Läätsede ja kujutiste stuudio

Uuri märgikokkuleppeid, suurendust ja kujutise orientatsiooni, muutes kaugust ja fookuskaugust.

Näidisarvutus — Läätsede ja kujutiste stuudio

Antud objekti kaugus do	30
Antud objekti kõrgus ho	4
Arvutatud kujutise kaugus di	15
Arvutatud suurendus m	-0.5
Arvutatud kujutise kõrgus hi	-2
Arvutatud kujutise tüüp	Reaalne
Arvutatud orientatsioon	Ümberpööratud

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

See lääts on parem kui ükski päris klaasitükk 🖖

Iga kiir selles tööriistas järgib täpselt võrrandit 1/f = 1/d_o + 1/d_i, nii et kujutis langeb puhta punktina ja fookuskaugus on üks ainus arv. Päris sfääriline klaas ei mängi kaasa. Sfäärilise pinna serva lähedalt läbivad kiired koonduvad lähemale kui teljelähedased, seega päris üksikläätsel ei ole üldse üht fookust — sellel on fookuste määrdunud ala, mida nimetatakse sfääriliseks aberratsiooniks ja mis läheb hullemaks, kui lääts rohkem avatakse. Just seepärast on fotoobjektiiv kuue kuni kaheteistkümne elemendi virn ja mitte üks klaasitükk: lisapinnad on olemas selleks, et üksteise vigu kustutada. Õhukese läätse võrrand kirjeldab, mida läätsed teeksid, kui need oleksid täiuslikud, ja telje lähedal on see piisavalt lähedal, et seda esimesena õppida.

Kõik otsustab üksainus fookus 🖖

See tööriist tugineb ühele ainsale seosele — õhukese läätse valemile 1/f = 1/d_o + 1/d_i —, kuid kogu käitumise määrab üks asi: kus asub objekt fookuse F suhtes. Aseta see F-st kaugemale ja koondav lääts loob reaalse pöördkujutise, mille saab ekraanile püüda, nagu kaamera või projektor. Nihuta see F-st sissepoole ja sama lääts annab näiva, püstise ja suurendatud kujutise — täpselt nii, nagu töötab luup.

Vees jääb klaaslääts peaaegu jõuetuks 🖖

Lääts murrab valgust ainult tänu murdumisnäitaja erinevusele oma pindadel, seega sõltub tema tugevus ümbritsevast keskkonnast, mitte üksnes klaasist. Vii tavaline n = 1.5 lääts õhust vette (n = 1.33) ja läätsevalmistaja valem näitab, et tema optiline tugevus langeb umbes veerandini — siin seatud fookuskaugus peaaegu neljakordistuks. Sama efekt halvab vee all silma sarvkesta, mistõttu sukeldumismask (mis taastab õhuvahe) toob maailma taas teravaks.

ÕHUKESED LÄÄTSED — KUHU KUJUTIS TEKIB JA KAS EKRAAN PÜÜAB SELLE KINNI

Millises kujutise juhtumis su objekt on?

Üks valem katab iga õhukese läätse, 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, kuid vastuse iseloom muutub, kui objekti lähemale lükata. Fookus on lüliti: väljaspool seda annab koondav lääts reaalse ümberpööratud kujutise, mille ekraan kinni püüab; seespool muutub sama lääts luubiks ja kujutis näiliseks. Hajutaval läätsel sellist valikut kunagi ei ole.

Objekt kaugemal kui 2f — reaalne, ümberpööratud, väiksem dₒ > 2f ⇒ f < dᵢ < 2f

Objekt täpselt 2f peal — reaalne, ümberpööratud, sama suur dₒ = 2f ⇒ m = −1

Objekt f ja 2f vahel — reaalne, ümberpööratud, suurendatud f < dₒ < 2f ⇒ dᵢ > 2f

Objekt fookusest seespool — näiline, püstine, suurendatud dₒ < f ⇒ dᵢ < 0

Hajutav lääts — alati näiline, püstine, väiksem f < 0 ⇒ dᵢ < 0

Objekt kaugemal kui 2f — reaalne, ümberpööratud, väiksem

Mida sa tead: Koondav lääts, objekt kaugemal kui kahekordne fookuskaugus. Kujutis tekib teisel pool, f ja 2f vahele.

