Presión a profundidad

Elige un recipiente, una profundidad y un líquido. La página calcula la presión en la base, la fuerza que ejerce esa presión y cómo se compara con el peso del líquido que hay encima.

Ejemplo resuelto — Presión a profundidad

Densidad del líquido	998 kg/m³
Presión en la base	4,896 kPa
Área de la base	0,0314 m²
Fuerza del líquido sobre la base	153,8 N
Lo que contiene el recipiente	15,708 L
Peso de ese líquido	153,8 N
Fuerza en la base ÷ peso del líquido	1,000
Fuerza en pared vertical, por metro de ancho	1224,0 N/m

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Presión a profundidad

La presión es una fuerza repartida sobre un área, p = F/A. Se mide en pascales: un pascal equivale a un newton sobre un metro cuadrado. En un líquido en reposo, la presión a una profundidad h bajo la superficie es p = ρgh, donde ρ es la densidad del líquido y g vale 9,81 m/s². Lee la fórmula para descubrir qué le falta. No incluye el área ni el volumen. Tampoco dice nada sobre el recipiente. Las tres afirmaciones de la página provienen de esa ausencia. Cada presión mostrada aquí es una presión manométrica, es decir, la cantidad que el líquido añade por encima de cualquier cosa que ya esté empujando su superficie.

Qué significa cada símbolo

p: presión, en pascales. 1 Pa = 1 N/m², y un kilopascal son mil de ellos
ρ: densidad del líquido, en kg/m³. La única propiedad del líquido que aparece en toda esta página
h: profundidad bajo la superficie, en metros. Es la profundidad, no la altura del recipiente ni la cantidad de líquido
A: el área sobre la que se empuja, en m². Presión por área es fuerza
g: 9,81 m/s², para que ρgh se exprese en pascales

Supone: Supone que el líquido está quieto y su densidad es igual en todas partes. Ambas cosas se cumplen para el agua de un tanque, pero fallan con la atmósfera. Por eso esta página incluye líquidos y no gases. La presión atmosférica se omite en cada cálculo porque se anula. El aire empuja hacia abajo la superficie del líquido y hacia arriba la parte inferior de la base con los mismos 101 kPa. Así, jamás aparece en la fuerza que soporta la base. Un profundímetro en una piscina funciona del mismo modo, por lo que las cifras que ves aquí son las que medirías en la práctica.
Falla cuando: Falla cuando el líquido se mueve. Una tubería con flujo obedece a Bernoulli y no a esto. Bernoulli y el efecto Venturi es donde se calcula la presión que pierde un fluido en movimiento por su propia velocidad. Los fluidos compresibles rompen la otra suposición. El aire reduce su densidad a la mitad aproximadamente cada 5,5 km, de modo que usar ρgh con una ρ constante es un error para algo que supere unas pocas decenas de metros de atmósfera. Los recipientes muy pequeños también lo incumplen. En un tubo de un milímetro de ancho, la tensión superficial tira del líquido hacia arriba o hacia abajo a lo largo de una altura que esta página no modela en absoluto. Además, la fuerza en la pared que aparece aquí se da por metro de un muro recto y vertical. Una presa curva soporta su carga apoyándose parcialmente en las laderas del valle. Ese es un cálculo distinto y la razón por la que las presas de arco pueden ser delgadas.

Cuatro recipientes, cuarenta y dos veces el agua, una sola lectura 🖖

Pulsa Acampanado, 68 litros y después Tubo sobre disco, 1,6 litros. Misma base, mismo medio metro de agua, y el volumen varía en un factor de 42. La presión marca 4,896 kPa ambas veces y la fuerza sobre la base es de 153,8 N ambas veces. En p = ρgh solo figuran la profundidad y la densidad. Ninguna de las dos sabe nada sobre las paredes. La tabla inferior evalúa los cuatro recipientes a la vez para que puedas observar cómo dos de sus columnas permanecen fijas mientras las demás se mueven.

La base soporta más de lo que pesa el líquido 🖖

El tubo sobre disco contiene 1,606 litros, aproximadamente 1,6 kg, pero su base soporta 153,8 N, que es el peso de 15,7 kg. Eso es 9,78 veces el agua que tiene encima. El recipiente ensanchado muestra la imagen invertida con 0,231. Aquí no se está creando nada. Las paredes inclinadas empujan el líquido hacia abajo en el caso estrechado y lo levantan en el ensanchado. Esa diferencia es exactamente lo que nota la base. La demostración que lleva el nombre de Pascal no es más que este efecto llevado al límite. Unos pocos cientos de gramos de agua en una tubería larga y delgada logran reventar el barril donde se apoyan. El problema resuelto más abajo detalla ese barril con todas sus cifras.

