Õhukese Läätse Kiirtejälgija

Muuda fookuskaugust ja esemekaugust, et näha, kuidas õhuke lääts moodustab reaalseid või virtuaalseid kujutisi.

Näidisarvutus — Õhukese Läätse Kiirtejälgija

Kujutise kaugus	166.7 mm
Suurendus	-0.67×
Kujutise kõrgus	26.7 mm

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Objekt ja kujutis võivad kohad vahetada 🖖

Õhukese läätse valem 1/v = 1/f − 1/u on u ja v suhtes sümmeetriline ja see tööriist näitab seda. Laadi koondav eelseade — f = 100 mm, objekt 250 mm kaugusel — ja kujutise kaugus näitab 166,7 mm suurendusega −0,67×. Nüüd trüki objekti kauguse välja 166,7: kujutis läheb 250 mm peale suurendusega −1,50×. Kaks suurendust annavad korrutatuna täpselt 1. Igal läätsel on seega kaks objekti asendit, mis teravustavad samale ekraanile — üks suurendav ja üks vähendav — ning nende vaheline kaugus annab f, ilma et peaks kunagi läätse keskpunkti määrama. See on klassikaline Besseli nihkemeetod.

Piisab kahest kiirest 🖖

Õhuke lääts murrab objektipunktist väljuvad kiired nii, et need koonduvad taas ühte kujutisepunkti, seega piisab kahe lihtsa kiire jälgimisest. Paralleelkiir väljub tipust rõhtsalt ja läbib seejärel fookuse; keskkiir läbib läätse keskpunkti murdumata. Kus need kaks lõikuvad, seal on kujutis. Kui nad kohtuvad alles tahapoole pikendades, on kujutis näiv — see on luubi juhtum.

Kujutis, mis lendab läbi lõpmatuse 🖖

Lükka objekti fookuse poole ja jälgi, kuidas kujutise kaugus v kihutab väärtusele +∞, kaob ja ilmub vasakul uuesti kui −∞ — näiv kujutis. Füüsiliselt ei teleporteeru miski; läätsevalem 1/v = 1/f − 1/u on Möbiuse teisendus (murdlineaarne teisendus) ja sellised teisendused kohtlevad lõpmatust tavalise punktina. Kui u ületab väärtuse f, libiseb kujutis lihtsalt läbi selle lõpmatuse punkti ja muutub reaalsest näivaks.

Ülesanded täielikult lahendatud

40 mm objekt koondava läätse ees 250 mm kaugusel 5 sammu
40 mm kõrgune ese asub 250 mm kaugusel kogumisläätsest, mille fookuskaugus on 100 mm. Leidke kujutis — kus, kui suur, mis pidi — ning seejärel leidke ainus asi, mida see lääts teha ei saa.
1. Terve lehe üle valitseb üks võrrand. Teisendage see kujutise kauguse suhtes enne arvude sisse panemist, et arvutus tehtaks vaid üks kord.
  
  $\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} ⟹ \frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}}$
2. Asendage. Mõlema pöördväärtuse ühine nimetaja on 250, mis moodustabki kogu arvutuse; tööriist kuvab selle arvu.
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{100} - \frac{1}{250} = \frac{2.5 - 1}{250} = \frac{1.5}{250} ⟹ d_{i} = 166.7 mm$
3. Suurendus on kahe kauguse suhe, mis on negatiivne, sest tegelik kujutis on ümberpööratud. Ese asub kaugemal kui 2f, seega pidi kujutis tulema väiksem — see on tagurpidi töötav projektor.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{166.7}{250} = - 0.67, h^{'} = m h = - 0.67 \times 40 = - 26.7 mm$
4. Sama seaduse Newtoni kuju mõõdab mõlemat kaugust fookuspunktidest, mitte läätsest. Nende korrutis on täpselt f² iga eseme asukoha korral, mis on tugevam väide, kui pöördväärtuste kuju näib suutvat esitada.
  
  $x = d_{o} - f = 150, x^{'} = d_{i} - f = 66.7, x x^{'} = 150 \times 66.7 = 10000 = f^{2}$
5. Nüüd küsige, kui lähedal saavad ese ja kujutis üldse olla. Nende vahekauguse minimeerimine annab sümmeetrilise asetuse ning vastus sõltub üksnes läätsest.
  
  $D = d_{o} + d_{i}, \frac{d D}{d d _{o}} = 0 \Rightarrow d_{o} = d_{i} = 2 f \Rightarrow D_{m i n} = 4 f = 400 mm (here 416.7)$
Vastus

Kujutis tekib 166,7 mm läätsest taha, on ümberpööratud ja 26,7 mm kõrge. Viimane rida on see kasulik. Ese ja kujutis on siin teineteisest 416,7 mm kaugusel ning ükski eseme kauguse seadistus ei too neid kunagi lähemale kui 4f = 400 mm: kui lükata eset fookuse poole, eemaldub kujutis kiiremini kui ese läheneb. Seetõttu on projektoril, mis peab tekitama ekraanile tegeliku kujutise, range minimaalne projektsioonikaugus, mille määrab üksnes tema fookuskaugus — mistõttu vajab lühike ruum lühema fookuskaugusega läätse, mitte nutikamat.

