Chorros de salida de un depósito

Un depósito se mantiene lleno hasta 1,20 m. Se perforan tres orificios en su lateral, a 0,30 m, 0,60 m y 0,90 m por encima de la mesa sobre la que descansa. Calcula dónde cae cada chorro y halla la altura que lanza el agua más lejos.

1. El agua que sale por un orificio ha sido empujada por la profundidad que tiene encima y por nada más. Esa presión le otorga exactamente la velocidad que tendría una piedra al caer esa misma distancia, que es el resultado de Torricelli. El orificio inferior tiene 0,90 m de agua por encima.

   $$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.81\times 0.90}=4.20m/s$$

2. Una vez en el aire, el chorro es un proyectil disparado horizontalmente, así que el tiempo que se mantiene en vuelo lo decide la distancia que tiene que caer. La profundidad sobre el orificio fija la velocidad. La altura bajo el orificio fija el tiempo.

   $$t=\sqrt{\frac{2y}{g}}=\sqrt{\frac{2\times 0.30}{9.81}}=0.2473\mathrm{s}$$

3. Multiplica las dos y la g se cancela del resultado. En la Luna, un chorro sale más despacio y se mantiene en el aire más tiempo, y aterriza en el mismo lugar.

   $$R=vt=\sqrt{2gh}\sqrt{\frac{2y}{g}}=2\sqrt{hy}=2\sqrt{0.90\times 0.30}=1.039\mathrm{m}$$

4. El alcance solo depende del producto de la profundidad superior y la altura inferior, y ambas siempre suman H. Al cambiar y por H − y el producto queda intacto, por lo que el orificio a 0,90 m llega exactamente igual de lejos que el orificio a 0,30 m.

   $$R(y)=2\sqrt{(H-y)y}⟹R(0.90)=2\sqrt{0.30\times 0.90}=1.039\mathrm{m}=R(0.30)$$

5. Dos números con una suma fija alcanzan su máximo producto cuando son iguales, lo que coloca al mejor orificio a media altura. La profundidad superior y la altura inferior son entonces H/2, y el alcance resulta ser exactamente H.

   $$\underset{y}{\max }(H-y)y⟹y=\frac{H}{2}=0.60\mathrm{m},R_{\max }=2\sqrt{\frac{H}{2}\cdot \frac{H}{2}}=H=1.200\mathrm{m}$$

6. Por consiguiente, ningún depósito lanza el agua por la mesa más lejos de lo que mide de profundidad, por mucho que juegues con el taladro. Y los gemelos aterrizan en el mismo punto sin llegar a la vez: el chorro superior vuela durante 0,4284 s frente a los 0,2473 s del inferior, así que el punto de impacto se moja dos veces con una diferencia de 0,18 s.

   $$t_{0.90}=\sqrt{\frac{2\times 0.90}{9.81}}=0.4284\mathrm{s},t_{0.90}-t_{0.30}=0.1810\mathrm{s}$$