Korrapäraste parketeeringute labor

Vali hulknurk ja mitu neist ühes nurgas kokku saab. Kui nende nurgad jäävad 360°-st alla, sulgub pind kehaks; kui tabavad täpselt, jääb parketeering tasaseks; kui lähevad üle, saab see elada ainult hüperboolses ruumis.

Näidisarvutus — Korrapäraste parketeeringute labor

Ühe hulknurga sisenurk	90°
q neist ühes nurgas	270°
Puudu 360°-st	+90°
Test	2 < 4
Tipud − servad + tahud	2
Kogu nurgadefekt	720°
Joonistatud plaate	6

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Viis, kolm ja lõpmatu hulk — ühestainsast võrratusest 🖖

Kõik sellel lehel tuleneb ühest võrdlusest. Korrapärasel p-nurgal on sisenurgad 180(p−2)/p kraadi; pane neid q tükki ümber ühe punkti ja saad q·180(p−2)/p. Kui see on alla 360°, on nurgal lõtku ja ta peab voltima; kui täpselt 360°, jääb tasaseks; kui rohkem, ei saa seda tasastest tükkidest üldse ehitada. Ümber kirjutatuna on need kolm juhtu (p−2)(q−2) väiksem, võrdne või suurem kui 4 — ja esimesel on täpselt viis täisarvulist lahendit, teisel täpselt kolm. See pole moodne ümbersõnastus: sellega lõpetabki Eukleides Elementide XIII raamatu, välistades kuuenda keha põhjendusega, et kuus kolmnurka ühes nurgas „annaksid neli täisnurka“ ja jääksid seega tasaseks.

Kehal on kõverus nurkadesse kokku surutud 🖖

Kuup on kõikjal tasane, välja arvatud kaheksas punktis. Käi mööda tahku ja miski ei kaardu; käi ümber tipu ja leiad 270° seal, kus tasane pind oleks andnud 360°. Puuduv 90° ongi kõverus, ja mujal tal olla ei ole. Nüüd liida kokku: 8 × 90° = 720°. Tee sama ikosaeedriga ja tuleb 12 × 60° = 720°. Dodekaeedril 20 × 36° = 720°. Summa ei liigu kunagi, ühelgi kumeral hulktahukal, korrapärasel või mitte — Descartes märkas seda umbes 1630. Need on samad 720° = 2 × 360°, mida loeb Euleri T − S + T = 2, ja see on Gaussi-Bonnet’ teoreem Pythagorase lehelt: seal oli kolmnurga nurgaülejääk kõverus × pindala, sujuvalt üle pinna laotatud, siin on see sama suurus punktidesse kokku surutud.

Kepler ehitas neist päikesesüsteemi, Escher laenas teise juhtumi 🖖

Viis keha on tõmmanud ligi rohkem teooriat, kui nad kanda jõuavad. Kepler pani need teoses Mysterium Cosmographicum (1596) üksteise sisse, et paika panna kuue teadaoleva planeedi vahekaugused — ilus mõte ja vale; ülejäänud karjääri kulutas ta selle asendamisele orbiitidega, mis tegelikult toimivad. Hüperboolne juhtum pidi ootama, kuni tekkis hüperboolne tasand, kuhu seda joonistada. Coxeter avaldas sellise joonise 1950. aastatel, Escher nägi seda ja küsis, kuidas see tehtud on; vastusest sündisid neli Circle Limit graafikat, kus plaadid kahanevad serva poole mitte sellepärast, et nad väiksemaks lähevad, vaid sellepärast, et ketas on lõpmatu pinna kaart. Pane külgede arvuks 7 ja nurga kohta 3 ning vaatadki sedasama konstruktsiooni.

