Laboratorio de control Bode/Nyquist

mueve los polos con los deslizadores y observa cómo cambian al instante los márgenes de robustez

Valores iniciales — Laboratorio de control Bode/Nyquist

Ganancia de lazo K	1
Frecuencia natural wn	3
Coeficiente de amortiguamiento zeta	0.7

Cambia cualquier control de arriba y los resultados se recalculan.

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Lección

La teoría — Laboratorio de control Bode/Nyquist

El criterio de estabilidad de Nyquist resuelve si un lazo realimentado es estable contando en lugar de resolver. Se traza la respuesta en lazo abierto G(jω) en el plano complejo, se cuenta cuántas veces la curva rodea el punto −1 + j0 y se suma el número de polos inestables que el lazo ya tenía antes de cerrarse: Z = N + P. Cualquier Z distinto de cero significa que el lazo cerrado se dispara.

Qué significa cada símbolo

P: el número de polos de G(s) en lazo abierto que ya están en el semiplano derecho, contados antes de cerrar el lazo. Para la planta de esta página vale siempre 0.
N: el número de rodeos en sentido horario del punto −1 + j0 que da la curva de Nyquist. Las vueltas antihorarias cuentan como negativas, de modo que N puede quedar por debajo de cero.
Z: el número de polos en lazo cerrado situados en el semiplano derecho: la respuesta que de verdad se buscaba. Z = 0 es estabilidad; cualquier otro valor no lo es.
−1 + j0: el punto crítico, dibujado en rojo en el diagrama de Nyquist. Allí la ganancia de lazo vale exactamente 1 con exactamente 180° de retardo de fase: una señal enviada una vuelta completa regresa del mismo tamaño e invertida.

De dónde viene la fórmula

Plantear bien la pregunta. Con realimentación unitaria negativa la función de transferencia en lazo cerrado es G/(1 + G), así que sus polos son los ceros de 1 + G(s). La estabilidad se reduce a una sola pregunta: ¿tiene 1 + G(s) algún cero en el semiplano derecho? Encontrarlos exigiría factorizar un polinomio que quizá ni siquiera se posee.
Contarlos en vez de buscarlos. El principio del argumento dice que si s recorre una vez un contorno cerrado en sentido horario, la imagen de 1 + G(s) gira alrededor del origen tantas veces como ceros haya dentro, menos los polos que haya dentro. Girar alrededor del origen para 1 + G es el mismo movimiento que girar alrededor de −1 para G: de ahí dónde queda el punto crítico, y por qué es −1 y no otro número.
Se toma como contorno todo el semiplano derecho: subiendo por el eje imaginario y volviendo por un semicírculo infinito. Ahora «dentro del contorno» e «inestable» significan lo mismo. Los ceros encerrados son Z, los polos encerrados P, el número de vueltas es N, y el principio del argumento se lee N = Z − P; reordenado, Z = N + P. Sobre el eje imaginario s = jω, y G(jω) es la respuesta en frecuencia: la curva que esta página ya dibuja.
Esa última frase es toda la ganancia. El recuento no necesita modelo alguno. G(jω) se puede medir —excitando el hardware real con senoides y registrando lo que vuelve—, de modo que se obtiene un veredicto de estabilidad sobre un sistema cuya ecuación nadie escribió nunca. Los márgenes de ganancia y de fase son entonces dos maneras de preguntar por cuánto la curva medida falla el −1: una a lo largo del eje real negativo, otra sobre la circunferencia unidad.

Cómo leer lo que ves

Los tres paneles muestran el lazo abierto —G(jω) por sí sola, con la rama de realimentación todavía sin conectar— mientras que los dos márgenes de debajo describen lo que ocurre una vez conectada. El pico de magnitud cerca de ω_n, y también ω_r y M_r de la tabla, pertenecen por tanto a G y no al lazo cerrado que se está diseñando. En el diagrama de Nyquist la curva continua es ω creciendo desde cero y la discontinua es su reflejo para ω negativa. Hacen falta las dos: un rodeo solo existe cuando el contorno se cierra, y un barrido en frecuencia nunca mide más que la mitad. Las flechas dan el sentido de recorrido, que es lo que decide si una vuelta cuenta como horaria.

