Parallaksi kaugusarvuti

d (pc) = 1 / p (kaaresekundit) — trigonomeetriline parallaksimeetod on kogu kosmilise kaugusredeli alus.

Näidisarvutus — Parallaksi kaugusarvuti

Kaugus (parsekites)	10 pc
Kaugus (valgusaastates)	32.6156 ly
Kaugus (AÜ)	2062650 AU

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Parallaksi kaugusarvuti

Parallaksikaugust mõõdetakse triangulatsiooni abil, kasutades baasjoonena Maa orbiiti. Vaadeldes lähedalasuvat tähte jaanuaris ja uuesti juulis, näib see kauge tausta suhtes nihkuvat; pool sellest kogunihkest on parallaksinurk p ja see on nurk, mille all Maa ja Päikese vaheline kaugus tähelt vaadatuna paistab.

Mida iga sümbol tähendab

p: parallaksinurk kaaresekundites — pool aastasest edasi-tagasi nihkest, mitte kogu nihe. Üks kaaresekund on 1/3600 kraadi ja ühelgi tähel ei ole see nii suur: suurim reaalne parallaks taevas on alla 0.8″.
d: kaugus, mis pole midagi muud kui nurga pöördväärtus. Poolita nurk ja kaugus kahekordistub: 0.1″ annab 10 pc, 0.05″ annab 20 pc.
pc: parsek, mis ei ole niivõrd iseseisev pikkusühik kuivõrd arvestuslik valik — kaugus, mille puhul parallaksiks tuleb täpselt 1″. See definitsioon ongi ainus põhjus, miks valemis puudub konstant.
ly: valgusaasta, sama kaugus ühikutes, mida kasutavad mitteastronoomid. Üks parsek on 3.2616 valgusaastat, seega teine rida on alati esimene rida korrutatud selle arvuga.

Kust valem tuleb

Maa ja Päikese vahemaa 1 AU on väga kitsa täisnurkse kolmnurga lühem kaatet ning kaugus täheni on pikem kaatet. Nurk tähe juures on p.
Kitsa kolmnurga puhul kehtib tan p ≈ p, kui p on radiaanides, ning sellest asendusest tekkiv viga on väiksem kui ühegi parallaksi senine mõõtetäpsus. Seega d = 1 AU / p, kus p on radiaanides.
Kaaresekundid on mugavamad kui radiaanid ning ühikute teisendamine toob sisse konstandi — kaaresekundite arvu radiaanis, mis on umbes 206265. Seega d = 206265 AU / p″.
Selle asemel et seda konstanti alati kaasas kanda, andsid astronoomid sellele nime: üks parsek on 206265 AU. Läbijagamisel taandub valem kujule d = 1/p, mis ongi rea näit ülemises reas. Määra nurgaks 1 ja kauguseks kuvatakse täpselt 1 pc.

Kuidas nähtut lugeda

Pöördväärtust on kõige hõlpsam mõista nurka sammhaaval vähendades, mitte ühteainsat väärtust lugedes: 0.77″ annab 1.2987 pc, 0.1″ annab 10 pc, 0.02″ annab 50 pc. Valgusaastate rida on esimesega jäigalt seotud, parsekile vastab 3.26156 valgusaastat. Nii näitabki 10 pc täpselt 32.6156 ly. Seega ei lisa see rida esimesega võrreldes mingit uut teavet. Tegu on pelga ühikumuutusega.

Eeldab: Eeldatakse, et sinu mõõdetud nihe on parallaks, mitte tähe enda liikumine taevas, ja et sa poolitasid aastase võnkeulatuse, mitte ei kasutanud seda tervikuna. See teine viga muudab vastuse täpselt kahekordseks. Kumbagi pole aga üheainsa mõõtmise põhjal lihtne märgata.
Ei kehti, kui: Valem ei lakka kunagi töötamast; hoopis mõõtmine lakkab, ja seda teatud kaugusel, mitte valemi väärtuse tõttu. Kuna d = 1/p, saab fikseeritud veast nurgas kauguse viga, mis kasvab ruudus koos kaugusega — nurga 0.02″ puhul on määramatus 0.002″ umbes 10% nurgast, kuid nihutab vastust vahemikus umbes 45 ja 55 pc. Seetõttu on parallaks kauguste redeli esimene aste, mitte kogu redel.

Nurk on nii väike, et see uputas heliotsentrismi peaaegu ära 🖖

Kui Maa tõesti liigub, peavad lähedased tähed aasta jooksul näiliselt nihkuma. Koperniku teadis seda 1543. aastal ja tema kriitikud samuti: nad märkisid, et sellist nihet ei ole kunagi nähtud, ja järeldasid, et Maa seisab paigal. Nad järeldasid tõendite põhjal korrektselt — nurgad on lihtsalt imepisikesed. Isegi Proxima Centauri, kõige lähem täht üldse, on parallaksiga vaid 0,7685 kaaresekundit, mis on umbes mündi laius kolme kilomeetri kauguselt. Ligi kolm sajandit ei suutnud seda keegi mõõta. Friedrich Bessel tegi seda lõpuks 1838. aastal tähega 61 Cygni, umbes 0,31 kaaresekundi juures, ja tähtede parallaksist ei olnud enam vastuväide heliotsentrismile, vaid kaugusredeli esimene pulk.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Tähelepanek 1 ütleb, et Friedrich Bessel mõõtis 1838. aastal 61 Cygni parallaksiks umbes 0.31 kaaresekundit — esimese tähekauguse üldse. Sisesta see. Kui kaugel täht on ja kuidas see suhestub Proxima Centauri 0.7685″ väärtusega?