$d_{i} = 166.7 mm, m = - 0.67, h^{'} = 26.7 mm$
Luup ja miks selle käepidemel seisab 5× 7 sammu
Hoia 50 mm läätse 30 mm kõrgusel 40 mm mardika kohal. Kus on kujutis, mispidi ja kui suur? Seejärel selgita, miks kuvab tööriist 2,50× luubi puhul, mille käepidemele on märgitud 5×.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Meetod ei muutu: võrrand on sama mis 1. ülesandes, kuid lühema fookuskaugusega läätse puhul. Küll aga on muutunud eseme asukoht. Nüüd asub see fookusest seespool, mitte enam kaugel väljaspool.
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{50} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 5}{150} = - \frac{1}{75} ⟹ d_{i} = - 75.0 mm$
2. Kujutise kaugus tuleb negatiivne ja see ongi kogu vastus küsimusele „kus”. Negatiivne tähendab, et kiired väljuvad läätsest endiselt hajuvatena, mistõttu need ei koondu kunagi ja ükski ekraan ei püüa midagi. Tagasisuunas pikendatuna näivad need lähtuvat punktist, mis asub mardikaga samal pool 75 mm kaugusel — sealt leiab kujutise sinu silm.
3. Suurendus kannab märki kaasas. Positiivne m tähendab päripidist, seega on mardikas õigetpidi ja 100 mm kõrgune ning tööriist märgib kujutise näiliseks ja päripidiseks.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{- 75.0}{30} = + 2.50, h^{'} = m h = 2.50 \times 40 = 100.0 mm$
4. Lahenda võrrand üldkujul, mitte ainult ühe seadistuse jaoks, ja iga luubi käitumine tuleneb ühestainsast murrust. Fookuskaugusest seespool on suurendus suurem kui üks ja positiivne mis tahes läätse ja mis tahes kauguse korral, ilma ühegi erandita, mida peaks meeles pidama.
  
  $m = \frac{f}{f - d _{o}} ⟹ d_{o} < f \Rightarrow m > 1 and m > 0 always$
5. Mõlemat äärmust tasub oma kätega järele proovida. Suru lääts vastu mardikat ja suurendus saab väärtuseks 1, just nagu lehel lebava läätse puhul. Tõsta seda fookuspunkti poole ja suurendus kasvab piiramatult, ehkki samal ajal eemaldub kujutis lõpmatusse ning silm kaotab selle. Seetõttu kuvabki eelseadistus „Ese fookuspunktis” arvu asemel sümboli ∞.
  
  $d_{o} \to f^{-} : m \to + \infty, d_{o} \to 0 : m \to 1$
6. Kust siis pärineb 5×? Mitte sellest arvutusest. See, mida luup tegelikult pakub, on nurksuurus, mitte lineaarsuurus: kui laiana mardikas paistab võrreldes selle vaatamisega vähimal kaugusel, kuhu pingevaba silm suudab teravustada, kokkuleppeliselt 250 mm. Aseta ese fookuspunkti, lase kiirtel väljuda paralleelselt ja võrdluseks on kahe nurga suhe.
  
  $M = \frac{h / f}{h / D} = \frac{D}{f} = \frac{250}{50} = 5 \times (D = 250 mm)$
7. Too kujutis selle asemel samasse 250 mm lähipunkti ja seesama lääts saab suurenduseks 6×. Kasutusel on mõlemad kokkulepped, mistõttu võivad ühe tootja 5× luup ja teise tootja 6× luup olla täpselt sama klaasitükk. Tööriist näitab lineaarsuurendust sinu valitud tegelikul kaugusel ja see ongi arv, mille silm saab.
  
  $M_{d_{i} = - D} = 1 + \frac{D}{f} = 1 + 5 = 6 \times$
Vastus

75 mm läätsest, mardikaga samal pool, päripidine, 100 mm kõrgune ja näiline. Lehel kuvatav 2,50× ja käepidemel olev 5× mõõdavad eri asju: üks on kujutise kõrguse ja eseme kõrguse suhe asendis, milles läätse hoiad, teine näivate nurkade suhe kindla vaatluskokkuleppe korral.

$d_{i} = - 75.0 mm, m = + 2.50, h^{'} = 100.0 mm (virtual, upright)$

Õpitee

Valguse murdumine

Allikad (2)

The thin-lens conjugate relation and the two-position focal-length method: Eugene Hecht, Optics, 5th edition, ch. 5. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.
Gaussian optics and conjugate planes, in full: M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th (expanded) edition, ch. 4. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64222-4.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.