Läätse valem: dₒ > 2f ⇒ f < dᵢ < 2f

Näidisarvutus: f = 10 cm, dₒ = 30 cm → dᵢ = 15 cm ja m = −dᵢ/dₒ = −0,5: reaalne, ümberpööratud, poole väiksem

Ava see juhtum: Objekt kaugemal kui 2f

Objekt kaugemal kui 2f — reaalne, ümberpööratud, väiksem. Objekt väljaspool 2f: reaalne kujutis tekib f ja 2f vahele, tagurpidi ja vähendatuna. Koondav lääts, objekt kaugemal kui kahekordne fookuskaugus. Kujutis tekib teisel pool, f ja 2f vahele. — Objekt väljaspool 2f: reaalne kujutis tekib f ja 2f vahele, tagurpidi ja vähendatuna.

Objekt täpselt 2f peal — reaalne, ümberpööratud, sama suur

Mida sa tead: Koondav lääts, objekt täpselt kahekordsel fookuskaugusel. Objekti ja kujutise kaugus tulevad võrdsed.

Läätse valem: dₒ = 2f ⇒ m = −1

Näidisarvutus: f = 10 cm, dₒ = 20 cm → dᵢ = 20 cm ja m = −1: reaalne, ümberpööratud, täpselt naturaalsuuruses

Ava see juhtum: Objekt punktis 2f

Objekt täpselt 2f peal — reaalne, ümberpööratud, sama suur. Objekt 2f peal: kujutis on teisel pool 2f kaugusel, ümberpööratud ja sama suur. Koondav lääts, objekt täpselt kahekordsel fookuskaugusel. Objekti ja kujutise kaugus tulevad võrdsed. — Objekt 2f peal: kujutis on teisel pool 2f kaugusel, ümberpööratud ja sama suur.

Objekt f ja 2f vahel — reaalne, ümberpööratud, suurendatud

Mida sa tead: Koondav lääts, objekt lähemal kui 2f, kuid ikka veel väljaspool fookust. Kujutis tekib kaugemale kui 2f.

Läätse valem: f < dₒ < 2f ⇒ dᵢ > 2f

Näidisarvutus: f = 10 cm, dₒ = 15 cm → dᵢ = 30 cm ja m = −2: reaalne, ümberpööratud, kaks korda suurem

Ava 2f juhtum ja lükka objekt 15 cm peale

Objekt f ja 2f vahel — reaalne, ümberpööratud, suurendatud. Objekt f ja 2f vahel: reaalne kujutis tekib kaugemale kui 2f, ümberpööratud ja suurendatud. Koondav lääts, objekt lähemal kui 2f, kuid ikka veel väljaspool fookust. Kujutis tekib kaugemale kui 2f. — Objekt f ja 2f vahel: reaalne kujutis tekib kaugemale kui 2f, ümberpööratud ja suurendatud.

Objekt fookusest seespool — näiline, püstine, suurendatud

Mida sa tead: Koondav lääts, objekt lähemal kui fookuskaugus. dᵢ tuleb negatiivne, mis tähendab, et kujutis on objektiga samal pool.

Läätse valem: dₒ < f ⇒ dᵢ < 0

Näidisarvutus: f = 10 cm, dₒ = 6 cm → dᵢ = −15 cm ja m = +2,5: näiline, püstine, kaks ja pool korda suurem

Ava see juhtum: Objekt fookuse sees

Objekt fookusest seespool — näiline, püstine, suurendatud. Objekt fookusest seespool: kiired hajuvad edasi ja silm loeb suure püstise kujutise. Koondav lääts, objekt lähemal kui fookuskaugus. dᵢ tuleb negatiivne, mis tähendab, et kujutis on objektiga samal pool. — Objekt fookusest seespool: kiired hajuvad edasi ja silm loeb suure püstise kujutise.

Hajutav lääts — alati näiline, püstine, väiksem

Mida sa tead: Nõgus lääts, seega f ise on negatiivne. Kuhu objekti ka ei paneks, vastuse iseloom jääb samaks.

Läätse valem: f < 0 ⇒ dᵢ < 0

Näidisarvutus: f = −10 cm, dₒ = 20 cm → dᵢ = −6,7 cm ja m = +0,33: näiline, püstine, kolm korda väiksem

Ava see juhtum: Nõgus lääts

Hajutav lääts — alati näiline, püstine, väiksem. Hajutav lääts: kujutis on näiline, püstine ja kahanenud, alati fookusest seespool. Nõgus lääts, seega f ise on negatiivne. Kuhu objekti ka ei paneks, vastuse iseloom jääb samaks. — Hajutav lääts: kujutis on näiline, püstine ja kahanenud, alati fookusest seespool.

Allikad (2)

Insight block 1 — why a real lens has a smear of focal points rather than one: M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th (expanded) edition, ch. 5. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64222-4 — the aberrations a thin-lens model leaves out.
Insight block 3 — the lensmaker's equation, and why the surrounding medium is in it: E. Hecht, Optics, 5th edition, ch. 5. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.

