Simulador de Tiro Parabólico

trayectoria parabólica con animación en vivo

Valores iniciales — Simulador de Tiro Parabólico

Velocidad de lanzamiento (v₀)	20
Ángulo de lanzamiento (θ)	45
Altura de lanzamiento (h)	0

Cambia cualquier control de arriba y los resultados se recalculan.

Cargando simulación interactiva...

Cuarenta y cinco grados solo gana en terreno llano 🖖

El movimiento de proyectiles analiza la cinemática de un objeto lanzado en un campo gravitatorio con aceleración g hacia abajo. Sin resistencia del aire, la velocidad horizontal es constante y el movimiento vertical es uniformemente acelerado, creando una trayectoria parabólica. El alcance máximo ocurre a 45 grados.

Dos movimientos en uno 🖖

Un proyectil hace en realidad dos cosas independientes a la vez: se desplaza lateralmente a ritmo constante mientras cae por la gravedad. Ninguno influye en el otro, lo que lleva a un resultado famoso: una bala disparada en horizontal y otra simplemente soltada desde la misma altura llegan al suelo en el mismo instante. Cambia aquí la velocidad de lanzamiento y observa cómo crece el alcance lateral mientras el tiempo de vuelo depende solo del movimiento vertical.

En altura, 45° deja de ganar 🖖

La famosa regla de los 45° para el alcance máximo solo se cumple si el lanzamiento y la caída están a la misma altura. Añade una altura de lanzamiento h y el mejor ángulo baja de 45°, siguiendo θ = arctan(v / √(v² + 2gh)). Lanza una pelota desde un acantilado y apuntar algo más plano que 45° la envía más lejos: sube el control de altura y busca el óptimo real.

PROYECTILES — EL ÁNGULO DECIDE TODO SALVO LO QUE DECIDE LA VELOCIDAD

¿Qué caso de lanzamiento estás resolviendo?

El movimiento horizontal y el vertical son independientes: velocidad constante de lado, aceleración constante hacia abajo. Todo lo demás sale de esa separación. En terreno llano el alcance es R = v²sen(2θ)/g, que llega al máximo en 45° y empareja los ángulos a uno y otro lado. Lanza desde una altura y esa simetría se rompe: el mejor ángulo baja de 45°.

45° en terreno llano — el alcance máximo R = v²/g at θ = 45°

Ángulos complementarios — dos formas de dar en el mismo sitio R = v²sin(2θ)/g

Recto hacia arriba — toda altura, ningún alcance h = v²/2g, R = 0

Lanzado desde una altura — la simetría se rompe h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

45° en terreno llano — el alcance máximo

Qué sabes: Lanzamiento y caída están a la misma altura y quieres llegar lo más lejos posible. sen(2θ) es máximo cuando 2θ = 90°.

Alcance: R = v²/g at θ = 45°

Ejemplo resuelto: v = 20 m/s a 45° → R = v²/g = 400/9,81 = 40,8 m, lo más lejos que llega esta velocidad

Abrir este caso: 45° alcance máximo

45° en terreno llano — el alcance máximo. A 45° el tiempo de vuelo y la velocidad horizontal se equilibran y el alcance es máximo. Lanzamiento y caída están a la misma altura y quieres llegar lo más lejos posible. sen(2θ) es máximo cuando 2θ = 90°. — A 45° el tiempo de vuelo y la velocidad horizontal se equilibran y el alcance es máximo.

Ángulos complementarios — dos formas de dar en el mismo sitio

Qué sabes: Cualquier ángulo θ y su complementario 90° − θ dan el mismo alcance en llano, porque sen(2θ) = sen(180° − 2θ).

Alcance: R = v²sin(2θ)/g

Ejemplo resuelto: v = 20 m/s a 30° → 35,3 m; a 60° → otra vez 35,3 m. El tiro plano tarda 2,0 s y el elevado 3,5 s

Abrir este caso: 30°

Ángulos complementarios — dos formas de dar en el mismo sitio. Dos trayectorias, un punto de caída: 30° y 60° dan el mismo alcance a alturas distintas. Cualquier ángulo θ y su complementario 90° − θ dan el mismo alcance en llano, porque sen(2θ) = sen(180° − 2θ). — Dos trayectorias, un punto de caída: 30° y 60° dan el mismo alcance a alturas distintas.

Recto hacia arriba — toda altura, ningún alcance

Qué sabes: θ = 90°, así que la componente horizontal es cero. Todo lo que dio el lanzamiento se va en subir y volver.

Alcance: h = v²/2g, R = 0

Ejemplo resuelto: v = 20 m/s hacia arriba → altura máxima v²/2g = 20,4 m, alcance 0, y vuelve a tu mano a 20 m/s

Abrir este caso: 90° vertical hacia arriba

Recto hacia arriba — toda altura, ningún alcance. Lanzamiento vertical: la trayectoria se reduce a una línea y el alcance desaparece. θ = 90°, así que la componente horizontal es cero. Todo lo que dio el lanzamiento se va en subir y volver. — Lanzamiento vertical: la trayectoria se reduce a una línea y el alcance desaparece.

