Sigma-summeerimise tööriist

Vali avaldis, määra piirid ja vaata, kuidas kumulatiivne summa liikme kaupa kasvab.

Näidisarvutus — Sigma-summeerimise tööriist

Lõplik summa	55
Liikmete arv	10

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Sigma-summeerimise tööriist

Sigmatähistus on kompaktne juhis liitmiseks. ∑ ütleb: võta sellest paremal asuv avaldis, lase indeksil läbida kõik täisarvud alampiirist kuni ülempiirini — mõlemad rajad kaasa arvatud — ning liida tulemused kokku.

Sigmaavaldise neli osa: summeerimismärk, mille kohal on ülempiir ning all indeks ja alampiir, millele järgneb liidetav liige.

Summeerimismärk. Selles endas väärtust ei peitu — see annab juhise liitmiseks.
Ülempiir n sigma kohal: indeksi viimane väärtus, kaasa arvatud.
Indeks ja selle alampiir, k = m, sigma all: kust loendamine algab, samuti kaasa arvatud.
Liige f(k) paremal: selle väärtus arvutatakse indeksi iga väärtuse korral ning just need tulemused liidetakse kokku.

Mida iga sümbol tähendab

k: indeks — loendur, mis võtab järgemööda iga täisarvulise väärtuse. Matemaatiliselt on selle tähis summa siseasi, mistõttu i või j tähendaksid täpselt sama asja; siin on see alati k ning ülaloleva tabeli veeru pealkiri on Index (k).
m: alampiir, mis on kirjutatud sigma alla kujul k = m. See on indeksi esimene väärtus ja see on kaasa arvatud — see on ülalolev väli from.
n: ülempiir, kirjutatud sigma kohale. Indeksi viimane väärtus, samuti kaasa arvatud — seepärast annab vahemik 1-st 10-ni üheksa liikme asemel kümme liiget. See on ülalolev väli to.
f(k): liige — avaldis, mille väärtus arvutatakse iga indeksi väärtuse korral ühe korra. Siin saab selle valida viie valiku hulgast: k, k^2, 2k+1, 1/k ja (-1)^k.

Kust valem tuleb

Kuna mõlemad rajad on kaasa arvatud, ei ole liikmete arv n − m. Kirjutame indeksi väärtused välja: m, m + 1 ja nii edasi kuni väärtuseni n.
Lahutame iga elemendi väärtusest m, et loend algaks nulliga: 0, 1, … , n − m. Tähiste muutmine muudab elementide nimetust, mitte nende arvu.
Loend 0-st kuni väärtuseni n − m sisaldab n − m + 1 elementi. Seega 1-st 10-ni annab kümme liiget ja 0-st 12-ni annab kolmteist liiget — just seda kajastab mõlemal juhul ülalnäidatud Term count.

Eeldab: Indeksi väärtused on täisarvud, mis suurenevad ühesammuliselt, ning neid on lõplik hulk: mõlemad rajad ümardatakse täisarvudeni ja piiratakse vahemikku −30 kuni 30, et leht ei kiiluks kinni. Liige valitakse tippimise asemel viie eelseadistuse hulgast, mis teeb sellest lehest tähistuse näitliku mudeli, mitte üldotstarbelise summeerimiskalkulaatori.
Ei kehti, kui: Kui valite 1/k ja alustate indeksit väärtusest 0, on esimene liige määramata. Seda ei jääda vaikimisi vahele — arvutus peatub seal: tulemuseks kuvatakse undefined, Term count langeb väärtusele 1 ning lahtikirjutuse tabel lõppeb selle ühe reaga. Lahtikirjutatud avaldis näitab endiselt undef + 1/1 + 1/2 + ⋯, mis annab edasi tegeliku pildi — üks määramata liige muudab kogu summa määramatuks, olenemata sellest, kui palju korrapäraseid liikmeid sellele järgneb.

Paaritute arvude eelseades on iga jooksev summa täisruut 🖖

Lae eelseade 2k+1 ja loe kumulatiivset veergu ülalt alla: 1, 4, 9, 16, 25 — see jääb alati täisruuduks ja lõpeb arvuga 169, mis on 13². See ei ole nende rajade juhus. Esimese n paaritu arvu summa annab alati täpselt n², nii et jooksev summa, mille tööriist pärast iga sammu näitab, on senine liikmete arv ruudus. Osasummad teevad geomeetriat: iga paaritu arv on L-kujuline riba, mis muudab ühe ruudu järgmiseks.

