Explorateur de Logarithmes

Les logarithmes transforment la multiplication en addition — c'est toute l'astuce, et c'est pourquoi ils apparaissent partout où l'on doit compresser d'énormes plages de valeurs en quelque chose de lisible. L'échelle de pH est -log₁₀[H⁺] : chaque unité entière correspond à un changement d'acidité par 10. Les décibels valent 10·log₁₀(rapport de puissance) : une pièce silencieuse et un réacteur d'avion diffèrent d'environ mille milliards en puissance brute, mais seulement d'environ 120 dB. L'échelle de Richter (ou de magnitude de moment) fonctionne de la même façon — un séisme de magnitude 7 libère environ 32 fois plus d'énergie qu'un séisme de magnitude 6, et non 7/6 fois plus. Avant les calculatrices, les ingénieurs utilisaient des règles à calcul qui transformaient cette astuce d'addition en règle physique : faire glisser deux échelles graduées logarithmiquement l'une contre l'autre permettait de multiplier deux nombres en additionnant simplement des longueurs. Et en théorie de l'information, le nombre de bits nécessaires pour représenter quelque chose est littéralement le log₂ du nombre de possibilités — chaque doublement des choix coûte exactement un bit de plus.

Un logarithme pose une question à l'envers : b à quelle puissance donne x ? Cette réponse est le logarithme — log_b(x) n'est rien d'autre que l'exposant. C'est pourquoi chaque courbe de cet outil passe par (1, 0) : toute base élevée à la puissance 0 vaut 1. Les deux références affichées, ln(x) et log10(x), sont la même question posée en base e et en base 10.

Déplacez la base et les courbes semblent changer de forme — mais il n'en est rien. Le changement de base donne log_b(x) = ln(x) / ln(b) : chaque courbe n'est que ln(x) multipliée par un nombre fixe. Le curseur ne fait qu'étirer verticalement une seule courbe universelle. Descendez la base sous 1 et ce facteur devient négatif, retournant la courbe ; réglez-la exactement sur 1 et tout s'effondre, car ln(1) = 0 revient à diviser par zéro.