Eksponentsiaalse kasvu ja kahanemise uurija

modelli kasvu ja kahanemist valemiga N(t) = N0 · e^(kt)

Näidisarvutus — Eksponentsiaalse kasvu ja kahanemise uurija

N(t)	2225.5409
Kahekordistumisaeg	8.6643

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Eksponentsiaalse kasvu ja kahanemise uurija

Eksponentsiaalne muutus toimub siis, kui muutumiskiirus on võrdeline olemasoleva kogusega — intress kontojäägilt, tuuma lagunemine või populatsioon, millel on ruumi levida. Kasvu ja hääbumise jaoks ei ole eraldi valemit; on üks valem ja märk.

Mida iga sümbol tähendab

N₀: algväärtus hetkel t = 0. See skaleerib kogu kõverat ega muuda selle kuju, mistõttu ei ilmu see kummassegi kahest kiiruse reast.
k: pidev kiirus, ja selle märk otsustab kõik. Positiivne väärtus tähendab piiramatut kasvu; negatiivne väärtus tähendab kahanemist nulli suunas ilma seda saavutamata; täpselt null tähendab, et midagi ei juhtu.
t: möödunud aeg nendes ühikutes, milles esitati k. Need kaks peavad kokku langema — kiirus aastas koos ajaga kuudes on siin kõige levinum viis saada enesekindlalt vale vastus.
N(t): kogus pärast seda aega. Kui N₀ = 1000, k = 0.08 ja t = 10, kuvatakse väärtus 2225.5409 — enam kui kahekordistunud, sest kasv liitub pidevalt, mitte ühekordselt.

Kust valem tuleb

„Muutumiskiirus on võrdeline kogusega“ kirjapandult on dN/dt = kN. See on ainus eeldus; kõik alljärgnev tuleneb sellest.
Muutujate eraldamine ja integreerimine annab N(t) = N₀·e^(kt). Astme alus e ei ole mugavusvalik — see on see, milleks konstant saab, kui kasvu rakendatakse pidevalt, mitte sammhaaval.
Kahekordistumisaja leidmiseks küsime, millal N jõuab väärtuseni 2N₀: e^(kt) = 2, seega kt = ln 2 ja t = ln 2 / k. Algväärtus taandub välja, mistõttu on kahekordistumisaeg ainult kiiruse omadus.
Poolestusaeg on identne arvutus, kus 2 asemel on ½, mis annab t = ln 2 / |k| — sama avaldis, sest poolestumine kiirusega −k võtab täpselt sama kaua aega kui kahekordistumine kiirusega +k. Kui k = 0.08, kuvatakse kahekordistumisaja reas 8.6643; kui k = 0.02 (veerand kiirusest), kuvatakse 34.6574, täpselt neli korda kauem.

Kuidas nähtut lugeda

Kaks kiiruse rida välistavad teineteist ja mõttekriipsul on oluline roll. Kui k = 0.08, kuvatakse kahekordistumisajaks 8.6643 ja poolestusajaks —; muuda väärtuseks k = −0.2 ning poolestusajaks kuvatakse 3.4657, samal ajal kui kahekordistumisaeg on tühi. Kasvaval suurusel ei ole poolestusaega ja kahaneval suurusel ei ole kahekordistumisaega, seega on tühi rida sisuline väide, mitte puudujääk.

Eeldab: Eeldus, et kiirus püsib muutmatusena kogu ajavahemiku vältel ning suurusel puuduvad piirangud. Praktikas ei kesta kumbki kaua: populatsioonid põrkuvad keskkonna kandevõimele ning intressimäärad vaadatakse uuesti läbi.
Ei kehti, kui: Määra k väärtuseks täpselt 0 ja mõlemad kiiruse read kuvavad korraga —, mis on aus vastus ja väärib peatumatut tähelepanu. Midagi ei ole katki: nullkiiruse korral jääb kogus igavesti väärtusele 1000, seega ei kahekordistu see kunagi ega poolestu kunagi ning ln 2 / 0 on määramatu, mitte lõpmatu. Valem taandub horisontaalseks jooneks ja kaks tühja kohta märkivad seda, et ekraan keeldub nulliga jagamast, mitte ei ebaõnnestu arvutamisel.

Miks 70 jagamine protsendiga annab kahekordistumisaja 🖖

See rusikareegel toimib, sest ln 2 = 0.693147, mis on varjatud 70, kui määra arvestatakse kümnendmurru asemel protsentides. Määraga 7% aastas näitab see tööriist kahekordistumisajaks 9.9021, samas kui 70/7 annab 10 — see eksib umbes ühe saja osa võrra. Määraga 8% on tulemus 8.6643 võrrelduna tehtega 70/8 = 8.75 ning lahknevus suureneb määra kasvades, sest lühendatud arvutus on täpne vaid väikeste k väärtuste piirjuhul. Pankurid, kes kasutavad 70 asemel arvu 72, ei ole eksinud: 72 jagub täpselt arvudega 2, 3, 4, 6, 8 ja 9 ning nad vahetavad pisut täpsust peast tehtavate arvutuste lihtsuse vastu.

