Labo des pavages réguliers

Tout sur cette page découle d’une unique comparaison. Un p-gone régulier a des coins de 180(p−2)/p degrés ; mettez-en q autour d’un point et vous obtenez q·180(p−2)/p. Si c’est moins que 360°, le coin a du jeu et doit se plier ; si c’est exactement 360°, il reste plat ; si c’est davantage, on ne peut pas le construire avec des pièces planes. Réécrits, ces trois cas sont (p−2)(q−2) inférieur, égal ou supérieur à 4 — et le premier a exactement cinq solutions entières, le second exactement trois. Ce n’est pas une reformulation moderne : c’est la remarque par laquelle Euclide clôt les Éléments XIII, écartant un sixième solide au motif que six triangles à un coin « feraient quatre angles droits » et resteraient donc plats.

Un cube est plat partout, sauf en huit points. Traversez une face, rien ne se courbe ; faites le tour d’un sommet et vous trouvez 270° là où une surface plate vous aurait donné 360°. Les 90° manquants sont la courbure, et elle n’a nulle part ailleurs où être. Additionnez : 8 × 90° = 720°. Faites de même pour l’icosaèdre, cela donne 12 × 60° = 720°. Pour le dodécaèdre, 20 × 36° = 720°. Le total ne bouge jamais, pour aucun polyèdre convexe, régulier ou non — Descartes l’avait remarqué vers 1630. Ce sont les mêmes 720° = 2 × 360° que compte la formule d’Euler S − A + F = 2, et c’est le théorème de Gauss-Bonnet vu dans Pythagore : là, l’excès angulaire d’un triangle valait courbure × aire répartie continûment sur la surface ; ici c’est la même quantité concentrée en des points.

Les cinq solides ont attiré plus de théorie qu’ils n’en peuvent porter. Kepler, dans Mysterium Cosmographicum (1596), les a emboîtés les uns dans les autres pour fixer l’espacement des six planètes connues — belle idée, et fausse ; il a passé le reste de sa carrière à la remplacer par les orbites qui, elles, fonctionnent. Le cas hyperbolique a dû attendre qu’il existe un plan hyperbolique où le dessiner. Coxeter en a publié une figure dans les années 1950, Escher l’a vue et lui a demandé comment elle était faite ; la réponse a donné les quatre estampes Circle Limit, où les tuiles rétrécissent vers le bord non parce qu’elles deviennent petites, mais parce que le disque est la carte d’une surface infinie. Mettez 7 côtés et 3 par coin : vous regardez la même construction.

Un ballon de football n’est pas un choix de design. Prenez n’importe quelle cage fermée dont les faces sont des pentagones et des hexagones et où exactement trois se rejoignent à chaque coin, puis comptez les pentagones : il y en a douze. Toujours — quelle que soit la taille, quel que soit le nombre d’hexagones. Trois faces par coin donnent 3S = 2A, et S − A + F = 2 se réduit alors à douze pentagones, le nombre d’hexagones s’éliminant complètement. Voilà ce que veut dire lire quelque chose sur une forme sans la mesurer. Un ballon a 12 pentagones et 20 hexagones ; le buckminsterfullerène C₆₀ a 12 pentagones et 20 hexagones ; un dôme géodésique de la taille d’un bâtiment a encore exactement 12 pentagones cachés parmi ses hexagones. La raison, ce sont les 720° de cette page. Trois hexagones à un coin font exactement 360° : ils sont plats et n’apportent rien — chaque degré des 720° doit être porté par un pentagone, et à 60° pièce il en faut douze. C’est aussi pourquoi tant de virus construisent des capsides icosaédriques : un contenant fermé assemblé à partir d’une seule protéine répétée a très peu d’options, et Caspar et Klug ont établi lesquelles en 1962.

Le cas plat n’est pas seulement possible, il est optimal. De toutes les façons de découper une surface en régions de même aire, le pavage hexagonal est celui dont le périmètre total est le plus petit — conjecturé pendant deux mille ans et démontré par Thomas Hales en 2001. Une alvéole est un résultat d’économie de cire, pas d’esthétique. Le cas hyperbolique gagne sa place par la croissance qu’on voit dans le disque : chaque anneau contient plus de tuiles que le précédent. Un arbre se ramifie de la même manière, et un arbre ne se dessine pas dans le plan sans tasser ses branches extérieures, car le plan n’offre qu’une aire proportionnelle à r². L’espace hyperbolique en offre exponentiellement plus : hiérarchies et réseaux sans échelle y tiennent au large, et c’est pourquoi les plongements hyperboliques sont aujourd’hui une manière courante de les modéliser et de les tracer. Et on peut en tenir une : la laitue, le chou frisé et le corail gondolent parce que le bord en croissance gagne de la longueur plus vite que la surface derrière lui ne gagne de l’aire, et une surface au périmètre trop grand pour le plan n’a d’autre choix que d’onduler.