Objekti kaugemale nihutamine teeb kujutise väiksemaks, mitte suuremaks

Arusaam, et kaugem objekt annab suurema kujutise, on tagurpidi. Õhukese läätse puhul on suurendus m = −f/(d_o − f), nii et suuruse määrab vahe objekti ja fookuse vahel, mitte objekti kaugus ise. Tööriista enda eelseaded näitavad seda: kui f = 10 cm, annab 4 cm objekt kaugusel d_o = 20 cm 4 cm kujutise, ja 30 cm peale nihutades kahaneb kujutis 2 cm-ni. Vii see 11 cm-lt 110 cm-le ja kujutis langeb 40 cm-lt 0,4 cm-ni – sajakordselt, läätse juures, mis ei muutunud kunagi.

Ülesanne täielikult lahendatud

Koondavast läätsest 30 cm kaugusel asuva 4 cm objekti kujutis 5 sammu
4 cm kõrgune ese asub 30 cm kaugusel koondavläätsest, mille fookuskaugus on 10 cm. Leia kujutise asukoht — ja seejärel leia vähim kaugus, kui lähedal saab ekraan sellele esemele üldse olla, et püüda veel terav kujutis.
1. Õhukese läätse valemist piisab kogu esimese poole füüsikaks. Avalda sellest kujutise kaugus: pöördväärtuste lahutamisel saadakse positiivne 15 cm, mis on võrrandi viis öelda, et valgus tõepoolest koondub seal.
  
  $\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} ⟹ \frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} ⟹ d_{i} = 15$
2. Suurendus on kahe kauguse suhe, kusjuures märgikokkulepe väljendab orientatsiooni. Negatiivne märk tähendab ümberpööratud kujutist ja absoluutväärtus alla 1 väiksemat kujutist, seega saab 4 cm esemest 2 cm tagurpidi kujutis — ja kuna see on reaalne, kuvaks 15 cm kaugusel asuv ekraan selle.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{15}{30} = - 0.5 ⟹ h_{i} = - 0.5 \times 4 = - 2$
3. Nüüd küsimus, millele tööriist ei vasta. Kirjuta eseme ja kujutise vaheline kaugus ainult eseme kauguse funktsioonina, asendades läätse valemi avaldisse dₒ + dᵢ.
  
  $s = d_{o} + d_{i} = d_{o} + \frac{f d _{o}}{d _{o} - f}$
4. Võta tuletis ja võrdsusta see nulliga. Tingimus taandub kujule (dₒ − f)² = f², seega asub pööripunkt kohas dₒ = 2f, kus ka kujutise kaugus on 2f.
  
  $\frac{d s}{d d _{o}} = 0 ⟹ (d_{o} - f)^{2} = f^{2} ⟹ d_{o} = 2 f = 20, d_{i} = 20$
5. Kaugus on seal 4f = 40 cm ning see on pigem miinimum kui maksimum: nihuta eset kummas suunas tahes, kogukaugus kasvab, liikudes mõlemas suunas lõpmatusse.
  
  $s_{m i n} = 4 f = 40 cm (here s = 30 + 15 = 45 cm)$
Vastus

Tööriist kuvab d_i = 15, m = −0,5 ja kujutise kõrguseks −2, reaalne ja ümberpööratud. Tulemus, mida see ei kuva, on 4f reegel: selle eseme ühtegi reaalset kujutist ei saa tekitada sellele lähemale kui 40 cm, mida tahes sa läätsega ka ei teeks. Praegune paigutus hõlmab 45 cm, seega pole see veel vähim võimalik kaugus. See piirang määrab optikalaudade, projektori projektsioonikauguste ja kaamerakorpuste mõõtmed. Saad seda kontrollida ühe klõpsuga: eelseadistus väärtusel dₒ = 20 paneb kujutise samuti väärtusele 20 — miinimumkohas on eseme ja kujutise kaugused võrdsed.

$d_{i} = 15, m = - 0.5, h_{i} = - 2 s_{m i n} = 4 f = 40 cm at d_{o} = d_{i} = 2 f$

Õpitee

Valguse murdumine

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

Objekt kaugemal kui 2f - Ese kaugemal kui 2f annab reaalse ümberpööratud vähendatud kujutise f ja 2f vahel.
Objekt punktis 2f - Ese 2f juures annab reaalse ümberpööratud samasuuruse kujutise 2f juures.
Objekt fookuse sees - Ese fookuskaugusest lähemal annab kujutletava püstise suurendatud kujutise.
Nõgus lääts - Nõgus lääts annab alati kujutletava püstise vähendatud kujutise.