Explorateur de Logarithmes

Observez comment le changement de base transforme la courbe, comparez-la en direct à ln(x) et log₁₀(x), et découvrez pourquoi les logarithmes transforment la multiplication en addition.

Valeurs de départ — Explorateur de Logarithmes

ln(x) — logarithme népérien	on
log₁₀(x) — logarithme décimal	on
Valeur de x	2

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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Leçon

La théorie — Explorateur de Logarithmes

Un logarithme est un exposant. log_b(x) est la puissance à laquelle vous devez élever b pour obtenir x. Ainsi, log_b(x) = y et b^y = x forment une seule affirmation lue dans deux sens différents.

Ce que signifie chaque symbole

b: La base : le nombre qui est élevé à une puissance. Prenez n'importe quelle valeur positive à l'exception de 1. Élever 1 à une puissance donne toujours 1, ce qui vous empêcherait d'atteindre un x différent.
x: L'argument : la valeur que vous cherchez à atteindre. Il doit être positif. Aucune puissance réelle d'une base positive ne tombe sur zéro ou en dessous.
y: La réponse, qui est l'exposant lui-même. Celle-ci n'a aucune restriction. Elle vaut exactement 0 lorsque x est 1, quelle que soit la base. Pour une base supérieure à 1, elle est négative en dessous de x = 1 et positive sans limite au-dessus. En dessous de la base 1, les deux moitiés s'inversent. C'est le cas halfBase.

D’où vient la formule

Partez de la définition. Si log_b(x) = y, alors b^y = x.
Prenez le logarithme népérien des deux côtés. Ce que vous appliquez d'un côté, vous devez l'appliquer de l'autre : ln(b^y) = ln(x).
La règle des puissances place l'exposant devant, ln(b^y) = y·ln(b), ce qui donne y·ln(b) = ln(x).
Divisez par ln(b) : y = ln(x) / ln(b). Il s'agit de la formule du changement de base. C'est exactement la ligne affichée dans le panneau ci-dessus. En base 2 avec x = 2, on lit 0.69 / 0.69 = 1.

Comment lire ce que vous voyez

Trois courbes sont tracées : votre courbe pour la base choisie, ainsi que ln(x) et log₁₀(x) qui servent de références fixes. Les trois passent par le petit point en (1, 0). En effet, toute base élevée à la puissance 0 donne 1. Le point plus grand se place là où l'argument équivaut à la base, en (b, 1). Il glisse donc le long de la courbe lorsque vous faites glisser la base. Survolez n'importe quel endroit du graphique pour lire les trois logarithmes à ce x précis.

Suppose: b > 0, b ≠ 1 et x > 0. Ce ne sont pas des conventions formelles arbitraires. Ce sont très exactement les conditions pour lesquelles « b à quelle puissance donne x ? » possède une seule réponse réelle.
Ne tient plus quand: La base 1 est un cas d'échec intéressant. L'étape 4 explique pourquoi. La démonstration divise par ln(b), or ln(1) = 0. La valeur n'est donc pas seulement grande, elle est non définie. Vous ne pouvez pas rester sur cette valeur. Tapez 1 dans la base. Le chiffre est remplacé par 0.99. À ce niveau, la ligne de changement de base divise par une valeur proche de −0,01 et la réponse bondit à −68.97 pour le même x = 2. En dessous de 1, ce diviseur reste négatif et la courbe entière se retourne. Cela reste un logarithme, devenu décroissant.

pourquoi les logarithmes sont partout 🖖

Les logarithmes transforment la multiplication en addition — c'est toute l'astuce, et c'est pourquoi ils apparaissent partout où l'on doit compresser d'énormes plages de valeurs en quelque chose de lisible. L'échelle de pH est -log₁₀[H⁺] : chaque unité entière correspond à un changement d'acidité par 10. Les décibels valent 10·log₁₀(rapport de puissance) : une pièce silencieuse et un réacteur d'avion diffèrent d'environ mille milliards en puissance brute, mais seulement d'environ 120 dB. L'échelle de Richter (ou de magnitude de moment) fonctionne de la même façon — un séisme de magnitude 7 libère environ 32 fois plus d'énergie qu'un séisme de magnitude 6, et non 7/6 fois plus. Avant les calculatrices, les ingénieurs utilisaient des règles à calcul qui transformaient cette astuce d'addition en règle physique : faire glisser deux échelles graduées logarithmiquement l'une contre l'autre permettait de multiplier deux nombres en additionnant simplement des longueurs. Et en théorie de l'information, le nombre de bits nécessaires pour représenter quelque chose est littéralement le log₂ du nombre de possibilités — chaque doublement des choix coûte exactement un bit de plus.