Näita vastust

3.2258 pc ehk 10.5212 ly. Proxima näitab 0.7685″ juures 1.3012 pc ja 4.2441 ly, nii et Besseli täht on umbes kaks ja pool korda kaugemal. Ta ei sihtinud lähimat tähte — ta valis 61 Cygni sellepärast, et see liigub taevas kiiresti, ja see on teine ning hea vihje: suure omaliikumisega täht on tavaliselt lähedal.
Nurga lahter lõpeb 2 kaaresekundi juures. Sea see sinna. Milline kaugus tuleb vastuseks ja mis selles pildis valesti on?

Näita vastust

0.5 pc ehk 1.6308 ly — ja seal ei ole midagi. Päikesele lähim täht on Proxima Centauri 4.2441 ly kaugusel, nii et kõik üle 0.7685″, kogu selle lahtri ülemine pool, nimetab kosmose piirkonda, kus pole ühtki tähte. Valem läheks veelgi kaugemale: d = 1/p ei tunne vähimat kaugust. Lahter lõpeb enne, kui vastus muutub absurdseks, mitte sellepärast, et arvutus lõpeks.

Ülesanne täielikult lahendatud

0,1 kaaresekundi suuruse parallaksiga tähe kaugus 5 sammu
Tähe parallaks on 0,1 kaaresekundit. Leia tähe kaugus. Seejärel leia kaugus, millest alates see meetod enam ei toimi, ja selgita miks.
1. Parallaks on teadaoleva alusega kolmnurk: Maa orbiidi raadius. Kuue kuu jooksul on baasjoone pikkus 2 AU ja pool kogunihkest on parallaksinurk p. Selliste nurkade puhul on tangens nurk ise radiaanides, mis teebki arvutuse triviaalseks.
  
  $tan p = \frac{1 AU}{d} \approx p (radians)$
2. Parsek on defineeritud nii, et see oleks lihtne: see on kaugus, kust 1 AU paistab ühe kaaresekundi suuruse nurga all. Vali see ühik ja seos on pöördväärtus ilma ühegi konstandita.
  
  $d [pc] = \frac{1}{p [ arcsec ]} = \frac{1}{0.1} = 10 pc$
3. Teisendamine on vaid ühikute arvepidamine ja ülaltoodud kalkulaator kuvab need kõik kolm väärtuse p = 0.1″ jaoks.
  
  $10 pc \times 3.26156 = 32.6156 ly, 10 \times 206265 = 2062650 AU$
4. Nüüd see osa, mida tööriist ei näita. Kuna seos on pöördvõrdeline, on kauguse suhteline viga võrdne nurga suhtelise veaga. 1% nurga mõõtmine annab 1% kauguse.
  
  $\frac{Δ d}{d} = \frac{Δ p}{p} : p = 0. 1^{''} \pm 0.00 1^{''} \Rightarrow \pm 1%$
5. Kuid nurk kahaneb kauguse kasvades, samal ajal kui mõõtmisviga ei kahane. Liigu kaugusele p = 0.001″ sama ±0.001″ instrumendiga ja suhteline viga jõuab 100% — mõõtmine ei ütle enam midagi.
  
  $p = 0.00 1^{''} \pm 0.00 1^{''} \Rightarrow \pm 100%$
Vastus

10 parsecs, 32.6156 light-years. Pöördväärtus teeb parallaksi ühtaegu täpseks ja lühikese ulatusega: viga kasvab võrdeliselt kaugusega, mistõttu on igal parallaksimõõtmisel horisont, mille seab selle nurgatäpsus, mitte see, kui nõrka objekti see suudab näha. Hipparcos mõõtis umbes täpsusega 0.001″ ja ulatus mõnesaja parsekini; Gaia ulatub täpsuseni ~0.00002″ ja jõuab seega kümnete tuhandeteni. Sellest horisondist kaugemal peab astronoomia meetodit täielikult muutma — mistõttu ongi kauguste redelil üldse astmed.

$d = \frac{1}{p} \frac{Δ d}{d} = \frac{Δ p}{p}$

Õpitee

Kui kaugel see on?

Allikad (3)

The first stellar parallax ever measured, and the source of insight 1’s 0.31″: Bessel, "Bestimmung der Entfernung des 61sten Sterns des Schwans." Astronomische Nachrichten 16, 65–96, 1839.
The mission the challenge block credits with sub-milliarcsecond astrometry: T. Prusti, J. H. J. de Bruijne, A. G. A. Brown, A. Vallenari, C. Babusiaux & C. A. L. Bailer-Jones, "The Gaia mission." Astronomy & Astrophysics 595, A1, 2016.
The parsec as a defined unit, which is why d = 1/p has no constant in it: International Astronomical Union, Resolution B2 on recommended zero points for the absolute and apparent bolometric magnitude scales. XXIX General Assembly, Honolulu, 2015.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.