Flotabilidad y principio de Arquímedes

Una barca en un tanque y un bloque de carga que está a bordo o en el agua. La página calcula cuánto se hunde la barca, dónde queda el nivel del agua y cuánto varía este al descargar el bloque.

Ejemplo resuelto — Flotabilidad y principio de Arquímedes

Masa que la barca hace flotar	160,0 kg
Líquido que desplaza la barca	160,29 L
Empuje sobre el casco	1569,6 N
Calado del casco	100,2 mm
Líquido desplazado a bordo	40,07 L
Altura del agua sobre el fondo	1,0267 m
Cambio de nivel al descargar	−5,83 mm
Cuánto sube la barca entonces	25,0 mm

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Flotabilidad y principio de Arquímedes

Principio de Arquímedes: un cuerpo total o parcialmente inmerso en un fluido experimenta una fuerza hacia arriba. A esto le llamamos empuje o fuerza de flotación, que es igual al peso del fluido desplazado, F_b = ρgV. Esta fuerza proviene de la presión. El líquido empuja con más fuerza el fondo del cuerpo que la parte superior, al estar el fondo a mayor profundidad. Un cuerpo flota cuando el empuje sobre su porción sumergida iguala su peso. Así, un cuerpo flotante desplaza exactamente su propia masa en líquido. Un cuerpo que se hunde no puede desplazar más de su propio volumen. Cualquier fracción de su peso que el empuje no pueda cargar descansará sobre el fondo. Todas las cifras de esta página provienen de una de esas dos sentencias.

Qué significa cada símbolo

ρ: densidad del líquido, en kg/m³: 998,2 para el agua dulce a 20 °C y 1025 para el agua de mar
V: volumen de líquido desplazado, en m³. Mil litros hacen un metro cúbico
F_b: el empuje, ρgV, en newtons. Para un cuerpo flotante equivale al peso del mismo
d: calado, la profundidad a la que se hunde el casco: su masa entre ρ veces su base
A_t: área de la base del tanque. Un volumen añadido bajo la superficie eleva el nivel en ese mismo volumen dividido por A_t
A_b: base del casco, el área de su fondo plano

Supone: Un casco rectangular de fondo plano y paredes rectas en un tanque de paredes también rectas. Por tanto, un volumen dividido por un área se traduce en altura. El líquido está en reposo, es incompresible y tiene una única densidad uniforme. Un bloque hundido se concibe como un cubo tendido en el fondo, separado del casco y bajo el agua por completo. El veredicto te avisará si hay muy poca agua para cubrirlo. El agua del deshielo tiene la densidad del agua dulce a 20 °C y mantiene su volumen al mezclarse con el mar. La cifra de Noerdlinger y Brower es de aproximadamente el 2,6% frente al 2,68% de esta página. Las densidades y la mezcla explican esas diferencias, ya que aquí optamos por un enfoque sencillo. El pino se ha asignado a unos representativos 500 kg/m³. Cualquier madera que flote dará el mismo cero.
Falla cuando: Cuando el casco deja de ser una caja. La línea de flotación de un barco real cambia de área con la profundidad, de modo que su calado se halla integrando la forma del casco. El ascenso de la barca tampoco obedecerá a una proporción simple. El cambio de nivel del estanque sí permanece intacto, porque solo depende de los volúmenes. La tensión superficial desmonta el ejemplo del tanque justo a pequeñísimas escalas, si el hueco que rodea el casco apenas mide uno o dos milímetros. La compresibilidad no altera nada a estas profundidades. Unos pocos metros de agua lo comprimen muy por debajo de los decimales que ofrece la página. Además, un bote que embarca agua deja de ser un bote. Si se sobrepasa la profundidad del casco, la página lo notificará como hundimiento sin calcular la inmersión paso a paso.

El ancla cae al agua y el estanque baja 🖖

Pulsa Ancla en la barca y luego Ancla en el fondo. En la barca, el ancla flota junto con el casco, y todo lo que flota desplaza su propia masa en agua. Es decir: 40 kg de ancla, 40,07 litros. En el fondo solo desplaza su propio volumen, que para el hierro a 7874 kg/m³ resulta ser de 5,08 litros. Los 35 litros restantes, repartidos por los 6 m² del estanque, bajan la superficie en 5,83 mm. En ese mismo instante la barca sube 25,0 mm, y una barca que sube atrae nuestra mirada. La tabla bajo los resultados calcula esos mismos 40 kg en seis materiales. El pino y el hielo no alteran nada. El oro, el más denso, reduce el nivel 6,33 mm, muy cerca de los 6,68 mm que bajaría si desaparecieran los 40,07 litros por completo.

Fundir hielo no altera el vaso de agua, pero eleva el mar 🖖

El hielo flotando en agua dulce desplaza su propia masa en agua, y al fundirse se convierte en esa misma masa. Así, el nivel no varía. La herramienta te mostrará 0,000 mm para un bloque de cualquier tamaño. En agua de mar, esto deja de cumplirse. Hielo en agua de mar hace flotar 200 kg de hielo desplazando 195,12 litros de mar, y se funde en 200 kg de agua dulce. Esta agua es menos densa que el mar y ocupa un 2,68% más de espacio. El nivel sube 0,873 mm. La densidad del hielo no aparece en ningún momento de la operación. Solo importan las dos aguas. Noerdlinger y Brower resolvieron este problema para los océanos en el año 2007. Situaron el exceso en torno al 2,6% y calcularon que, si se fundiera todo el hielo marino y las plataformas de hielo flotante, el nivel del mar subiría unos 4 cm.

