Simulador de Proyectil con Resistencia y Viento

Compara la trayectoria ideal con la influida por la resistencia del aire.

Ejemplo resuelto — Simulador de Proyectil con Resistencia y Viento

Alcance real	28.0 m
Altura máxima real	9.5 m

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Simulador de Proyectil con Resistencia y Viento

Añada resistencia del aire a un proyectil y no obtendrá una parábola corregida: perderá la fórmula. La resistencia cuadrática es una fuerza −(k/m)·|v_rel|·v_rel, dirigida contra el movimiento a través del aire y creciente con el cuadrado de la velocidad. Liga entre sí las ecuaciones horizontal y vertical, y el par acoplado carece de solución elemental. Esta página integra el vuelo en pasos de 10 milisegundos porque ya no queda nada que evaluar.

Qué significa cada símbolo

θ: el ángulo de lanzamiento. Sin resistencia su mejor valor es 45° para cualquier velocidad inicial y cualquier masa: una constante del problema. Con resistencia no es nada de eso, y de ello trata esta lección.
k/m: el coeficiente de resistencia dividido por la masa. Es la única combinación que aparece en las ecuaciones: nunca k a solas, nunca m a solas. Dos de las seis casillas de entrada son dos asas del mismo número.
v_rel: la velocidad relativa al aire, v − w. La resistencia actúa sobre ella y nunca sobre la velocidad respecto al suelo, y por eso el viento de frente y el de cola no son imágenes especulares.
R: el alcance. La página imprime dos — R_ideal, de la parábola en forma cerrada, y R_actual, de la integración — y la distancia entre ambos es lo que se llevó el aire.

De dónde viene la fórmula

Empecemos sin aire, donde los dos ejes nunca se hablan. La velocidad horizontal es constante, la posición vertical es una parábola en el tiempo, y eliminar el tiempo deja R = v₀² sin(2θ)/g. Al maximizar, sin(2θ) es máximo en 2θ = 90°. Fíjese en lo que ha desaparecido: ni v₀ ni la masa figuran en esa condición, de modo que 45° es el mejor ángulo para todo lanzamiento que haya existido. Por eso se recuerda como un hecho y no como un resultado.
Añadamos ahora la resistencia y veamos cómo los ejes dejan de ser independientes. La fuerza es −(k/m)·|v_rel|·v_rel, y |v_rel| es √(v_x² + v_y²): contiene ambas componentes. La ecuación horizontal pasa así a depender de lo deprisa que se sube, y la vertical de lo deprisa que uno se aleja. El par es no lineal y se niega a separarse; ninguna fórmula elemental para R sobrevive. La curva continua del gráfico se integró, no se evaluó, y la página la escribe honradamente como una suma.
Lea la aritmética y algo destaca: k y m solo aparecen como k/m. Una bola pesada es una bola ligera en aire más enrarecido. Ponga k = 0.03 con m = 3 y obtendrá, hasta la última cifra, la trayectoria de k = 0.01 con m = 1: el ajuste «bola pesada» es el caso de poca resistencia con otro nombre, y la casilla de masa no puede decir nada que no dijera ya la de resistencia.
Y ahora el óptimo se mueve. Subir empinado sigue comprando tiempo de vuelo, pero con resistencia el tiempo de vuelo se paga en velocidad, y es la velocidad la que lleva hacia delante: el mejor ángulo se inclina, pues, hacia lo llano. Y como un proyectil más rápido acumula más resistencia por el camino, ese ángulo depende ahora de la velocidad de lanzamiento, cosa que antes nunca ocurría. Pruébelo con la resistencia por defecto de esta página: a 25 m/s los 45° no cuestan casi nada, 28.0 m frente a los 28.5 m que se hallan a mano cerca de 38°; a 90 m/s cuestan mucho, pues allí 45° dan 65.4 m y unos 30° dan 70.8 m.

Cómo leer lo que ves

Dos curvas y dos números que responden a preguntas distintas. La curva discontinua es el mismo lanzamiento con el aire retirado —no una aproximación de la continua, sino la solución de otro problema—, así que el espacio entre ambas es directamente lo que costó la resistencia. R_ideal se imprime como una fórmula con sus números sustituidos, porque existe una fórmula; R_actual se imprime como Σ v_x Δt, porque no existe ninguna. Ponga la resistencia a cero: ambas describen la misma física, y aun así la página muestra 63.7 m frente a 63.5 m. Ese quinto de metro no es aire. Es el error propio del integrador, y conviene saber que está ahí antes de leer cualquier hueco como física.

Supone: Aire en reposo salvo un viento horizontal constante que sopla a la misma velocidad a cualquier altura, densidad uniforme en todo el ascenso y un coeficiente de resistencia que no varía con la velocidad. Una masa puntual: sin sustentación, sin giro, sin fuerza Magnus, de modo que una bola de golf cortada y un proyectil que deriva quedan ambos fuera de lo que este modelo puede decir.
Falla cuando: La integración corre como mucho 5000 pasos de 10 ms —cincuenta segundos de vuelo— y nada en la página lo menciona. Los ajustes normales no se acercan: el caso por defecto vuelve al suelo en menos de tres segundos. Pero quite la resistencia y dispare fuerte y empinado, v₀ = 300 m/s a 85°, y la trayectoria se detiene sin más en pleno aire con el proyectil todavía a 2.68 km del suelo; el alcance impreso debajo es donde estaba en ese instante, no donde cae. La resistencia oculta este límite más que causarlo: el mismo disparo con k = 0.03 está en tierra en nueve segundos.

por qué la resistencia rompe la simetría de la parábola 🖖

La resistencia del aire destruye la elegante simetría de la parábola ideal de un proyectil. La fuerza de resistencia es proporcional a v², así que duplicar la velocidad cuadriplica la resistencia. Al alcanzar la velocidad terminal, la resistencia iguala a la gravedad y la aceleración vertical se detiene. Las tablas de artillería reales tienen en cuenta la resistencia, el efecto giroscópico, la densidad del aire y el viento — la fórmula ideal es solo una primera aproximación.

