Vaciado del tanque y caída de Torricelli

Llenas un barril de 300 mm hasta 1,00 m de profundidad y abres un orificio de 10 mm en el fondo. ¿Cuánto tarda en vaciarse y qué parte de ese tiempo se lleva la última mitad del agua?

1. Dos áreas determinan todo el problema. La sección transversal del barril te dice cuántos litros contiene cada milímetro de nivel. La del orificio dicta con qué rapidez pueden salir esos litros.

   $$A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi (0.30{)}^2}{4}=0.0707{\mathrm{m}}^2,a=\frac{\pi (0.010{)}^2}{4}=7.85\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2$$

2. La velocidad en el orificio vuelve a ser la de Torricelli, marcada por la profundidad del agua que aún queda por encima. El coeficiente de descarga aparece porque el chorro se estrecha hasta un 62% del orificio al salir. Multiplica por el área del agujero para obtener el volumen por segundo. Luego, divide entre el área del barril y tendrás la velocidad a la que cae el nivel.

   $$\frac{dh}{dt}=-\frac{C_{d}a\sqrt{2gh}}{A}$$

3. La profundidad está en ambos miembros de la ecuación. Sepárala e integra desde lleno hasta vacío. Este es el único cálculo diferencial del problema, y de él nace la forma de todo lo que sigue.

   $${\int }_H^0\frac{dh}{\sqrt{h}}=-\frac{C_{d}a\sqrt{2g}}{A}{\int }_0^{T}dt⟹2\sqrt{H}=\frac{C_{d}a\sqrt{2g}}{A}T$$

4. Si la reordenas, obtienes el tiempo de vaciado. Solo queda introducir los números.

   $$T=\frac{A}{C_{d}a}\sqrt{\frac{2H}{g}}=\frac{0.0707}{0.62\times 7.85\times 10^{-5}}\sqrt{\frac{2\times 1.00}{9.81}}=655.4\mathrm{s}$$

5. Si evalúas la misma integral hasta una profundidad h en lugar de cero y despejas la variable, consigues el nivel en cada instante. Es una parábola. Llega a cero en T y ahí se detiene. Un condensador nunca termina de descargarse del todo. Un barril sí, porque la última gota de agua sigue impulsada por el último milímetro de profundidad.

   $$h(t)=H{\left(1-\frac{t}{T}\right)}^2$$

6. Iguala el nivel a la mitad y despeja el tiempo. No es la mitad de T.

   $$\frac{H}{2}=H{\left(1-\frac{t}{T}\right)}^2⟹\frac{t}{T}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}=0.293$$

7. La mitad superior se va en el 29,3% del proceso, lo que reserva a la mitad inferior el otro 70,7%. Esa proporción es totalmente ajena a la profundidad, el diámetro, la gravedad o el coeficiente.

   $$\frac{T-t_{1/2}}{t_{1/2}}=\frac{1/\sqrt{2}}{1-1/\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}=2.414$$

8. T arrastra una raíz cuadrada de H y ningún otro factor sobre el agua. Por tanto, llenar el mismo barril hasta 2,00 m no duplica la espera. La multiplica por 1,414.

   $$\frac{T(2.00)}{T(1.00)}=\sqrt{\frac{2.00}{1.00}}=1.414⟹T=926.9\mathrm{s}$$