Cúmulo de coincidencias (paradoja de las rachas)

por qué las rachas largas de lanzamientos de moneda son mucho más comunes de lo que crees

Valores iniciales — Cúmulo de coincidencias (paradoja de las rachas)

Lanzamientos por secuencia (N)	100
Longitud de racha (L)	6
Ensayos de simulación ℹ️	1000

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La ruleta no fue lo raro 🖖

El 18 de agosto de 1913, la ruleta del casino de Montecarlo cayó en negro veintiséis veces seguidas, y los jugadores que la rodeaban perdieron fortunas apostando cada vez más al rojo, que sin duda tocaba. El rojo no tocaba. Cada tirada seguía pagando 18 entre 37, y la serie en sí solo era rara: la probabilidad de que una tirada cualquiera inicie veintiséis negros es de una entre 137 millones. El nombre quedó: la falacia del jugador todavía se llama falacia de Montecarlo. Pon esta herramienta en 100 lanzamientos y una serie de seis aparece el 80,7 % de las veces; lo que ningún ajuste cambia es el siguiente lanzamiento.

Por qué las rachas largas están casi garantizadas 🖖

La intuición espera que cara y cruz se alternen con orden, pero el azar se agrupa. La racha más larga de resultados idénticos crece con el número de lanzamientos — aproximadamente log₂(N). Lanza una moneda justa 100 veces y una racha de seis iguales aparece más veces que no. Con esta herramienta ves cómo se rompe esa intuición: aumenta N y la curva de rachas sube abruptamente.

Detectar un registro de lanzamientos falsificado 🖖

Pide a los estudiantes que inventen en secreto 200 lanzamientos en vez de lanzar una moneda real, y un estadístico suele identificar los fraudes de un vistazo. Quien inventa secuencias "aleatorias" casi nunca escribe una racha de seis o siete resultados iguales, mientras que los lanzamientos reales casi siempre contienen una. Esta demostración (popularizada por el matemático Theodore Hill) revela que las personas suavizan justo las agrupaciones que el azar real impone.

Problema resuelto al detalle

6 resultados idénticos seguidos en 100 lanzamientos de una moneda equilibrada 5 pasos
100 lanzamientos de una moneda equilibrada, y la pregunta es si en algún lugar de ellos aparecen 6 resultados idénticos seguidos. Cuente las secuencias que se libran —pero las 2¹⁰⁰ secuencias no se van a contar de una en una.
1. Divida una secuencia en sus rachas máximas. Librarse de una racha de 6 significa que cada racha tiene una longitud de 5 o menos, de modo que lo que está contando son las formas de escribir 100 como una suma ordenada de partes de 1 a 5, duplicado porque el primer lanzamiento puede ser cualquiera de las dos caras. Llame R(i) a ese recuento: una racha inicial de longitud j deja R(i − j) detrás, y las cinco longitudes permitidas dan cinco términos.
  
  $R (i) = R (i - 1) + R (i - 2) + R (i - 3) + R (i - 4) + R (i - 5), R (0) = 1$
2. Divida entre 2^N para trabajar con probabilidades en lugar de recuentos, y cada parte de longitud j aporta un factor 2^−j consigo. Cualquier valor inferior a 6 lanzamientos es seguro de por sí, de modo que q₁ a q₅ valen 1, y el primer valor real se puede comprobar a mano: exactamente 2 de las 64 secuencias de seis lanzamientos son todas iguales, por lo que q₆ = 31/32.
  
  $q_{N} = \frac{2 R ( N )}{2 ^{N}} = j = 1 \sum 5 2^{- j} q_{N - j}, q_{6} = \frac{31}{32}$
3. Hasta 11 lanzamientos hay un atajo, porque dos rachas separadas de 6 necesitan 12 lanzamientos para caber una al lado de la otra. Por debajo de eso, ninguna secuencia puede contener dos, de modo que la probabilidad de una racha es exactamente su número esperado: 2/64 para una racha que comienza en el lanzamiento 1, y 1/64 para cada comienzo posterior, que también requiere que el lanzamiento anterior sea diferente. Con N = 10 eso es 6/64, por lo que q₁₀ = 29/32 = 0,90625 sin ninguna aproximación.
  