Ülesanded täielikult lahendatud

1000 rakuga alustav ja 8% tunnis kasvav kultuur 5 sammu
Kultuur algab 1000 rakust ja kasvab kiirusega 8% tunnis 10 tunni jooksul. Kolm inimest annavad teile kolm erinevat vastust ja kõik kolm suudavad enda oma kaitsta. Arvuta välja, millise vastuse annab eksponentsiaalne mudel ja kui kaugel need üksteisest on.
1. Esimene vastus käsitleb 8% tunnis fikseeritud kogusena: 80 rakku tunnis, 800 kümne tunniga. See on see, mida "tunnis" tähendab palga puhul, ja seda kujutab ette enamik inimesi. See on ka ainus kolmest, mis on omaenese loogika järgi vale, sest esimesel tunnil tekkinud rakud jagunevad teisel tunnil edasi.
  
  $(i) N = N_{0} (1 + k t) = 1000 (1 + 0.8) = 1800$
2. Teine parandab selle, liitprotsentides arvutades kord tunnis — korrutades 1,08-ga kümme korda. Nüüd panustavad ka uued rakud. See on täiesti kaitstav mudel ja täpselt õige, kui populatsioon kasvab hüppeliselt iga täistunni alguses.
  
  $(ii) N = N_{0} (1 + k)^{t} = 1000 \times 1.0 8^{10} = 2158.92$
3. Kolmas võtab piirväärtuse. Rakud ei oota kella, seega rakendub kiirus pidevalt ning see on diferentsiaalvõrrand dN/dt = kN. Selle lahendiks on eksponentfunktsioon ja e^0,8 moodustab kogu erinevuse teisest vastusest.
  
  $(iii) \frac{d N}{d t} = k N ⟹ N = N_{0} e^{k t} = 1000 e^{0.8} = 2225.5409$
4. Kahekordistumisaeg tuleneb sellest samast lahendist ja N₀ taandub teel välja. See teebki eksponentsiaalse kasvu intuitiivsusele vastupidiseks: kahekordistumiseks kuluv aeg ei sõltu sellest, kui suur populatsioon juba on, seega kulub kultuuril miljonilt kahele miljonile jõudmiseks sama palju aega kui tuhandelt kahele tuhandele jõudmiseks.
  
  $N = 2 N_{0} ⟺ k t = ln 2 ⟹ t_{2} = \frac{ln 2}{0.08} = 8.6643$
5. Lahknevus ongi kogu tuum. Pidev kasv ületab naiivset tõlgendust 24% võrra ja igatunnist liitkasvu 3% võrra samade kümne tunni jooksul sama esitatud kiiruse juures.
  
  $\frac{2225.54}{1800} = 1.236, \frac{2225.54}{2158.92} = 1.031$
Vastus

Tööriist väljastab väärtuse 2225,5409 ja kahekordistumisajaks 8,6643 tundi. Kolm kandidaatvastust olid 1800, 2158,92 ja 2225,54 — esimene ja viimane erinevad 425 raku võrra, mis on üle 40% algsest populatsioonist, ning ükski osa sellest erinevusest ei tulene lahkarvamusest kasvu kiiruse osas. See tuleneb täielikult lahkarvamusest selles, millal kasvu arvesse võetakse. Siit pärineb ka 70 reegel: 70/8 = 8,75 tegeliku 8,6643 vastu, mis on umbes 1% võrra kõrgem, sest ln 2 = 0,693 ja keegi eelistas lugejat, millel on palju jagajaid.

$N (10) = 1000 e^{0.8} = 2225.5409, t_{2} = \frac{ln 2}{k} = 8.6643$
Kui kaua elab üks rakk ja millal kõver enam ei loenda 6 sammu
Eelseade ühtlane kahanemine jätab kümne tunni pärast algsest 1000 rakust alles 135,3353, kahanedes poole võrra iga 3,4657 tunni järel. Arvuta välja, kui kaua elab üks rakk keskmiselt, ja otsusta, mis hetkest alates kõver kultuuri enam üldse ei kirjelda.
1. N(t) = 1000e^(−0,2t), seega t = 10 juures on astendaja −2 ja paneel näitab 135,3353.
  