toute base est la même courbe 🖖

Déplacez la base et les courbes semblent changer de forme — mais il n'en est rien. Le changement de base donne log_b(x) = ln(x) / ln(b) : chaque courbe n'est que ln(x) multipliée par un nombre fixe. Le curseur ne fait qu'étirer verticalement une seule courbe universelle. Descendez la base sous 1 et ce facteur devient négatif, retournant la courbe ; réglez-la exactement sur 1 et tout s'effondre, car ln(1) = 0 revient à diviser par zéro.

LOGARITHMES — DANS QUELLE BASE VOUS ÊTES, ET COMMENT EN CHANGER

Dans quel cas de logarithme êtes-vous ?

Un logarithme pose une seule question — quelle puissance de b donne x ? — mais la base décide à quoi sert la réponse. La base e surgit partout où une grandeur croît proportionnellement à elle-même ; la base 10 compte les ordres de grandeur ; une base inférieure à 1 retourne toute la courbe ; et n'importe quelle base se convertit en n'importe quelle autre par une division. Le dernier cas surprend : quand la base approche 1, le logarithme explose.

Logarithme népérien — base e, celui que l'analyse préfère ln x = log_e x

Logarithme décimal — base 10, compter les ordres de grandeur log₁₀ x

Base inférieure à 1 — la courbe se retourne 0 < b < 1

Changement de base — chaque logarithme est un autre, remis à l'échelle log_b x = ln x / ln b

Base juste au-dessus de 1 — le logarithme explose b → 1 ⇒ ln b → 0

Logarithme népérien — base e, celui que l'analyse préfère

Ce que vous savez: La base est e ≈ 2,718. Noté ln x, c'est le logarithme qui apparaît dès qu'un taux de variation est proportionnel à la quantité présente.

Base: ln x = log_e x

Exemple résolu: ln 2 = 0,693, car e^0,693 = 2 — et ce 0,693 est la raison du « temps de doublement = ln 2 / taux de croissance »

Ouvrir ce cas: logarithme népérien

Logarithme népérien — base e, celui que l'analyse préfère. Le logarithme népérien : pente exactement 1/x, et l'aire sous la courbe de l'inverse. La base est e ≈ 2,718. Noté ln x, c'est le logarithme qui apparaît dès qu'un taux de variation est proportionnel à la quantité présente. — Le logarithme népérien : pente exactement 1/x, et l'aire sous la courbe de l'inverse.

Logarithme décimal — base 10, compter les ordres de grandeur

Ce que vous savez: La base est 10. Chaque pas de 1 dans le résultat signifie que l'entrée a été multipliée par dix.

Base: log₁₀ x

Exemple résolu: log₁₀ 100 = 2, log₁₀ 1000 = 3 — multiplier x par dix ajoute exactement 1

Ouvrir ce cas: logarithme décimal

Logarithme décimal — base 10, compter les ordres de grandeur. Chaque multiplication de x par dix parcourt la même distance sur la courbe. La base est 10. Chaque pas de 1 dans le résultat signifie que l'entrée a été multipliée par dix. — Chaque multiplication de x par dix parcourt la même distance sur la courbe.

Base inférieure à 1 — la courbe se retourne

Ce que vous savez: 0 < b < 1. Élever une fraction à des puissances plus grandes la rend plus petite : le logarithme décroît au lieu de croître et devient négatif pour x > 1.