  $1 - q_{N} = \frac{2}{64} + \frac{N - 6}{64} = \frac{N - 4}{64} (6 \leq N \leq 11)$
4. Más allá de 11 lanzamientos, los sucesos se solapan y el atajo de recuento deja de funcionar, pero la recurrencia se estabiliza en un decaimiento geométrico constante. Sustituir q_N = Ax^N deja cinco potencias de 2x que suman 1, y la fórmula de la serie geométrica pliega esos cinco términos en uno solo: y = 2 − y⁻⁵, con y = 2x. Al iterar desde y = 2, converge en cuatro pasos —1,968750, 1,966190, 1,965969, 1,965950— a y = 1,965948, por lo que x = 0,982974.
  
  $1 = j = 1 \sum 5 (2 x)^{- j} ⟹ y = 2 - y^{- 5}, y = 2 x = 1.965948$
5. Noventa lanzamientos separan el anclaje exacto en N = 10 del objetivo en N = 100. El decaimiento geométrico apenas ha comenzado en N = 10, por lo que se trata de una aproximación, pero la corrección se extingue lo bastante rápido como para reproducir los dos decimales que la herramienta muestra a partir de su recurrencia exacta.
  
  $q_{100} \approx q_{10} x^{90} = 0.90625 \times 0.98297 4^{90} = 0.1932 ⟹ P = 0.8068$
Respuesta

El 19,32 % de las secuencias de 100 lanzamientos se libran, por lo que el 80,68 % de la tabla indica que una racha de 6 es el resultado habitual, no uno insólito. El número que contiene la lección es 0,982974: cada lanzamiento adicional reduce la probabilidad de librarse en un 1,7 %, reduciéndola a la mitad cada 40,4 lanzamientos. Si se calcula hacia atrás, las probabilidades se igualan a los 45 lanzamientos; si se calcula hacia adelante, 180 lanzamientos dejan menos del 5 % de las secuencias intactas. La columna simulada situada junto a la exacta es un tipo de número diferente. Una estimación de 1000 ensayos para un suceso del 80,68 % conlleva una desviación típica de √(0,8068×0,1932/1000) = 1,25 puntos porcentuales, por lo que se mueve más de un punto entero entre ejecuciones, e incluso en el límite de 10 000 ensayos de esta herramienta sigue siendo de ±0,39 puntos. El segundo decimal de la columna exacta significa algo y el de la simulada no puede significarlo, que es precisamente lo que mide la fila z inferior.

$\frac{ln 2}{- ln 0.982974} = 40.4, σ = \frac{0.8068 \times 0.1932}{1000} = 0.0125$

Referencias (2)

Insight block 3 — why a fabricated coin-flip log gives itself away: T. P. Hill, "The Difficulty of Faking Data." CHANCE 12(3), 27–31, 1999.
And the general result behind the tool: P. Diaconis and F. Mosteller, "Methods for Studying Coincidences." Journal of the American Statistical Association 84(408), 853–861, 1989 — why surprising runs are expected rather than remarkable.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-29

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

100 lanzamientos, racha de 6 - Con 100 lanzamientos de moneda y buscando una racha de 6 caras o cruces seguidas, la probabilidad exacta es 80.7%. La mayoría cree que 6 seguidas es algo muy inusual, ¡pero es más probable que no que ocurra en 100 lanzamientos!
50 lanzamientos, racha de 5 - Con 50 lanzamientos, una racha de 5 caras o cruces consecutivas es muy esperable, con una probabilidad del 82.1% de ocurrir de forma natural.
150 lanzamientos, racha de 7 - Con 150 lanzamientos, una racha de 7 caras o cruces consecutivas tiene una probabilidad del 69.7%. Esto muestra cómo el agrupamiento hace que las rachas de resultados idénticos sean inevitables en secuencias más largas.