La précision d'une fraction

Choisissez un nombre et combien de termes conserver. La carte à gauche présente la fraction issue de la fraction continue. La ligne en dessous explore chaque fraction ayant un dénominateur inférieur et indique la plus proche qu'elle puisse trouver.

Exemple résolu — La précision d'une fraction

Meilleure fraction	17 / 12
Erreur	2,5 × 10⁻³
Chiffres significatifs	2
q² × erreur	0,353

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

La meilleure fraction à cette échelle, prouvée par la recherche 🖖

Choisissez √2 et quatre termes, et l'outil vous renvoie 17/12. Ensuite, il effectue la tâche qui justifie son existence. Il prend chaque dénominateur inférieur à 12, trouve le numérateur le plus proche pour chacun, et indique la fraction la plus précise qu'il puisse construire. Il s'agit de 7/5, et elle se trouve 5,8 fois plus loin de √2 que 17/12. Tronquer une fraction continue ne donne pas simplement une bonne fraction. Cela fournit la meilleure fraction disponible à cette taille, et cette page préfère vous montrer la recherche plutôt que de nommer le théorème. Cliquez sur La surprise 355/113 et le même balayage parcourt tous les dénominateurs jusqu'à 112. La meilleure d'entre elles est 333/106, qui se trouve 312 fois plus éloignée.

Un grand terme indique une fraction précédente déjà excellente 🖖

Le développement de π est [3 ; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …] : c’est le 292 qui mérite votre attention. Un terme élevé indique que le reste était alors presque nul, autrement dit que la fraction déjà obtenue était presque exacte. Ainsi, 355/113, la réduite qui précède immédiatement ce terme, donne sept chiffres significatifs avec trois chiffres au dénominateur, tandis que 22/7, seulement suivi de 15, n’en donne que trois. C’est la taille du terme suivant qui mesure la qualité de la fraction que vous avez en main. Voilà pourquoi 355/113 méritait d’être découverte en Chine au cinquième siècle et reste aujourd’hui la fraction de référence.

Le nombre d'or est le plus difficile à approcher, et c'est une mesure 🖖

Multipliez chaque erreur par le carré de son dénominateur et les fractions de différentes tailles deviennent comparables. Faites-le pour √2 et la colonne se stabilise à 0,354. Faites-le pour φ et elle se fixe à 0,447. Ce nombre correspond à 1/√5, valeur au-dessus de laquelle aucun irrationnel ne peut se maintenir indéfiniment. φ est le nombre qui s'appuie le plus fortement contre ce plafond. La raison se trouve dans son développement. Chaque terme vaut 1, le plus petit qu'un terme puisse être, de sorte que chaque réduite constitue la plus faible amélioration possible par rapport à la précédente. Qualifier φ de nombre le plus irrationnel ressemble à une figure de style. Il s'agit en réalité d'une mesure, et c'est dans cette colonne qu'elle réside.

Problème entièrement résolu

Montrer que 355/113 est la fraction la plus proche de π avec un dénominateur inférieur à 1 000 7 étapes
Montrez que 355/113 est la fraction la plus proche de π avec un dénominateur inférieur à 1 000, et découvrez jusqu'où son règne s'étend réellement.
1. Calculez d'abord le développement. π = [3; 7, 15, 1, 292, …], les réduites sont donc 3, puis 22/7, ensuite 333/106, et enfin 355/113.
  
  $π = [3; 7, 15, 1, 292, \dots]$
2. Chaque réduite provient des deux précédentes. Multipliez par le nouveau terme et ajoutez celui qui précède. Rien dans cette étape ne nécessite π lui-même, seulement ses termes.
  
  $\frac{p _{n}}{q _{n}} = \frac{a _{n} p _{n - 1} + p _{n - 2}}{a _{n} q _{n - 1} + q _{n - 2}}$
3. 355/113 vaut 3,1415929204, contre 3,1415926536 pour π. L’erreur est de 2,7 × 10⁻⁷ : sept chiffres significatifs avec trois chiffres au numérateur comme au dénominateur.
  
  $\frac{355}{113} = 3.1415929204 \dots, π = 3.1415926536 \dots$
4. Passez maintenant à la recherche. Prenez chaque dénominateur de 1 à 112, choisissez le numérateur le plus proche pour chacun, et conservez le résultat le plus précis. Le vainqueur est 333/106, avec un écart de 8,3 × 10⁻⁵, soit 312 fois plus loin que 355/113.
  
  $q \leq 112 min π - \frac{p}{q} = π - \frac{333}{106} \approx 8.3 \times 1 0^{- 5}$
5. Élargissez la recherche jusqu'à 1 000 et rien de nouveau n'apparaît. 355/113 reste la fraction la plus proche.
6. Alors jusqu'où tient-elle ? En cherchant plus haut, la première fraction qui la bat est 52163/16604. Cela signifie que 355/113 est la fraction la plus proche de π pour tous les dénominateurs jusqu'à 16 603.
  
  $\frac{52163}{16604} first beats it : q \times 147, error - 0.2%$
7. Et regardez ce que cette victoire apporte. 52163/16604 possède un dénominateur 147 fois plus grand et réduit l'erreur de 0,2 %. C'est la configuration même de tout ce sujet. Les bonnes fractions sont infiniment meilleures que leurs voisines, et la véritable amélioration suivante se trouve beaucoup plus loin.
Réponse

355/113, avec un écart de 2,7 × 10⁻⁷, et la fraction la plus proche de π pour tout dénominateur jusqu'à 16 603. L'endroit où cela s'arrête est la partie qu'il faut connaître. √2 aligne 2, 2, 2, … pour toujours et e déroule 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …, les deux motifs peuvent donc être énoncés et démontrés. Personne ne connaît de motif dans les termes de π. Personne ne sait s'ils restent bornés, ou si un terme immense attend plus loin en apportant avec lui une fraction bien meilleure que 355/113. Le 292 ne s'explique par rien. C'est simplement le comportement de π.

Parcours

Écrire un nombre

Mène à Arrondi la meilleure fraction d'une taille donnée, cherchée et non affirmée.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

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Exemples de problèmes

√2 en quatre termes - √2 s'écrit [1; 2, 2, 2, …], et s'arrêter après quatre termes donne 17/12. Toute fraction dont le dénominateur est inférieur à 12 s'en éloigne davantage. La plus proche d'entre elles, 7/5, est 5,8 fois plus distante.
La surprise 355/113 - 355/113 coïncide avec π sur sept chiffres significatifs, avec trois chiffres au numérateur comme au dénominateur. La fraction la plus proche dont le dénominateur est inférieur, 333/106, est 312 fois plus éloignée.
Le plus dur à approcher - Le développement de φ est [1 ; 1, 1, 1, …]. Tous ses termes ayant la plus petite valeur possible, φ est précisément le nombre le plus difficile à approcher par des rationnels. q² × erreur se stabilise à 0,447, soit 1/√5, la valeur limite la plus élevée possible pour un irrationnel.
e suit un motif - e s'écrit [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …]. Le motif formé de 1, 1 et d'un nombre pair se poursuit à l'infini. Un développement qui ne se termine jamais est la définition même d'un irrationnel. Ce motif constitue donc en soi la preuve que e n'est pas une fraction.