Lühimärge liitmise jaoks 🖖

Suur Σ on lihtsalt käsk: liida kokku iga liige, kui indeks tõuseb alumiselt piirilt ülemiseni. See tööriist teeb liitmise sinu eest ja näitab sama kasulikult jooksvat summat pärast iga sammu — osasummasid. Lõpptulemus polegi muud kui selle trajektoori viimane osasumma.

Kui millegi liitmine annab nulli 🖖

Tühi summa — summa, milles pole ühtegi liiget, sest ülempiir on alampiirist väiksem — ei ole määramata. Kokkuleppeliselt võrdub see arvuga 0: null on liitmise neutraalelement, mistõttu tühi summa ei muuda seda arvu, millele see liidetakse. Selle korrutamise analoog on sama üllatav: tühi korrutis võrdub arvuga 1. Siin lehel ei saa aga sellist olukorda tekitada ja seda on kasulik teada: kui seate ülempiiri alampiirist väiksemaks, vahetatakse need kaks vaikimisi omavahel, nii et k = 5 kahanevalt väärtuseni 2 muutub kujule k = 2 kasvavalt väärtuseni 5 ning annab tulemuseks 14.

Euler pani selle kirja ja sina juba klõpsad seda 🖖

See sümbol pärineb Eulerilt. Teoses Institutiones calculi differentialis (1755) pani ta kirja, et summat tähistatakse märgiga Σ — Kreeka suurtähega sigma, mis on sõna summa esitäht — ja see jäi püsima, mis on matemaatilise tähistuse puhul haruldane: enamik selle ajastu ettepanekutest asendati. See tähis on ammu väljunud pelgalt matemaatika piirest. Igasse suuremasse tabeltöötlusprogrammi sisestatud automaatse summeerimise nupp (AutoSum) on täpselt seesama Σ, seega kasutavad inimesed, kes ei pea end kunagi matemaatikuteks, Euleri tähistust peaaegu igal tööpäeval. Üks hoiatus, sest need kaks näivad seotud, kuid ei ole seda: suur Σ on juhis liida need kokku, samal ajal kui väike σ tähistab jaotuse standardhälvet. “Six Sigma” kasutab just seda väiketähte.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Eelseade paaritud arvud liidab 2k+1 väärtustel k = 0 kuni 12 ja teatab tulemuse 169 üle 13 liikme. Teised eelseaded näitavad summa all kinnist valemit; see ei näita ühtegi. Leia muster ise — sea ülemiseks piiriks 4, siis 9, siis 19.

Näita vastust

25, 100 ja 400, vastavalt 5, 10 ja 20 liikme kohta. Esimese n paaritu arvu summa on alati täpselt n² ja 169 on 13². Kujuta ette ruutu, mis kasvab L-kujuliste kihtidena: üks punkt, siis selle ümber kolmest punktist L, siis viiest punktist L — n kihi järel on käes n × n ruut ja iga lisatud kiht oli järgmine paaritu arv. Tööriist tunneb k ja k² kinniseid valemeid ning näitab neid; seda ta ei tunne, nii et sulle jääb ainult summa.
Eelseade harmooniline liidab 1/k väärtustel 1 kuni 8 ja saab 2.717857 ning märkus ütleb, et osasummad ei jää ühelegi lõplikule piirväärtusele pidama. Arva ära, kui kaugele peab ülemine piir minema, et summa ületaks 5 — ja siis kontrolli.

Näita vastust

83. Liige 82 jätab selle väärtusele 4.990020 ja liige 83 viskab selle üle: 5.002068. Kuueni jõudmiseks kulub 227 liiget ja 226 jääb väärtusele 5.999961 — neli miljondikku puudu. Pane tähele, et 227 ÷ 83 = 2.73, mis on peaaegu täpselt e: osasummad järgivad ln n, seega iga järgmine +1 samm maksab umbes e ≈ 2.718 korda rohkem liikmeid kui kogu senine tee kokku. Kümne ületamiseks kulub 12367 liiget; tööriist arvutab selle välja, kui küsid. Just nii näeb „ei jää pidama“ seestpoolt välja — tõusmine ei lõpe kunagi, aga aeglustub geomeetriliselt, ja just seepärast viis kaheksa liiget sind ainult 2.7-ni.