  $N (t) = N_{0} e^{k t} = 1000 e^{- 0.2 \times 10} = 1000 e^{- 2} = 135.3353$
2. Poolestusaeg tuleb võrrandist e^(−0,2T) = ½, millest T = ln 2 / 0,2 = 3,4657 — reas, mille kahekordistumisaeg on tühjaks jätnud. Kümme tundi teeb neid 2,8854 ning 1000 × 2^(−2,8854) annab jälle 135,3353, sama väärtuse teist teed pidi.
  
  $e^{- 0.2 T} = \frac{1}{2} \Rightarrow T = \frac{ln 2}{0.2} = 3.4657; \frac{10}{3.4657} = 2.8854, 1000 \times 2^{- 2.8854} = 135.3353$
3. Poolestusaeg ei ole astendajas seisev konstant. Kirjuta sama kõver kujul N = N₀e^(−t/τ), kus τ = 1/|k| = 5 tundi. Viie tunni pärast on rakke 1000/e = 367,8794.
  
  $N = N_{0} e^{- t / τ}, τ = \frac{1}{∣ k ∣} = 5; N (τ) = \frac{1000}{e} = 367.8794$
4. τ ongi ühe raku keskmine eluiga. Tõenäosus, et mingi kindel rakk on hetkel t veel alles, on e^(−t/τ), ja selle integreerimine nullist lõpmatuseni annab täpselt τ. Nii on τ/T = 1/ln 2 = 1,4427 igasuguse eksponentsiaalse kahanemise puhul: keskmine eluiga küünib alati umbes 44% poolestusajast kaugemale, sest poolestusaeg on mediaan ja mõned kaua vastu pidavad rakud veavad keskmise sellest tahapoole.
  
  $Pr (alive at t) = e^{- t / τ} ⟹ \overset{ˉ}{t} = \int_{0}^{\infty} e^{- t / τ} d t = τ = 5, \frac{τ}{T} = \frac{1}{ln 2} = 1.4427$
5. Nüüd tühjenemine. Kõver ei jõua kunagi nullini, aga kolb jõuab. Ellujäänute oodatav arv on täpselt N(t), seega kaob viimane rakk eeldatavalt seal, kus kõver ületab väärtuse 1: t = τ ln N₀ = 5 ln 1000 = 34,5388 tundi.
  
  $N (t) = 1 ⟺ t = τ ln N_{0} = 5 ln 1000 = 34.5388$
6. Kuskil nende kahe vahel lakkab näit olemast loend. Kohal t = 30 annab kõver 2,4788 ja ükski kultuur pole eal sisaldanud 2,4788 rakku. See arv on keskmine paljude katsekordade peale; üksik kolb sisaldab 0, 1, 2 või 3 rakku.
  
  $N (30) = 2.4788$
Vastus

Rakk elab keskmiselt 5 tundi, poolestusaeg on aga 3,4657, ja suhe 1/ln 2 on ühesugune nii süsinik-14 kui ka tseesium-137 puhul. Kolb peaks tühjaks saama 34,5388 tunniga, mis pole uus arvutus, vaid kõvera enda ristumine sirgega N = 1. Kaks korda suurem algarv lükkab selle 5 ln 2 = 3,4657 tunni võrra edasi, ühe lisapoolestusaja võrra, ükskõik kui suur see algarv oli — see on teise eelseade kahekordistumisaja argument vastupidise märgiga. Loe N(t) loenduna seni, kuni see on suur, ja ootusväärtusena siis, kui see on väike. Valem ei muutu; muutub see, mida ta sulle ütleb.

$t_{last} = τ ln N_{0} ⟹ N_{0} \to 2 N_{0} buys τ ln 2 = T = 3.4657 hours$

Allikad (2)

Where the exponential decay law was first established as a physical law rather than a curve fit: E. Rutherford & F. Soddy, “XLI. The cause and nature of radioactivity.—Part I.” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 4(21), 370–396, 1902.
The second half of the same argument, which introduces the transformation theory the half-life belongs to: E. Rutherford & F. Soddy, “LXIV. The cause and nature of radioactivity.—Part II.” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 4(23), 569–585, 1902.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-05-21

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

ühtlane kasv - k = 0.08 teeb 1000-st ajaks t = 10 väärtuse 2225.5409, kahekordistumisaeg 8.6643; poolestusaja rida näitab —
ühtlane kahanemine - k = −0.2 jätab 1000-st alles 135.3353, poolestusaeg 3.4657, ja tühjaks jääb hoopis kahekordistumisaeg
aeglane kasv - k = 0.02 vajab kahekordistumiseks 34.6574 — täpselt neli korda rohkem kui k = 0.08 puhul 8.6643, sest kahekordistumisaeg on ln(2)/k