Base: 0 < b < 1

Exemple résolu: log₀,₅ 4 = −2, car 0,5⁻² = 4 — même valeur absolue que log₂ 4 = 2, signe inversé

Ouvrir ce cas: base < 1

Base inférieure à 1 — la courbe se retourne. Avec une base sous 1 la courbe descend : un x plus grand donne un logarithme plus négatif. 0 < b < 1. Élever une fraction à des puissances plus grandes la rend plus petite : le logarithme décroît au lieu de croître et devient négatif pour x > 1. — Avec une base sous 1 la courbe descend : un x plus grand donne un logarithme plus négatif.

Changement de base — chaque logarithme est un autre, remis à l'échelle

Ce que vous savez: Il vous faut une base que votre calculatrice n'a pas. Divisez deux logarithmes dans une base qu'elle possède : log x en base b = ln x / ln b.

Base: log_b x = ln x / ln b

Exemple résolu: log₄ 16 = ln 16 / ln 4 = 2,7726 / 1,3863 = 2, et la même division marche avec log₁₀ au lieu de ln

Ouvrir ce cas: changement de base

Changement de base — chaque logarithme est un autre, remis à l'échelle. Une seule courbe, remise à l'échelle : diviser par ln b convertit n'importe quelle base. Il vous faut une base que votre calculatrice n'a pas. Divisez deux logarithmes dans une base qu'elle possède : log x en base b = ln x / ln b. — Une seule courbe, remise à l'échelle : diviser par ln b convertit n'importe quelle base.

Base juste au-dessus de 1 — le logarithme explose

Ce que vous savez: b est proche de 1, donc ln b est proche de zéro. Comme log x en base b = ln x / ln b, diviser par ce nombre minuscule rend le résultat énorme.

Base: b → 1 ⇒ ln b → 0

Exemple résolu: log₁,₀₅ 50 = ln 50 / ln 1,05 = 3,912 / 0,04879 = 80,2 — il faut 80 pas de croissance à 5 % pour multiplier par 50

Ouvrir ce cas: proche de b = 1

Base juste au-dessus de 1 — le logarithme explose. Quand la base approche 1, la courbe se redresse sans limite ; à 1 exactement elle n'existe pas. b est proche de 1, donc ln b est proche de zéro. Comme log x en base b = ln x / ln b, diviser par ce nombre minuscule rend le résultat énorme. — Quand la base approche 1, la courbe se redresse sans limite ; à 1 exactement elle n'existe pas.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

Réglez la base sur 0.5 et laissez x à 2. Avant de regarder l'écran : la réponse sera-t-elle positive ou négative, et de quelle ampleur environ ?

Afficher la réponse

Négative, et petite : log₀.₅(2) = −1 exactement. Le changement de base donne ln(2)/ln(0.5). Comme ln(0.5) est négatif, la courbe entière bascule. La réponse vaut exactement −1, car 0,5 élevé à la puissance −1 donne 2. C'est l'équivalent de diviser par deux une seule fois, mais à l'envers.
Le grand point se situe toujours en (b, 1). Faites glisser la base de 2 à 9 et prédisez ce que fait ce point. Pourquoi la réponse reste-t-elle à 1 tout du long ?

Afficher la réponse

Il glisse vers la droite le long de la courbe en se maintenant à une hauteur de 1. log_b(b) = 1 pour n'importe quelle base. La question « quelle puissance de b donne b ? » donne toujours 1. Le point se déplace horizontalement car sa coordonnée x est la base même que vous faites glisser.
Tapez 1 dans la base. Prédisez ce qui se passe avant d'appuyer sur quoi que ce soit. La courbe devient-elle verticale, plate, ou autre chose ?

Afficher la réponse

Rien de tout cela. La page refuse la valeur et la remplace par 0.99. L'étape 4 de la démonstration divise par ln(b), or ln(1) = 0. La base 1 est donc non définie, plutôt qu'abrupte. À 0,99, la ligne de changement de base divise par une valeur proche de −0,01 et affiche −68.97, un grand nombre négatif. C'est à cela que ressemble une courbe qui s'approche d'une valeur non définie depuis un seul côté.

Problème entièrement résolu

La raison pour laquelle 2¹⁰ = 1024 et 10³ = 1000 sont proches 5 étapes
2¹⁰ = 1024 et 10³ = 1000, et ils sont proches pour une raison que ce panneau affiche déjà. Trouvez cette raison, puis déterminez à quelle vitesse cette coïncidence s'estompe.
1. Le changement de base transforme tout logarithme en un rapport de deux autres. L'outil indique ln(2) = 0,693147 et log₁₀(2) = 0,30103, et log₂(10) est l'inverse du second : 3,32193.
  