Ülesanne täielikult lahendatud

Ruutude summa, milleni 1 ja 10 paaritamine ei ulatu 6 sammu
Liida arvud 1-st 10-ni paaride moodustamise, mitte otse liitmise teel, ning kasuta sama võtet ruutude summa leidmiseks — milleni paaride moodustamine ei küüni.
1. Kirjuta summa välja. Kümme liidetavat on piisavalt vähe, et neid otse liita, mis on täpselt põhjus, miks nii teha ei tohiks.
  
  $S = k = 1 \sum 10 k = 1 + 2 + \dots + 10$
2. Liida summat iseenda vastupidise järjekorraga. Iga tulp annab sama summa ja neid on n tükki — seega kahekordne summa moodustab ristküliku.
  
  $2 S = (1 + 10) + (2 + 9) + \dots + (10 + 1) = 10 \times 11 ⟹ S = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$
3. Üldine tulemus. Pane tähele, et arutlus kahekordistab summa selle pooleks murdmise asemel, mistõttu ei vaja see eraldi juhtu paaritu n jaoks — mõlemast otsast liikmeid paaritav versioon aga vajab.
  
  $k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2} — the pairing needs no case split, because it doubles the sum rather than folding it$
4. Nüüd ruudud. Alusta järjestikuste kuupide vahest, mis avaneb avaldiseks, mis sisaldab liiget k².
  
  $(k + 1)^{3} - k^{3} = 3 k^{2} + 3 k + 1 ⟹ k = 1 \sum n [(k + 1)^{3} - k^{3}] = (n + 1)^{3} - 1$
5. Liida mõlemad pooled kokku. Vasak pool koondub teleskoopselt üheks liikmeks; parem pool sisaldab otsitavat summat pluss summat, mis sul juba käes on.
  
  $(n + 1)^{3} - 1 = 3 \sum k^{2} + 3 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + n ⟹ k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = 385$
6. Võta veel üks aste kõrgemaks ja seaduspärasus sulgub iseendasse.
  
  $k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2} = 5 5^{2} = 3025$
Vastus

55, seejärel 385, seejärel 3025 — ning kolmas on esimene ruudus. Paaride moodustamise arutlus on kuulus ja ühtlasi umbtee: see töötab, sest liikmed on lineaarsed, ning ruute pole kuidagi võimalik võrdseteks paarideks voltida. Selle asemel tuleb kasutada teleskopeerimist. Kirjuta üles järjestikuste kuupide vahe, liida see kokku ja peaaegu kõik koondub välja; ruutude summa langeb rusudest välja. Sama mehhanism ühe astme võrra kõrgemal annab kuupide summa ning tulemuseks on 55² — esimese n kuubi summa on esimese n arvu summa ruut iga n korral. See ei ole kokkulangevus, mida näeks arvudele otsa vaadates, ning seepärast tasub teleskopeerimine selgeks õppida, ehkki paaride moodustamine annab esimese vastuse kiiremini.

$k = 1 \sum 10 k = 55, \sum k^{2} = 385, \sum k^{3} = 5 5^{2} = 3025$

Allikad (3)

Where the Σ sign comes from — Euler’s own text: L. Euler, Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, vol. 1. Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae, 1755 (E212).
And the history of the notation itself: Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Volume II. The Open Court Publishing Company, 1929.
The conventions this page relies on — inclusive limits, index changes, and why an empty sum is 0: R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik, Concrete Mathematics, 2nd ed., chapter 2 (“Sums”). Addison-Wesley, 1994. ISBN 978-0-201-55802-9.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-05-21

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

naturaalarvud - Klassikaline esimese kümne naturaalarvu summa.
ruudud - Ruutude lõplik summa kiiresti kasvavate liikmetega.
lineaarne avaldis - Lineaarsete liikmete kuhjumine paaritute arvude mustri järgi.
harmooniline osasumma - Harmoonilise rea osasumma näitab aeglast logaritmilist kasvu.