Supone: Realimentación unitaria negativa y un P conocido. Esta página nunca pide P: lo toma como cero, algo correcto aquí solo porque el deslizador de amortiguamiento se detiene en ζ = 0.05 y ambos polos permanecen en el semiplano izquierdo en cualquier ajuste alcanzable. Dele el mismo criterio a una planta ya inestable en lazo abierto y una curva sin rodeos significará exactamente lo contrario de lo que significa aquí. También se supone que nada se canceló por el camino: un polo del semiplano derecho cancelado por un cero desaparece de G(s) pero sigue en el hardware, y el recuento certificará entonces un lazo que aun así se dispara.
Falla cuando: Nyquist responde sí o no sobre un único modelo exacto, y el hardware no es exacto ni permanece quieto. Z = 0 dice que el lazo nominal es estable y nada en absoluto sobre cuánto tiene que derivar una ganancia, o moverse una temperatura, para que deje de serlo: por eso esta página imprime dos márgenes en lugar de la sola palabra «estable». Los márgenes son a su vez optimistas, porque cada uno se mide manteniendo el otro fijo: un lazo puede exhibir un margen de ganancia cómodo y un margen de fase cómodo, y aun así un cambio moderado de ambos a la vez lleva la curva justo a través de −1. La cifra honesta es la distancia más corta de la curva al punto crítico, en cualquier dirección, y aquí no la dibuja ningún panel.

No puedes desestabilizar este lazo con ganancia 🖖

Cada uno de los dos polos aporta como máximo 90° de retardo de fase, y solo alcanza sus 90° completos a frecuencia infinita, así que la fase de K·ω_n²/(s² + 2ζω_ns + ω_n²) se acerca a −180° sin llegar nunca. Lleva los tres deslizadores a sus límites y se detiene en −179,99°. Por eso el margen de ganancia marca ∞: la curva de Nyquist nunca rodea el −1, y aumentar K solo la estira. Aquí la inestabilidad necesita una tercera fuente de retardo —un polo extra, un integrador, un retardo de transporte—, no más ganancia.

Predecir oscilaciones sin resolver ecuaciones 🖖

En lugar de resolver la ecuación diferencial, se excita el sistema con señales senoidales en muchas frecuencias y se observa su respuesta. El diagrama de Bode registra cuánto se amplifica cada frecuencia y cuánto se retrasa en fase. El problema aparece donde la ganancia cruza 0 dB mientras la fase se acerca a −180°: la realimentación se refuerza a sí misma y el lazo oscila. El margen de fase mide qué tan lejos estás de ese borde — más margen significa un control más tranquilo.

El margen de fase fija un límite de retardo 🖖

Un buen margen de fase también indica cuánto retardo puro puede soportar el lazo. Un retardo añade un desfase que crece con la frecuencia (−ωτ), consumiendo el margen más rápido donde el lazo es más activo. El retardo tolerable es aproximadamente τ = PM / ω_c, con PM en radianes y ω_c la frecuencia de cruce de ganancia. Así, un lazo rápido y de gran ancho de banda puede arruinarse con unos milisegundos de retardo del sensor que uno más lento con el mismo margen ignora.

Intuición errónea común

Una ganancia más alta no siempre significa mejor control. Puede mejorar la velocidad mientras destruye silenciosamente los márgenes de robustez.

Problema resuelto al detalle

Un pico resonante de 1,0002 y un margen de ganancia infinito 6 pasos
Un lazo de segundo orden con ζ = 0,7. El panel indica un pico de resonancia de 1,0002 y un margen de ganancia infinito. Explique ambos.
1. La forma estándar de segundo orden, con los tres parámetros que ajustan los deslizadores. Todo lo que sigue se deduce del denominador.
  
  $G (s) = \frac{K ω _{n}^{2}}{s ^{2} + 2 ζ ω _{n} s + ω _{n}^{2}} = \frac{9}{s ^{2} + 4.2 s + 9} (K = 1, ω_{n} = 3, ζ = 0.7)$
2. Los polos son las raíces. La parte real es la tasa de decaimiento y la parte imaginaria es la frecuencia de oscilación, y ambas son visibles en la respuesta al escalón.
  