Una tonelada de barca flota con 50 kg de agua 🖖

El empuje sobre un casco equivale a la presión de abajo multiplicada por su base. Esa presión es ρgh: depende de cuánto se hunda el casco, no de cuánta agua lo rodee. Por tanto, la barca solo necesita agua suficiente para rellenar el hueco a su alrededor hasta el límite del calado. Una tonelada muy justa coloca una barca de 1000 kg con un casco de 2 m² en un tanque de 2,1 m², y la mínima agua que la hace flotar son 50,00 kg. Divide eso por la masa de la barca y obtendrás el 5,0%. Equivale al área del hueco dividida por el área del casco, 0,1 ÷ 2, habiéndose anulado tanto la densidad como el peso. Presión por profundidad demuestra lo mismo desde abajo. La fuerza en una base la marca la profundidad que tiene por encima, y un tubo delgado de agua ejerce sobre su base una presión de casi diez veces su propio peso.

Problema resuelto al detalle

Baja el ancla con una cuerda. ¿Cuándo baja el estanque? 5 pasos
La barca de remos del primer caso, 120 kg con un ancla de hierro de 40 kg, en un estanque de 6 m². En lugar de lanzar el ancla, la bajas por una cuerda hasta colgarla bajo el agua sin que toque el suelo, y luego la dejas caer. ¿Varía el nivel mientras cuelga de la cuerda? ¿Cuánto cambia al tocar el fondo? Piénsalo antes de seguir leyendo.

Abre este problema en la herramienta
1. Arranca con todo a bordo. La barca hace flotar 160 kg, así que desplaza 160 kg de agua:
  
  $V_{1} = \frac{120 + 40}{998 . 2} = 0.16029 m^{3} = 160.29 L$
2. El volumen del ancla, y el empuje que esta soporta bajo el agua, es decir, el peso de 5,07 kg de agua:
  
  $V_{a} = \frac{40}{7874} = 0.00508 m^{3} ρ V_{a} = 998.2 \times 0.00508 = 5.07 kg$
3. Mientras cuelga, el ancla se sostiene en parte por el agua y en parte por la cuerda. La cuerda se lleva el resto:
  
  $T = (40 - 5.07) g = 34.93 kg \times 9.81 = 342.65 N$
4. Esa tensión tira de la barca hacia abajo, así que ahora la barca hace flotar 154,93 kg. Suma lo que desplaza el casco a lo que desplaza el ancla a su lado:
  
  $V_{2} = \frac{120 + 34 . 93}{998 . 2} + 0.00508 = 0.15521 + 0.00508 = 0.16029 m^{3} = V_{1}$
5. El total clava la cifra a bordo. Ahora deja que el ancla se pose en el fondo. El suelo asume los 34,93 kg de la cuerda, la barca pasa a flotar solo con sus 120 kg y el agua pierde esa parte de la carga:
  
  $V_{3} = \frac{120}{998 . 2} + 0.00508 = 0.12530 m^{3} Δ h = \frac{V _{3} - V _{1}}{A _{t}} = \frac{0 . 12530 - 0 . 16029}{6} = - 5.83 mm$
Respuesta

Nada se mueve mientras el ancla cuelga. El agua soporta los 160 kg al completo, en parte gracias al casco y en parte por el ancla, exactamente igual que cuando iba a bordo. El nivel desciende 5,83 mm justo en el instante en que el ancla toca el fondo. Desde entonces, el suelo sostiene los 34,93 kg que antes soportaba el agua. Lo que decide el nivel es quién carga con el peso. Caer por la borda no es lo que cambia todo.

$V_{2} = V_{1} \Rightarrow Δ h = 0 V_{3} < V_{1} \Rightarrow Δ h = - 5.83 mm$

Referencias (3)

The principle in Archimedes' own two halves: Proposition 5, a floating solid sinks until it displaces its own weight of fluid, and Proposition 7, a solid heavier than the fluid goes to the bottom and weighs less there by the weight of the fluid it displaces: T. L. Heath (ed.), The Works of Archimedes. Cambridge University Press, 1897. On Floating Bodies, Book I, Propositions 5-7, pp. 257-258.
Why melting floating ice raises the sea, and by about how much: meltwater takes up about 2.6% more room than the seawater the ice displaced, and melting all sea ice and floating ice shelves would raise sea level about 4 cm: P. D. Noerdlinger and K. R. Brower, "The melting of floating ice raises the ocean level." Geophysical Journal International 170(1), 2007, pp. 145-150. DOI 10.1111/j.1365-246X.2007.03472.x
The density of ice, 916.72 kg/m³ at its normal melting point, from the international equation of state for ordinary ice: International Association for the Properties of Water and Steam, Revised Release on the Equation of State 2006 for H2O Ice Ih, IAPWS R10-06(2009). Doorwerth, The Netherlands, September 2009. Table 6.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.