Lanzado desde una altura — la simetría se rompe

Qué sabes: El punto de caída está por debajo del de lanzamiento, así que el vuelo deja de ser simétrico y la regla de los 45° ya no vale.

Alcance: h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

Ejemplo resuelto: v = 22 m/s a 35° desde 18 m → 3,6 s en el aire y 65 m de alcance; el ángulo óptimo aquí es 37,2°, no 45°

Abrir este caso: desde un acantilado

Lanzado desde una altura — la simetría se rompe. La altura extra compra tiempo de vuelo extra, así que gana el lanzamiento más plano. El punto de caída está por debajo del de lanzamiento, así que el vuelo deja de ser simétrico y la regla de los 45° ya no vale. — La altura extra compra tiempo de vuelo extra, así que gana el lanzamiento más plano.

Problemas resueltos al detalle

Una pelota lanzada a 20 m/s y 45° desde suelo nivelado 5 pasos
Se lanza una pelota a 20 m/s y 45° sobre un suelo horizontal. Calcule cuánto tiempo permanece en el aire y a qué distancia cae; después, determine cuánto cuesta un error de apunte de 5°, que es la cuestión que decide si vale la pena apuntar a 45°.
1. Descomponga el lanzamiento en dos movimientos independientes. La gravedad solo actúa hacia abajo, por lo que la velocidad horizontal es la misma al caer que al despegar, y 45° es el único ángulo en el que las dos componentes empiezan siendo iguales.
  
  $v_{x} = v_{0} cos θ = 20 cos 4 5^{\circ} = 14.142 m/s, v_{y} = v_{0} sin θ = 14.142 m/s$
2. El vuelo termina cuando la altura vuelve a ser cero, algo que solo depende del movimiento vertical. La subida y la bajada duran lo mismo sobre un suelo horizontal, de modo que el vuelo completo dura el doble que el tiempo de subida hasta el punto más alto.
  
  $y (t_{f}) = 0 : t_{f} = \frac{2 v _{y}}{g} = \frac{2 ( 14.142 )}{9.81} = 2.8832 s$
3. La distancia horizontal es una velocidad constante mantenida durante ese tiempo de vuelo. Al sustituir las componentes, todo se reduce al ángulo doble, y dado que sin 2θ no cambia al sustituir θ por 90° − θ, lanzar a 30° o a 60° hace que la pelota caiga a 35,312 m en ambos casos.
  
  $R = v_{x} t_{f} = 14.142 \times 2.8832 = 40.775 m = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g} = \frac{400}{9.81}$
4. La altura máxima depende únicamente de la componente vertical, frenada por la gravedad hasta detenerse. A 45°, cae a exactamente una cuarta parte del alcance, y esa cuarta parte se mantiene a 45° para cualquier velocidad de lanzamiento.
  
  $y_{m a x} = \frac{v _{y}^{2}}{2 g} = \frac{200}{19.62} = 10.194 m = \frac{R}{4}$
5. Analicemos ahora el error de apunte. sin 2θ es estacionario en 45°, por lo que desviarse 5° es un error de segundo orden y cuesta 62 cm de un total de 40,775 m. El mismo desvío de 5° a 30° es de primer orden y modifica el alcance un 8,5 %, aproximadamente 3 m.
  
  $\frac{R ( 5 0 ^{\circ} )}{R ( 4 5 ^{\circ} )} = sin 10 0^{\circ} = 0.9848 (- 0.62 m), \frac{R ( 3 5 ^{\circ} )}{R ( 3 0 ^{\circ} )} = \frac{sin 7 0 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} = 1.085$
Respuesta

La herramienta muestra 2,8832 s de vuelo, un alcance de 40,775 m y una altura máxima de 10,194 m. Esas dos últimas magnitudes guardan una proporción exacta de 4, y mantienen esa proporción a 45° independientemente de la velocidad: una trayectoria a 45° siempre es cuatro veces más ancha que alta, por lo que existe una sola forma y solo cambia el tamaño. El paso 5 es el que conviene recordar: el máximo es plano, motivo por el cual los 45° perduran como regla empírica que nadie comprueba con detenimiento. Sin embargo, esa horizontalidad tiene un doble filo, ya que un pico plano es difícil de localizar: cualquiera que busque el mejor ángulo por ensayo y error obtiene una amplia franja de ángulos que parecen igualmente buenos.