  $s = - ζ ω_{n} \pm j ω_{n} 1 - ζ^{2} = - 2.1 \pm j 3 0.51 = - 2.1 \pm j 2.142$
3. La frecuencia de resonancia no es la frecuencia natural. La raíz cuadrada que contiene puede anularse, lo cual es el objetivo del paso siguiente.
  
  $ω_{r} = ω_{n} 1 - 2 ζ^{2} = 3 1 - 0.98 = 3 0.02 = 0.424 rad/s$
4. Se anula en ζ = 1/√2. En 0,7 el sistema apenas está dentro de la región con pico, y el pico es de 0,002 dB: presente en el álgebra e invisible en cualquier gráfica.
  
  $1 - 2 ζ^{2} > 0 ⟺ ζ < \frac{1}{2} = 0.7071; M_{r} = \frac{1}{2 ζ 1 - ζ ^{2}} = 1.0002$
5. Ahora la fase. Cada polo aporta un retraso de fase que se aproxima a 90°, de modo que dos de ellos se aproximan a 180° desde arriba y nunca llegan a cruzarlo.
  
  $∠ G (j ω) = - arctan \frac{2 ζ ω _{n} ω}{ω _{n}^{2} - ω ^{2}} ⟶ - 18 0^{\circ} only as ω \to \infty$
6. Al no haber cruce no hay margen de ganancia propiamente dicho, que es lo que indica el panel.
  
  $PM = 163.7 5^{\circ}, GM = \infty$
Respuesta

ζ = 0,7 está justo por debajo de 1/√2 y dos polos no pueden alcanzar −180°. La frecuencia de resonancia incluye √(1 − 2ζ²), que se anula en ζ = 0,7071, por lo que 0,7 está 0,001 dentro de la región en la que llega a haber un pico, y el pico que tiene es de 1,0002, o 0,002 dB. Ese umbral es la condición de Butterworth, y por eso 0,707 es el amortiguamiento al que recurre cualquier libro de texto sobre filtros: es el ajuste de respuesta más rápida que sigue sin presentar pico. El margen de ganancia infinito es una afirmación más contundente y más peligrosa. Cada polo aporta como máximo 90° de retraso de fase, de modo que dos de ellos se aproximan a 180° sin llegar nunca a alcanzarlos, y ninguna cantidad de ganancia hará oscilar a este lazo. Los lazos reales siempre terminan oscilando —el tercer polo, el retardo de transporte, la resonancia no modelada—, por lo que un margen de ganancia infinito es una señal fiable de que al modelo le falta algo, no de que el hardware sea seguro.

$ζ = 0.7 sits just under \frac{1}{2}; GM = \infty$

Referencias (2)

The lesson — the encirclement count Z = N + P, in the paper that introduced it: H. Nyquist, "Regeneration Theory." Bell System Technical Journal 11(1), 126–147, 1932.
Insight block 3 — phase margin as a delay budget: K. Ogata, Modern Control Engineering, 5th edition, ch. 7. Prentice Hall, 2010. ISBN 978-0-13-615673-4.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-29

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

línea base estable - K = 1 da una ganancia unitaria en continua, una frecuencia de cruce de 0,60 rad/s y un margen de fase de 163,74°. Nada de esto se acerca siquiera a una situación problemática.
cerca de la oscilación - Es el ajuste predefinido menos estable de la herramienta: un margen de fase de 16,70° y un pico de resonancia de 16,44 dB, por lo que solo admite un retardo de 52 ms.
lento pero robusto - K = 0,8 y ζ = 0,9, así que la ganancia nunca llega a 0 dB. No hay frecuencia de cruce, el margen de fase es infinito y ningún retardo puede desestabilizar el sistema.
riesgo por ganancia alta - Aunque su nombre alude al riesgo, es el más seguro de los dos ajustes con márgenes estrechos: su margen de fase es de 21,66°, frente a los 16,70° de «Casi oscilante», porque la ventaja de ζ = 0,35 frente a 0,2 compensa con creces el aumento de K = 2,6 a 4,2.