Problema resuelto al detalle
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Los 90° sobrantes al unir tres cuadrados en un vértice 5 pasos
Tres cuadrados coinciden en un vértice y dejan 90° sin usar. Averigua qué ocurre con ese sobrante y por qué determina si se obtiene un suelo plano, un sólido o ninguno de los dos.
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El ángulo interior de un polígono regular se deduce del hecho de que sus ángulos exteriores suman una vuelta completa. Un cuadrado da 90°, y ese único número es toda la información inicial de la pregunta.
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Al colocar tres de ellos alrededor de un vértice se emplean 270°, dejando 90° sobrantes. En un suelo plano eso constituye un hueco, por lo que la figura no puede teselar el plano.
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El hueco no es un desperdicio. Dobla el vértice hacia arriba hasta que las aristas se junten y el ángulo sobrante se convertirá en curvatura: la esquina es ahora el vértice de un sólido. Que esto sea posible o no lo decide un solo producto, y 2 es menor que 4.
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El sólido que se forma al cerrarse es el cubo. Cuenta sus partes y la relación de Euler se cumple, como ocurre en todo poliedro convexo: vértices menos aristas más caras es 2.
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Ahora suma el ángulo sobrante en los ocho vértices: 720°, y el teorema de Descartes establece que todo poliedro convexo da exactamente esa cantidad, sea cual sea su forma. El cubo, el tetraedro y un cuerpo de 900 caras suman todos 720°.
Respuesta
La herramienta muestra 90° por esquina, 270° alrededor de un vértice, 90° sobrantes, la prueba como 2 < 4, el 2 de Euler y un defecto total de 720°. Un solo producto lo decide todo: si (p−2)(q−2) es menor que 4 se cierra en una esfera, si es igual a 4 se extiende en plano y si es mayor que 4 solo encaja en un espacio hiperbólico. Por eso existen exactamente cinco sólidos platónicos y exactamente tres teselados regulares del plano: {3,6}, {4,4}, {6,3}, el triángulo, el cuadrado y el hexágono, y nada más, nunca. Ajusta p = 6, q = 3 y observa cómo el ángulo sobrante se reduce a cero.
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Referencias (6)
- Why there is no sixth Platonic solid: Euclid, Elements, Book XIII, Proposition 18 and its closing Remark, which rules out further regular solids on the grounds that six equilateral triangles at a corner "will be equal to four right angles" and so lie flat. The edition by David E. Joyce, Clark University.
- The hyperbolic tilings and Escher: H. S. M. Coxeter, "The Non-Euclidean Symmetry of Escher’s Picture ‘Circle Limit III’." Leonardo 12(1), 19–25, 1979.
- The nested solids of Kepler: Johannes Kepler, Mysterium Cosmographicum. Tübingen, 1596 — the model that spaced the six known planets by inscribing the five regular solids between their spheres, and which Kepler spent the following decades replacing.
- Why the honeycomb is hexagonal: Thomas C. Hales, "The Honeycomb Conjecture." Discrete & Computational Geometry 25, 1–22, 2001 — the proof that the regular hexagonal tiling divides a surface into equal areas with the least total perimeter.
- Why so many viruses are icosahedral: D. L. D. Caspar and A. Klug, "Physical Principles in the Construction of Regular Viruses." Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology 27, 1–24, 1962.
- Hyperbolic space for hierarchies and networks: D. Krioukov, F. Papadopoulos, M. Kitsak, A. Vahdat and M. Boguñá, "Hyperbolic geometry of complex networks." Physical Review E 82, 036106, 2010.