Fractions décimales périodiques

Tapez une fraction, puis changez la base. En base 10, 1/3 tourne à l'infini et 1/5 s'arrête. En base 12, ils échangent leurs rôles. La règle mathématique derrière cela est exacte. C'est une question de facteurs premiers.

Exemple résolu — Fractions décimales périodiques

Chiffres répétés	1
Chiffres avant la période	0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Un tiers est propre en base douze 🖖

Appuyez sur 1/3 en base 10, puis sur 1/3 en base 12. C’est la même fraction. Dans la première base, son écriture se poursuit indéfiniment ; dans l’autre, elle vaut 0,4 et s’arrête là. Appuyez sur 1/5 en base 12 : les rôles s’inversent. Le caractère « net » d’une fraction ne tient donc pas à la fraction elle-même. Lorsque p/q est irréductible, son écriture en base b est finie si et seulement si chaque facteur premier de q divise également b. Comme 10 = 2 × 5, seuls peuvent donner une écriture finie les dénominateurs formés de facteurs 2 et 5 : demis, quarts, cinquièmes, huitièmes, dixièmes, vingtièmes, ainsi que tous ceux construits à partir de ces deux nombres premiers. Vous connaissez déjà cette liste. C’est celle que l’on vous a fait apprendre par cœur.

Deux nombres premiers, deux rôles différents 🖖

Un sixième vaut 0,1666… : un chiffre qui ne revient jamais, puis un 6 à l'infini. Six vaut 2 × 3, et les deux nombres premiers accomplissent des tâches différentes. Le 2 divise dix et vous donne la partie initiale. Le 3 ne le divise pas, et vous donne la période. Essayez maintenant 7/12. La partie initiale compte deux chiffres, car douze contient deux 2 et la division nécessite deux étapes pour les épuiser. La partie initiale n'a donc pas la longueur du nombre de facteurs premiers partagés ; elle dure le temps nécessaire pour les épuiser. En base 10, cela donne trois chiffres pour 1/8. En base 12, cela en donne deux.

Pourquoi 1/7 répète en boucle les six mêmes chiffres 🖖

La division par 7 ne peut produire que six restes non nuls. Au bout de six étapes, l’un d’eux doit nécessairement réapparaître ; dès lors, les chiffres se répètent. Voilà ce que représente l’anneau ci-dessus : tous les restes que la division peut rencontrer, sachant que la période ne peut jamais dépasser q − 1. Les septièmes occupent tout l’anneau : le parcours visite les six restes avant de revenir à son point de départ. C’est de là que 142857 tire son étonnante propriété. Essayez 1/13 : cette fois, la moitié de l’anneau reste vide, soit six restes sur douze, et l’on obtient 076923. Comme la division suit les mêmes restes, partir de 2 au lieu de 1 revient simplement à entrer plus loin dans la boucle. 2/7 = 0,285714. 3/7 = 0,428571. Ce sont les mêmes six chiffres, décalés. Parmi les nombres premiers admissibles inférieurs à 100, neuf sur vingt-trois ont cette propriété en base 10 : 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 et 97. Il y en a huit en base 12, mais seuls 7 et 17 figurent dans les deux listes.

Problèmes entièrement résolus

Le nombre de chiffres pour lequel 1/13 se répète 7 étapes
Combien de chiffres composent la période de 1/13 ? Vous pouvez répondre avant même de diviser quoi que ce soit.
1. Se répète-t-elle seulement ? Treize est premier et ne divise pas dix, il ne partage donc aucun facteur avec la base. Rien ne se simplifie, il n'y a donc pas de partie initiale et la période commence dès le premier chiffre.
  
  $13 ∤ 10, 10 = 2 \times 5$
2. La longueur est la plus petite puissance de dix qui laisse un reste de 1. Parcourez les puissances de dix modulo 13 et arrêtez-vous dès que vous l'atteignez.
  
  $1 0^{1} \equiv 10, 1 0^{2} \equiv 9, 1 0^{3} \equiv 12, 1 0^{4} \equiv 3, 1 0^{5} \equiv 4, 1 0^{6} \equiv 1 (mod 13)$
3. Six. Le cycle est long de six chiffres et nous n'avons rien divisé. Posez maintenant la division. Observez ces six mêmes nombres revenir sous forme de restes.
  
  $k = 6$
4. Ce sont les mêmes nombres dans le même ordre, car c'est exactement ce qu'ils sont : le reste après k étapes est 10 puissance k, modulo 13. Les chiffres posés au-dessus constituent la réponse.
  
  $\frac{1}{13} = 0. \overline{076923}$
5. La vieille méthode de vérification fonctionne toujours. Un bloc périodique pur de longueur six, multiplié par son dénominateur, donne six 9.
  