Cuenta el aire, no el suelo 🖖

Un proyectil solo siente la resistencia por su velocidad respecto al aire, no respecto al suelo. El viento mueve toda la masa de aire, mientras que la resistencia siempre actúa en sentido opuesto al movimiento relativo a ese aire. Por eso un viento en contra aumenta la velocidad efectiva respecto al aire y la resistencia muerde más fuerte, mientras que un viento a favor la reduce, dejando que el proyectil vuele más lejos de lo que explicaría el suave empuje del viento.

Por qué los hoyuelos hacen volar más lejos 🖖

Lo contraintuitivo: hacer más rugosa una pelota puede reducir su resistencia. Los hoyuelos de una pelota de golf fuerzan al flujo a formar una fina capa límite turbulenta que se adhiere más tiempo a la superficie, encogiendo la estela de baja presión que queda detrás. Una pelota con hoyuelos vuela casi el doble que una lisa lanzada igual. La sencilla ley de resistencia v² de este simulador supone un coeficiente de resistencia fijo, así que no capta esa 'crisis de resistencia' en la que Cd cae de golpe al aumentar la velocidad.

Problema resuelto al detalle

Por qué el resultado de 63,7 m de la fórmula en el vacío pasa a ser de 28,0 m 5 pasos
25 m/s a 45°, coeficiente de arrastre 0,03. La fórmula en el vacío da 63,7 m. Deduzca por qué la respuesta es 28,0 m —y por qué la altura se conserva mucho mejor que el alcance.
1. Comience por la respuesta que el aire va a estropear. Ambas fórmulas para el vacío son exactas, ocupan una sola línea y constituyen la única base analítica de este problema.
  
  $R_{ideal} = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g} = \frac{2 5 ^{2} sin 9 0 ^{\circ}}{9.81} = 63.7 m, H_{ideal} = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} θ}{2 g} = 15.9 m$
2. Escriba ahora la ecuación real. El término de arrastre apunta en sentido opuesto al vector velocidad, por lo que su componente horizontal depende de la velocidad vertical y viceversa: los dos ejes dejan de ser independientes y la parábola deja de existir.
  
  $\ddot{r} = - g \hat{y} - k ∣ \dot{r} ∣ \dot{r} — the drag term couples x and y, so no closed form survives$
3. Lea del panel las dos pérdidas expresadas como fracciones. Son distintas, y esa diferencia es lo que vale la pena explicar.
  
  $R_{actual} = 28.0 m = 0.44 R_{ideal}, H_{actual} = 9.5 m = 0.60 H_{ideal}$
4. La velocidad límite es la velocidad a la que el arrastre equilibra el peso, y compararla con la velocidad de lanzamiento indica qué fuerza predomina al principio.
  
  $v_{t} = \frac{g}{k} = \frac{9.81}{0.03} = 18.1 m/s < v_{0} = 25 m/s$
5. La longitud de arrastre 1/k es la distancia a lo largo de la cual el aire reduce una fracción sustancial de la velocidad. Compárela con el alcance que esperaba obtener.
  
  $ℓ = \frac{1}{k} = 33.3 m \approx R_{ideal} /2 ⟹ drag is not a correction here, it is the problem$
Respuesta

Porque la resistencia del aire tiene una escala de longitud de 33 m, mientras que el lanzamiento debía alcanzar 64 m de longitud y solo 16 m de altura. El alcance conserva el 44 % de su valor en el vacío, y la altura máxima, el 60 %. Estas dos cifras indican que el régimen no es perturbativo. La velocidad terminal √(g/k) es de 18,1 m/s, inferior a los 25 m/s del lanzamiento: al principio, el aire frena la pelota más que la gravedad. Además, 1/k = 33 m equivale a la mitad del alcance en el vacío, cuando una corrección pequeña exigiría una escala muchas veces mayor. Tampoco hay una solución cerrada a la que recurrir; la resistencia acopla los dos ejes, y por eso el panel integra las ecuaciones en lugar de limitarse a sustituir valores.

$drag keeps 44% of the range but 60% of the height$

Ruta de aprendizaje

Lanzar objetos

Referencias (2)

The lesson — why the coupled equations admit no elementary range formula, and how the optimum angle moves: G. W. Parker, "Projectile motion with air resistance quadratic in the speed." American Journal of Physics 45(7), 606–610, 1977.
Insight block 3 — why roughening a ball reduces its drag: P. W. Bearman and J. K. Harvey, "Golf Ball Aerodynamics." Aeronautical Quarterly 27(2), 112–122, 1976 — wind-tunnel measurements of dimpled against smooth spheres.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-05-27

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

sin resistencia - Sin resistencia el vuelo termina en 63.5 m, con la parábola ideal impresa al lado en 63.7 m.
viento en contra - Un viento de frente reduce ese mismo lanzamiento a 14.2 m.
viento a favor - El mismo viento por detrás da 41.2 m, casi el triple que con viento de frente.
bola pesada - El triple de masa lleva la misma bola hasta 43.3 m.