Alati kaksteist viisnurka 🖖

Jalgpall ei ole disainiotsus. Võta ükskõik milline suletud keha, mille tahud on viis- ja kuusnurgad ja mille igas nurgas kohtub täpselt kolm tahku, ning loe viisnurgad üle: neid on kaksteist. Alati — ükskõik kui suur keha on ja mitu kuusnurka sellel on. Kolm tahku nurga kohta annab 3T = 2S, ja T − S + T = 2 taandub siis kaheteistkümnele viisnurgale, kusjuures kuusnurkade arv taandub täielikult välja. Just see tähendabki millegi lugemist kuju pealt ilma mõõtmata. Jalgpallil on 12 viisnurka ja 20 kuusnurka; buckminsterfullereenil C₆₀ on 12 viisnurka ja 20 kuusnurka; maja suurusel geodeetilisel kuplil on ikka täpselt 12 viisnurka kuusnurkade vahele peidetud. Põhjuseks on sellel lehel olev 720°. Kolm kuusnurka ühes nurgas annavad täpselt 360°, on seega tasased ega panusta midagi — iga kraad neist 720-st peab tulema viisnurkadelt, ja 60° tükilt tähendab see kahtteist. Sellepärast ehitavad ka nii paljud viirused ikosaeedrilisi kesti: ühest korduvast valgust kokku pandud suletud mahutil on väga vähe valikuid, ja Caspar ja Klug arvutasid 1962. aastal välja, millised.

Ülejäänud kaks juhtumit ei ole samuti kaunistus 🖖

Tasane juhtum ei ole ainult võimalik, vaid optimaalne. Kõigist viisidest jagada pind võrdse pindalaga aladeks on kuusnurkne parketeering kõige väiksema kogupikkusega piirjoontega — seda oletati kaks tuhat aastat ja Thomas Hales tõestas selle 2001. aastal. Kärg on vahasäästu tulemus, mitte esteetika oma. Hüperboolne juhtum teenib oma koha kasvuga, mida kettal näeb: igas rõngas on rohkem plaate kui eelmises. Puu hargneb samamoodi, ja puud ei saa tasandile joonistada ilma välimisi oksi kokku surumata, sest tasand pakub pindala ainult võrdeliselt r²-ga. Hüperboolne ruum pakub eksponentsiaalselt rohkem, seega mahuvad hierarhiad ja skaalavabad võrgud sinna varuga — just seepärast on hüperboolsed sisestused tänapäeval tavaline viis neid modelleerida ja joonistada. Ja sellist pinda saab käes hoida: salat, lehtkapsas ja korall lokkivad, sest kasvav serv võidab pikkust kiiremini, kui tagune pind võidab pindala, ja pind, millel on rohkem äärt, kui tasand mahutab, ei saa muud kui kurdu minna.

Ülesanne täielikult lahendatud

90° kasutamata ülejääk, kui kolm ruutu nurgas kohtuvad 5 sammu
Kolm ruutu kohtuvad ühes tipus ja jätavad 90° kasutamata. Arvuta välja, mis saab sellest ülejäägist — ja miks see määrab, kas saad lameda tasandi, keha või ei kumbagi.
1. Korrapärase hulknurga sisenurk tuleneb sellest, et selle välisnurkade summa on täispööre. Ruut annab 90° ning see ainus arv ongi kogu küsimuse algandmeteks.
  
  $interior angle of a regular p -gon = \frac{180 ( p - 2 )}{p} = \frac{180 \times 2}{4} = 9 0^{\circ}$
2. Paiguta neist kolm ümber tipu ja kasutad ära 270°, jättes 90° üle. Lamedal tasandil on see tühimik ning kujundiga ei saa tasandit katta.
  
  $q = 3 : 3 \times 9 0^{\circ} = 27 0^{\circ} ⟹ 36 0^{\circ} - 27 0^{\circ} = 9 0^{\circ} left over$
3. See tühimik pole raiskamine. Voldi tipp üles, kuni servad kokku puutuvad, ja ülejäänud nurgast saab kõverus — tipp on nüüd keha tipp. Kas see üldse võimalik on, otsustab üks korrutis, ja 2 on väiksem kui 4.
  
  $(p - 2) (q - 2) = 2 \times 1 = 2 < 4 ⟹ it closes into a solid$
4. Keha, milleks see sulgub, on kuup. Loenda selle osad ja kehtib Euleri seos, nagu iga kumera hulktahuka puhul: tipud miinus servad plus tahud on 2.
  