$R = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}, \frac{R}{y _{m a x}} = 4 (θ = 4 5^{\circ})$
El ángulo que llega más lejos desde 18 m de altura 7 pasos
El panel resuelve el lanzamiento que le des: 35° desde 18 m de altura llegan a 64,764 m. No te dirá si 35° merecía la pena. Encuentra el ángulo que llega más lejos desde este acantilado, y pregunta después cuánto vale realmente la respuesta.
1. Separa el lanzamiento en dos. Todo lo que sigue es una velocidad horizontal constante y una caída libre vertical que empieza 18 m por encima del suelo de llegada.
  
  $v_{x} = v_{0} cos θ = 22 cos 3 5^{\circ} = 18.021 m s^{- 1}, v_{y} = v_{0} sin θ = 22 sin 3 5^{\circ} = 12.619 m s^{- 1}$
2. El vuelo termina cuando la altura vuelve a cero, lo que es una ecuación de segundo grado en t. Toma la raíz positiva; la otra sería el instante en que el proyectil habría salido del suelo si hubiera partido de allí abajo.
  
  $h + v_{y} t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 ⟹ t_{f} = \frac{v _{y} + v _{y}^{2} + 2 g h}{g} = \frac{12.619 + 159.24 + 353.16}{9.81} = 3.5938 s$
3. El alcance es la velocidad horizontal por todo el vuelo, porque en horizontal no actúa nada. Tres de los cuatro números obtenidos hasta aquí están en el panel de arriba.
  
  $R = v_{x} t_{f} = 18.021 \times 3.5938 = 64.764 m$
4. El punto más alto es donde se agota la velocidad vertical, y el acantilado se limita a elevarlo todo: 18 m de ventaja más exactamente la subida que habría logrado un lanzamiento a ras de suelo.
  
  $y_{m a x} = h + \frac{v _{y}^{2}}{2 g} = 18 + \frac{159.24}{19.62} = 26.116 m$
5. Ahora la pregunta que el panel no responde. Escribe el alcance como función solo del ángulo, con v₀ y h fijos. El tiempo de vuelo también depende de θ, y por eso esta no es la fórmula cómoda del nivel del mar.
  
  $R (θ) = \frac{v _{0} cos θ}{g} (v_{0} sin θ + v_{0}^{2} sin^{2} θ + 2 g h)$
6. Deriva e iguala a cero. Todo se reduce a una única condición sobre sen θ, y el acantilado entra solo a través del grupo adimensional 2gh/v₀². Con h = 0 devuelve sen θ = 1/√2, los 45° de siempre. Aquí devuelve 37,248°.
  
  $\frac{d R}{d θ} = 0 ⟹ sin θ^{*} = \frac{1}{2 + 2 g h / v _{0}^{2}} = \frac{1}{2.72967} = 0.60526 ⟹ θ^{*} = 37.24 8^{\circ}$
7. Pon ahora los tres ángulos uno al lado del otro y lee los tamaños, no solo el orden.
  
  $R (37.24 8^{\circ}) = 64.887, R (3 5^{\circ}) = 64.764, R (4 5^{\circ}) = 63.355 (m)$
Respuesta

El mejor ángulo desde este acantilado es 37,248°, y volver a apuntar vale 12 cm en un lanzamiento de 65 m. Esa es la lección de verdad, y no está en el óptimo: un máximo es plano, así que fallarlo por 2,2° no cuesta casi nada. Lo caro es traer el modelo equivocado: 45° solo es óptimo desde el suelo, y usarlo aquí tira 1,532 m, doce veces el coste del error de puntería. Sube el acantilado y θ* sigue bajando; en el límite de uno muy alto, el lanzamiento más largo es casi horizontal.

$sin θ^{*} = (2 + \frac{2 g h}{v _{0}^{2}})^{- 1/2} ⟹ θ^{*} = 37.24 8^{\circ}; R^{*} - R (3 5^{\circ}) = 0.123 m, R^{*} - R (4 5^{\circ}) = 1.532 m$

Ruta de aprendizaje

Lanzar objetos

Lleva a Resistencia y viento el caso bidimensional en el que esa condición aún se cumple.

Referencias (1)

Insight block 2 stacks two motions. Arriving at that decomposition took Galileo most of a career: S. Drake, "Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory", in Essays on Galileo and the History and Philosophy of Science, 160–170. University of Toronto Press, 1999.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

45° alcance máximo - v=20 m/s, θ=45°, h=0 → alcance≈40.8 m (máximo para esta velocidad)
30° - v=20 m/s, θ=30° → alcance≈35.3 m (igual que a 60° por simetría)
60° - v=20 m/s, θ=60° → alcance≈35.3 m (igual que a 30°)
90° vertical hacia arriba - v=20 m/s, θ=90° → tiro vertical, alcance=0, altura máxima≈20.4 m
disparo rasante - v=55 m/s, θ=12° → trayectoria rasante, alcance≈125 m
desde un acantilado - v=22 m/s, θ=35°, h=18 m → alcance≈65 m, vuelo≈3.6 s