Paagi tühjenemine ja Torricelli kahanemine

tools.tank-drain.intro

Näidisarvutus — Paagi tühjenemine ja Torricelli kahanemine

Paagi ristlõige (A) (m²)	0,0707
Ava pindala (a) (m²)	7,85 × 10⁻⁵
Tühjenemise aeg (T) (s)	655,4
Vee praegune tase (h) (m)	1,000
Praegune vooluhulk (Q) (m³/s)	0,0002
Aeg 50% tasemeni	29,3%
Alumise ja ülemise aja suhe	2,414
Vee algtase (H)	1,00 m

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Tühjeneval paagil pole poolestusaega 🖖

Kõik ootavad siin laetud kondensaatori vaibumist, aga seda ei tule. Väljavool järgib √h, mitte h, ja seetõttu langeb veetase kujul H(1 − t/T)² — parabool, mis jõuab nulli lõpliku aja jooksul. Sobita eksponentkõver samale poolenisti tühjenemise hetkele: siis, kui see paak on juba tõesti kuiv, väidab kõver ikka veel, et alles on 9,4%, ega jõua tühjaks kunagi. Selles ongi vahe kiirusel, mille määrab kogus, ja kiirusel, mille määrab selle ruutjuur.

Neljakordne sügavus tähendab kahekordset ootamist 🖖

T = (A / C_dA₀)√(2H/g): sügavus H on ruutjuure all, kumbki pindala aga mitte. Täida sama paak neli korda sügavamale ja tühjenemine võtab kaks korda kauem, mitte neli. Vähenda ava läbimõõtu poole võrra ja aega kulub täpselt neli korda rohkem, sest pindala kasvab läbimõõdu ruuduga. Sügavus on siin andestav liige, ava aga halastamatu.

Ava on väiksem kui see, mille sa puurisid 🖖

Voolamiskoefitsient ei ole meelevaldne parandustegur. Teravaservalisele avale lähenev vesi ei suuda nurka hetkega ümber pöörata, nii et joa ristlõige kahaneb veel pärast seinast väljumist ja saavutab oma tõelise miinimumi alles pisut väljaspool — see koht on vena contracta. Terava servaga ava jääb 0,62 kanti, seega on tegelik avaus väiksem kui kaks kolmandikku puuritust. Pane C_d väärtusele 1 ja paak tühjeneb 62% tegelikust ajast: just nii suure vea sa teed, kui usud joonist.

Ülesanne täielikult lahendatud

Miks vaadi alumise poole tühjenemine võtab 2,4 korda kauem aega kui ülemise 8 sammu
300 mm vaat on täidetud 1,00 m kõrguseni ja selle põhja avatakse 10 mm ava. Kui kaua võtab tühjenemine aega ja kui suur osa sellest ajast kulub viimasele poolele veest?
1. Kogu ülesanne toetub kahele pindalale. Vaadi ristlõige näitab, mitu liitrit vett on ühes millimeetris veesambas. Ava pindala ütleb, kui kiiresti need liitrid välja pääsevad.
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π ( 0.30 ) ^{2}}{4} = 0.0707 m^{2}, a = \frac{π ( 0.010 ) ^{2}}{4} = 7.85 \times 1 0^{- 5} m^{2}$
2. Voolukiiruse avas annab jällegi Torricelli seadus, mille määrab ava kohal seisev veesammas. Voolamiskoefitsient on vajalik seetõttu, et väljudes aheneb veejuga umbes 62%-ni ava ristlõikest. Sekundis voolava ruumala saamiseks korrutame kiiruse ava pindalaga ning veetaseme langemise kiiruse leidmiseks jagame tulemuse vaadi ristlõikega.
  
  $\frac{d h}{d t} = - \frac{C _{d} a 2 g h}{A}$
3. Kuna sügavus on võrrandi mõlemal poolel, eraldame muutujad ja integreerime alates täis vaadist kuni tühjani. See on ülesande ainus kõrgema matemaatika samm ja kõik edasine tuleneb otseselt sellest.
  
  $\int_{H}^{0} \frac{d h}{h} = - \frac{C _{d} a 2 g}{A} \int_{0}^{T} d t ⟹ 2 H = \frac{C _{d} a 2 g}{A} T$
4. Avaldist ümber korraldades saame tühjenemise aja. Asetame arvud paika.
  
  $T = \frac{A}{C _{d} a} \frac{2 H}{g} = \frac{0.0707}{0.62 \times 7.85 \times 1 0 ^{- 5}} \frac{2 \times 1.00}{9.81} = 655.4 s$
5. Katkestades sama integraali nulli asemel sügavusel h ja avaldist ümber pöörates saame veetaseme mis tahes ajahetkel. Tegu on parabooliga. See jõuab nulli hetkel T ja sinna ta ka jääb. Kondensaator ei tühjene kunagi lõplikult. Vaat aga tühjeneb, sest ka viimast veetilka lükkab välja viimane osa sügavusest.
  
  $h (t) = H (1 - \frac{t}{T})^{2}$
6. Võrdsustame veetaseme poolega ja avaldame aja. Tulemuseks pole aga pool ajast T.
  
  $\frac{H}{2} = H (1 - \frac{t}{T})^{2} ⟹ \frac{t}{T} = 1 - \frac{1}{2} = 0.293$
7. Ülemine pool veest on läinud 29,3% koguaja möödudes, mis jätab alumise poole tühjenemiseks ülejäänud 70,7%. Selles suhtes ei oma mingit tähtsust sügavus, läbimõõt, raskuskiirendus ega koefitsient.
  
  $\frac{T - t _{1/2}}{t _{1/2}} = \frac{1/ 2}{1 - 1/ 2} = 1 + 2 = 2.414$
8. Aeg T sisaldab sügavuse H ruutjuurt ega sõltu ühestki teisest vee omadusest. Seega ei kahekordista sama vaadi täitmine 2,00 m kõrguseni ooteaega. See korrutab aja läbi 1,414-ga.
  
  $\frac{T ( 2.00 )}{T ( 1.00 )} = \frac{2.00}{1.00} = 1.414 ⟹ T = 926.9 s$
Vastus

655,4 sekundit, millest 70,7% kulub alumisele poolele. Veetase langeb valemi H(1 − t/T)² järgi. See on parabool, mis jõuab tühjani lõpliku ajaga, mitte eksponentfunktsioon, mis sellele vaid asümptootiliselt läheneb. Pool veest on väljas 29,3% aja möödudes. Sellest järeldub, et alumise poole tühjenemine võtab 1 + √2 = 2,414 korda kauem aega kui ülemise. Selles arvus pole paagist jälgegi.

$T = \frac{A}{C _{d} a} \frac{2 H}{g} \propto H$

Õpitee

Vesi paagist: üks kiirus, kaks rakendust

Allikad (1)

Torricelli's law applied to quasi-steady tank draining kinetics and parabolic depth decay: E. Torricelli, De motu gravium naturaliter descendentium. Florence, 1644.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-01

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Paagi tühjenemine ja Torricelli kahanemine

Tühjeneval paagil pole poolestusaega 🖖

Neljakordne sügavus tähendab kahekordset ootamist 🖖

Ava on väiksem kui see, mille sa puurisid 🖖

Näiteülesanded