  $V = 8, E = 12, F = 6 : V - E + F = 8 - 12 + 6 = 2$
5. Nüüd liida ülejäänud nurk kõigi kaheksa tipu peale kokku. 720° — ja Descartes'i teoreem ütleb, et iga kumer hulktahukas annab täpselt selle, milline ka poleks selle kuju. Kuup, tetraeeder ja 900 tahuga kera taoline keha annavad kokku ikka 720°.
  
  $8 \times 9 0^{\circ} = 72 0^{\circ} = 4 π (Descartes: the same total for every convex polyhedron)$
Vastus

Tööriist kuvab 90° tipu kohta, 270° ümber tipu, ülejäägiks 90°, tingimuse kujul 2 < 4, Euleri arvuks 2 ja kogudefektiks 720°. Kõik otsustab üks korrutis: kui (p−2)(q−2) on väiksem kui 4, sulgub see sfääriks, kui võrdne 4-ga, jääb lamedaks, kui suurem kui 4, mahub vaid hüperboolsesse ruumi. Seetõttu on olemas täpselt viis Platoni keha ja täpselt kolm tasandi korrapärast sillutist — {3,6}, {4,4}, {6,3}, kolmnurk, ruut ja kuusnurk ning mitte kunagi midagi muud. Seadista p = 6, q = 3 ning jälgi, kuidas ülejääk muutub nulliks.

$(p - 2) (q - 2) < 4 sphere, = 4 plane, > 4 hyperbolic$

Allikad (6)

Why there is no sixth Platonic solid: Euclid, Elements, Book XIII, Proposition 18 and its closing Remark, which rules out further regular solids on the grounds that six equilateral triangles at a corner "will be equal to four right angles" and so lie flat. The edition by David E. Joyce, Clark University.
The hyperbolic tilings and Escher: H. S. M. Coxeter, "The Non-Euclidean Symmetry of Escher’s Picture ‘Circle Limit III’." Leonardo 12(1), 19–25, 1979.
The nested solids of Kepler: Johannes Kepler, Mysterium Cosmographicum. Tübingen, 1596 — the model that spaced the six known planets by inscribing the five regular solids between their spheres, and which Kepler spent the following decades replacing.
Why the honeycomb is hexagonal: Thomas C. Hales, "The Honeycomb Conjecture." Discrete & Computational Geometry 25, 1–22, 2001 — the proof that the regular hexagonal tiling divides a surface into equal areas with the least total perimeter.
Why so many viruses are icosahedral: D. L. D. Caspar and A. Klug, "Physical Principles in the Construction of Regular Viruses." Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology 27, 1–24, 1962.
Hyperbolic space for hierarchies and networks: D. Krioukov, F. Papadopoulos, M. Kitsak, A. Vahdat and M. Boguñá, "Hyperbolic geometry of complex networks." Physical Review E 82, 036106, 2010.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-11

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Kuup {4,3} - Kolm ruutu ühes nurgas annavad 270°, mis on 90° vähem, kui tasaseks jäämiseks vaja. Just see puudujääk voldib pinna, ja kaheksa nurka × 90° = 720° sulgevad ta kuubiks.
Ikosaeeder {3,5} - Viis kolmnurka jõuavad 300°-ni, üle jääb 60°. Kaksteist tippu × 60° on jälle 720° — sama summa mis kuubil ja mis igal kumeral kehal.
Kärg {6,3} - Kolm kuusnurka kohtuvad täpselt 360° juures. Midagi üle ei jää, seega midagi ei voldi, ja parketeering jookseb üle tasandi lõputult. Ainult kolm korrapärast parketeeringut suudavad seda.
Seitsenurgad {7,3} - Kolm seitsenurka annavad 385,71°, rohkem kui 360°, mis tasasesse nurka ära mahub. Parketeering on olemas, kuid ainult hüperboolses ruumis — just selle pildi laenas Escher.
Viis ruutu {4,5} - Viis ruutu igas nurgas: 450°, tervelt 90° liiga palju. Paberil võimatu, kettal argipäev — ja iga rõngas on eelmisest suurem.