El doble de profundidad cuadruplica la carga en la pared 🖖

La presión sobre el muro de una presa no es un valor único. Crece desde cero en la superficie hasta ρgh en el fondo. Si haces la media, obtienes la mitad del máximo. El área mojada también crece con la profundidad, por lo que la fuerza por metro de ancho resulta ser ½ρgh², un cuadrado. Aumenta un embalse de 1 m a 2 m y la carga en el muro pasa de 4.896 a 19.585 N por metro, multiplicándose por cuatro. Por este motivo las presas son gruesas en la base y delgadas arriba. La resultante actúa a un tercio de la altura desde el lecho, no en el centro.

Problema resuelto al detalle

El barril de Pascal: ¿cuánta fuerza ejerce medio litro de agua sobre la tapa? 6 pasos
Un barril sellado tiene una tapa de 0,60 m de ancho. Se encaja un tubo fino de 5 mm de radio en la tapa y se llena de agua hasta una altura de 5 m. Calcula la fuerza que el agua ejerce sobre la tapa y compárala con el peso del agua en el tubo antes de seguir leyendo. Pulsa Tubo sobre disco, 1,6 L para ver esto mismo a un décimo de su escala.

Abre este problema en la herramienta
1. El tubo añade presión a través de su altura y nada más. Cinco metros de agua:
  
  $p = ρ g h = 998.2 \cdot 9.81 \cdot 5 = 48, 962 Pa$
2. Esa presión actúa sobre toda la tapa, que es un disco de 0,30 m de radio:
  
  $A_{lid} = π R^{2} = π \cdot 0.3 0^{2} = 0.28274 m^{2}$
3. La fuerza es la presión multiplicada por el área. Escrito como masa resulta más fácil de imaginar. La tapa soporta unas 1,4 toneladas.
  
  $F = p A_{lid} = 48, 962 \cdot 0.28274 = 13, 844 N (\frac{13 , 844}{9 . 81} = 1, 411 kg)$
4. Ahora veamos el agua responsable de eso. El calibre del tubo es de 5 mm, así que su sección transversal es minúscula:
  
  $bore radius cross-section π r^{2} volume π r^{2} h mass ρ V weight ρ V g 0.005 m 7.854 \times 1 0^{- 5} m^{2} 3.927 \times 1 0^{- 4} m^{3} = 0.3927 L 0.392 kg 3.85 N$
5. Divide una entre la otra. Trescientos noventa gramos de agua ejercen 13.844 N sobre la tapa:
  
  $\frac{F}{W} = \frac{13 , 844}{3 . 85} = 3, 600$
6. Aquí reside lo más importante. Escribe la proporción en símbolos y la altura se anulará, porque aparece en la presión y de nuevo en el volumen. La densidad y g también lo hacen. La multiplicación es solo la proporción entre ambas áreas, exactamente el modo en que un gato hidráulico levanta un coche.
  
  $\frac{F}{W} = \frac{ρ g h A _{lid}}{ρ g A _{pipe} h} = \frac{A _{lid}}{A _{pipe}} = (\frac{0 . 30}{0 . 005})^{2} = 6 0^{2} = 3, 600$
Respuesta

13.844 N en la tapa a partir de 3,85 N de agua. Es una multiplicación por 3.600. Esa cifra sale de (0,30 ÷ 0,005)² y sería idéntica para un tubo de cualquier altura o un líquido de cualquier densidad. Pascal no necesitaba mucha agua, necesitaba un tubo delgado. El barril no revienta por lo que hay en el tubo, revienta por la proporción que existe entre el tubo y la tapa.

$13, 844 N from 3.85 N \Rightarrow \frac{A _{lid}}{A _{pipe}} = 3, 600$

Referencias (3)

How the result on this page was arrived at, and by whom. Stevin had the paradox in 1586, half a century before Pascal, and the paper follows what each of them actually added: A. F. Chalmers, "Qualitative novelty in seventeenth-century science: Hydrostatics from Stevin to Pascal." Studies in History and Philosophy of Science Part A 51, 2015, pp. 1-10. DOI 10.1016/j.shpsa.2015.01.001
Stevin's own hydrostatics, where the force on the base was first separated from the weight of the liquid: E. J. Dijksterhuis, "Hydrostatics." In Simon Stevin: Science in the Netherlands around 1600, Springer Netherlands, 1970, pp. 64-69. DOI 10.1007/978-94-010-3207-0_5
The paradox had a name and a readership long before it had a syllabus. This is the 1869 note it carried in Scientific American: "The Hydrostatic Paradox." Scientific American 21, 1869, p. 249. DOI 10.1038/scientificamerican10161869-249

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.