Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences
Expérience 1 · Géométrie · bornes rigoureuses
Pour un cercle de diamètre 1, le polygone intérieur est trop court et l’extérieur trop long. Leurs demi-périmètres encadrent π.
Conclusion: Les deux bornes ont la même limite ; le théorème des gendarmes l’identifie à π.
Expérience 2 · Mesure · circonférence
π est défini par C/d. Une roue de diamètre 1 déroule exactement une circonférence en un tour.
Conclusion: Un tour donne C ; avec d = 1, cette distance vaut π.
Expérience 3 · Calcul · aire
Un anneau fin de rayon x mesure 2πx. Coupés et empilés, les anneaux s’ordonnent de 0 à 2πr.
Conclusion: Le triangle a pour base 2πr et hauteur r : A = ½(2πr)r = πr².
Expérience 4 · Physique · espace des phases
Quantité de mouvement et énergie imposent une ellipse aux vitesses. Après changement d’échelle, chaque choc est une réflexion sur un cercle.
Conclusion: Pour M/m = 100^d, le nombre vaut floor(π·10^d) et révèle les décimales successives.
Expérience 5 · Probabilité · orientation
Une aiguille croise une ligne seulement si son centre est assez proche et sa projection l’atteint. L’angle aléatoire introduit une intégrale de sin θ.
Conclusion: Si longueur et espacement sont égaux, P(croisement) = 2/π, donc π ≈ 2N/C.
Expérience 6 · Probabilité · aire
Pour des points uniformes, la probabilité d’atteindre une région égale sa part de l’aire totale.
Conclusion: Quatre fois la fraction observée donne π ≈ 4H/N.
Expérience 7 · Analyse · convergence
Des séries infinies codent π sans dessiner de cercle. Plusieurs identités atteignent la même limite à des vitesses très différentes.
Conclusion: La somme partielle est une approximation ; l’erreur absolue mesure sa distance à π.
Chaque section isole une idée, établit son équation et explique ce que l’image démontre réellement.
Tous les cercles euclidiens partagent le même rapport circonférence sur diamètre.
C / d = π
Une homothétie de facteur k multiplie C et d par k ; C/d reste donc inchangé. Cet invariant est π : C = πd = 2πr.
C’est la similitude, non une unité particulière, qui rend π universel.
Archimède plaça une figure sous la circonférence et une autre au-dessus.
n sin(π/n) < π < n tan(π/n)
Pour d = 1, les polygones réguliers garantissent n sin(π/n) < π < n tan(π/n). Davantage de côtés resserrent un intervalle certifié.
Une borne donne à la fois une approximation et l’erreur maximale.
Le centre avance uniformément, mais le point du bord accélère et ralentit.
x = r(θ − sin θ), y = r(1 − cos θ)
Pour l’angle θ, x = r(θ − sin θ) et y = r(1 − cos θ). À chaque pointe, le point touche le sol et s’immobilise un instant.
Le roulement sans glissement relie distance et angle par s = rθ.
Chaque anneau fin apporte environ circonférence × épaisseur.
∫₀ʳ 2πx dx = πr²
Au rayon x et d’épaisseur dx, dA = 2πx dx. Leur somme donne A = ∫₀ʳ 2πx dx = πr².
Des anneaux plus nombreux et plus fins lissent le bord en escalier.
La conservation de l’énergie place l’état des vitesses sur une ellipse.
N = floor(π√(M/m)), M/m = 100ᵈ
Les coordonnées (√m·v₁, √M·v₂) la changent en cercle et les chocs en réflexions. M/m = 100^d produit environ π·10^d réflexions.
Les chiffres viennent d’une géométrie circulaire dans l’espace des vitesses.
La probabilité moyenne une projection trigonométrique sur tous les angles.
P = 2L/(πD)
Pour L ≤ D, la moyenne sur θ ∈ [0, π] donne P = 2L/(πD). Ici L = D, donc P = 2/π.
Le hasard estime π parce que la probabilité sous-jacente est connue exactement.
Plus de points aident, mais l’échantillonnage converge comme une racine carrée.
π ≈ 4H/N
Avec p = π/4, l’erreur type décroît comme 1/√N. Une décimale de plus exige généralement environ 100 fois plus de points.
Les fluctuations sont normales ; chaque nouveau lot n’améliore pas forcément le résultat.
Une même limite peut cacher des vitesses très différentes.
Σ 1/n² = π²/6
Leibniz est très lente, Nilakantha bien plus rapide. Bâle relie Σ1/n² = π²/6 à l’arithmétique des entiers.
Le graphique montre des sommes partielles ; π ne varie pas.
La nature algébrique de π a tranché l’ancien problème.
π ∉ Q̄
Le carré égal au disque unité aurait pour côté √π. La règle et le compas produisent des nombres algébriques, mais Lindemann prouva en 1882 que π est transcendant.
Les approximations sont faciles ; seule la construction exacte sous ces règles est impossible.
Un hexagone encadre π entre 3 et 3,4641. Soit un écart de 0,46 — inexploitable. Déterminez combien de doublements sont nécessaires pour obtenir un résultat satisfaisant, et ce que cela révèle sur Archimède.
L'astuce n'a nullement besoin de π : un polygone inscrit dans le cercle a un périmètre plus court, un polygone circonscrit en a un plus long, et ces deux périmètres se calculent par la seule trigonométrie.
Tout commence avec six côtés, car le côté d'un hexagone régulier est égal au rayon — le périmètre inscrit vaut exactement 3 diamètres, sans aucune approximation. Le périmètre circonscrit vaut 2√3.
Ainsi, π est encadré dans une bande de largeur 0,464, ce qui constitue une vraie démonstration mais une valeur médiocre. Rien n'y est faux ; le polygone manque simplement de côtés.
Doubler le nombre de côtés resserre l'encadrement rapidement. La largeur diminue d'environ un facteur quatre à chaque fois — 0,110, 0,0270, 0,00674, 0,00168 — car l'erreur est du second ordre par rapport à la longueur du côté.
Quatre doublements permettent d'atteindre 96 côtés, et l'encadrement s'étend de 3,141032 à 3,142715.
Réponse
L'outil affiche 3,000000, 3,464102 et une largeur de 0,464102. Quatre doublements plus tard, un polygone à 96 côtés donne π avec deux décimales de certitude — et c'est exactement là qu'Archimède s'est arrêté, vers 240 av. J.-C., avec 3¹⁰⁄₇₁ < π < 3¹⁄₇. Ce qui en fait une étape majeure n'est pas la précision mais l'encadrement : il n'a pas estimé π, il a prouvé deux nombres entre lesquels il se situe obligatoirement, et la méthode s'améliore sans limite. Poussez le curseur à son maximum de 128 côtés et les bornes indiquent 3,141277 et 3,142224 — toujours seulement deux décimales certaines, après plus de quatre doublements. C'est là la mesure à la fois de l'exploit et de la limite de la méthode : la largeur diminue en 1/n², de sorte que chaque décimale supplémentaire coûte dix fois plus de côtés.