  $lo g_{2} 10 = \frac{ln 10}{ln 2} = \frac{2.302585}{0.693147} = 3.32193 = \frac{1}{0.30103}$
2. Ainsi, dix doublements, exprimés en puissances de dix, valent 10 × 0,30103.
  
  $2^{10} = 1 0^{10 l o g_{10} 2} = 1 0^{3.0103}$
3. L'exposant est 3,0103 plutôt que 3. Ce 0,0103 constitue l'intégralité de l'écart, et élevé en puissance de dix, il donne 1,024.
  
  $1 0^{3.0103} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.0103} = 1000 \times 1.024 = 1024$
4. L'écart s'accumule, car l'excédent se multiplie au lieu de s'ajouter. Un kibioctet dépasse mille de 2,4 %, un mébioctet un million de 4,9 %, et un gibioctet un milliard de 7,4 %.
  
  $\frac{2 ^{20}}{1 0 ^{6}} = 1.048576, \frac{2 ^{30}}{1 0 ^{9}} = 1.073741824$
5. Ce même 0,30103 explique pourquoi un doublement de puissance est appelé 3 dB. La valeur exacte est 3,0103 dB, et le nombre arrondi est une commodité avec une erreur d'une part sur trois cents.
  
  $10 lo g_{10} 2 = 3.0103 dB$
Réponse

L'outil affiche ln(2) = 0,693147 et log₁₀(2) = 0,30103. Le second mérite d'être mémorisé directement, car il permet de convertir entre les deux bases réellement utilisées par tout le monde : les bits et les chiffres décimaux. Un nombre nécessite environ 3,32 bits par chiffre décimal, une clé de 2048 bits compte environ 617 chiffres décimaux, et tout processus de doublement franchit un facteur mille toutes les dix étapes. Les étapes 4 et 5 constituent l'avertissement associé : 2¹⁰ ≈ 10³ est une approximation qui s'aggrave à chaque fois qu'elle est appliquée, c'est pourquoi les fabricants de disques et les systèmes d'exploitation sont en désaccord sur la taille d'un téraoctet depuis trente ans — de 10 %, et cela augmente encore.

$lo g_{10} 2 = 0.30103 : ten doublings are three decades, and 2.4%$

Parcours

Ordres de grandeur

Mène à Échelle de l'univers le fait qu'un logarithme est un exposant, ainsi que le changement de base.

Références (5)

pH as −log₁₀[H⁺]: R. P. Buck et al., "Measurement of pH. Definition, standards, and procedures (IUPAC Recommendations 2002)." Pure and Applied Chemistry 74(11), 2169–2200, 2002.
The decibel as 10·log₁₀ of a power ratio: L. E. Kinsler, A. R. Frey, A. B. Coppens & J. V. Sanders, Fundamentals of Acoustics, 4th ed. Wiley, 2000. ISBN 978-0-471-84789-2.
Why one magnitude step is about 32× the energy — the scale is defined so that energy goes as 10^1.5 per unit: T. C. Hanks & H. Kanamori, "A moment magnitude scale." Journal of Geophysical Research: Solid Earth 84(B5), 2348–2350, 1979.
The slide rule, and the seventeenth-century instruments it came from: Florian Cajori, On the History of Gunter’s Scale and the Slide Rule during the Seventeenth Century. University of California Press, Berkeley, 1920.
Bits as log₂ of the number of possibilities: C. E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication." Bell System Technical Journal 27(3), 379–423, 1948.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

logarithme népérien - Cas du logarithme népérien : ln(2) ≈ 0.693.
logarithme décimal - Cas du logarithme décimal : log10(100) = 2.
base < 1 - Une base inférieure à 1 inverse la courbe : log0.5(4) = -2.
changement de base - Vérification du changement de base : log4(16) = 2.
proche de b = 1 - Base juste au-dessus de 1 : la courbe devient presque verticale, car la division par ln(1.05) ≈ 0.049 fait exploser le résultat.