 3 participantes se abre con 8 mundos; esta ronda tiene un sospechoso más y se abre con 4. Más personas, una búsqueda más pequeña: la probabilidad a priori supera al bit que añadió el participante extra.
  
  $2^{3} = 8 > 4$
5. Un mentiroso también significa exactamente 1 mentira. Hablan los 4 participantes y solo la frase del Hombre Lobo es falsa, por lo que 3 de las 4 frases en pantalla son verdaderas; algo que sabes antes de leer ninguna de ellas.
  
  $# {X : R_{X} = 0} = 1 ⟹ # {X : S_{X} (R) = 0} = 1$
6. Lo que hace que la fuerza bruta sea realmente barata aquí: 4 mundos por 4 ecuaciones de hablante son 16 comprobaciones de coherencia, y podrías hacerlas en papel. Las mismas 4 personas bajo las reglas de Caballeros y Escuderos serían 16 mundos por 4 ecuaciones, lo que da 64.
  
  $4 \times 4 = 16 2^{4} \times 4 = 64$
Respuesta

4 de 4, no 16 de 16: la temática eliminó el 75% del tablero antes de la primera frase. Escálalo y los dos juegos dejan de ser el mismo juego. Con n participantes, el espacio del Hombre Lobo es n y el espacio de los Caballeros es 2ⁿ: con 10 jugadores, eso son 10 mundos frente a 1024, y la probabilidad a priori vale ahora 10 − log₂10 = 6,68 bits. La razón es que una ronda de Hombre Lobo solo pregunta cuál de ellos, por lo que su respuesta tiene a lo sumo una anchura de log₂ n bits por muchas sillas que añadas, mientras que una ronda de Caballeros formula n preguntas independientes de sí o no y se duplica cada vez que alguien se sienta. Añadir un jugador a una ronda de Hombre Lobo añade 1 mundo; añadir uno a una ronda de Caballeros los duplica.

$\frac{2 ^{n}}{n}_{n = 10} = \frac{1024}{10} = 102.4$

Referencias (1)

The book that made logic something you can compute with, which is what this lab does: G. Boole, An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. Walton and Maberly, London, 1854.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-22

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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