  $076923 \times 13 = 999999$
6. Treize disposait de douze restes et en a utilisé six. Mais pas n’importe lesquels. Pour un nombre premier q, la période divise toujours q − 1 ; les seules valeurs possibles pour 13 étaient donc 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
  
  $k ∣ q - 1 : 6 ∣ 12, 12 = 13 - 1$
7. Savoir sur lequel de ces diviseurs un nombre premier va tomber est la limite de cet outil, et d'ailleurs de tout le monde. Neuf des vingt-trois nombres premiers éligibles inférieurs à 100 atteignent la valeur maximale q − 1 en base 10, soit environ 39 %, une valeur proche de la constante 0,3739 conjecturée par Artin en 1927. Cela reste une conjecture. Personne n'a même réussi à prouver qu'une infinité de nombres premiers possèdent 10 comme racine primitive.
  
  $\frac{9}{23} \approx 39% vs A \approx 0.3739558$
Réponse

Six chiffres : 1/13 = 0,076923 périodique. Lisez les puissances de dix avant qu'aucune division n'ait lieu. 13 n'atteint pas le maximum, car 6 n'est que la moitié de 12.
Pourquoi un cinquième s'arrête en base dix et ne finit jamais en base douze 6 étapes
Chargez 1/5 en base 12 et cherchez la longueur de la période. Décidez ensuite si un monde qui compterait par douzaines s'en tirerait mieux ou moins bien dans l'arithmétique ordinaire.
1. En base dix, un cinquième est la fraction la plus facile qui soit : 0,2, terminée en un seul chiffre. Douze vaut 2 × 2 × 3 et ne contient aucun cinq, rien ne se simplifie donc et la division posée ne peut jamais épuiser son reste. La carte de verdict bascule sur Se répète à l'infini et la partie initiale affiche 0. Il n'y a pas de partie finie à traverser d'abord : le cycle commence dès le tout premier chiffre.
  
  $5 ∤ 12 = 2^{2} \times 3 ⟹ repeats; 5 ∣ 10 = 2 \times 5 ⟹ \frac{1}{5} = 0.2$
2. La longueur est la plus petite puissance de douze qui laisse un reste de 1 dans la division par 5. Douze dépasse de deux un multiple de cinq : vous pouvez donc parcourir les puissances de deux à la place, ce qui va plus vite : 2, 4, 3, 1.
  
  $12 \equiv 2 (mod 5) : 2, 4, 3, 1 ⟹ k = ord_{5} (12) = 4$
3. Quatre étapes, et quatre vaut q − 1. Un cinquième ne peut pas se répéter plus longtemps, car la division posée ne dispose que de quatre restes non nuls et ce parcours les visite tous. Le badge qui apparaît est celui que 1/7 mérite en base dix.
  
  $k = 4 = q - 1 ⟹ full reptend; \frac{1}{5} = 0. \overline{2497}_{12}$
4. La preuve par neuf survit au déménagement. Un cycle pur multiplié par son dénominateur remplit toutes les positions du cycle : 2497 en base douze vaut 4 147, cinq fois ce nombre font 20 735, et 20 735 vaut 12⁴ − 1, que la base douze écrit bbbb. Quatre onze là où la base dix donnerait quatre neuf.
  
  $249 7_{12} = 4147, 4147 \times 5 = 20, 735 = 1 2^{4} - 1 = bbbb_{12}$
5. Passons maintenant au marché, compté plutôt que débattu. Prenez les dénominateurs de 2 à 12 et demandez lesquels s'arrêtent. Le binaire et l'hexadécimal en réussissent trois, puisque leur seul nombre premier est 2. C'est la raison pour laquelle 0,1 n'a pas d'écriture binaire exacte, et la raison pour laquelle l'argent ne se compte pas en virgule flottante. La base dix en réussit cinq. La base douze en réussit sept : elle achète les tiers, les sixièmes, les neuvièmes et les douzièmes, et les paie avec les cinquièmes et les dixièmes.
  
  $q \in {2, \dots, 12} that terminate : b = 2, 16 : 3; b = 10 : 5; b = 12 : 7$
6. La règle tranche aussi le cas d'une base que l'outil ne propose pas. Soixante porte les trois petits nombres premiers : tout ce qui va de 2 à 12 s'arrête, sauf les septièmes et les onzièmes, soit neuf sur onze. Rien n'a besoin d'être exécuté pour le voir. Il suffit des facteurs premiers de soixante, pas davantage.
  
  $b = 60 = 2^{2} \times 3 \times 5 : all but 7 and 11 ⟹ 9 of 11$
Réponse

Quatre chiffres, 0,2497 périodique, et c'est le plus long cycle qu'un cinquième puisse avoir. La base douze gagne le décompte sept à cinq, et elle gagne les divisions que les gens font réellement : un tiers d'heure, un sixième de cercle, un quart de livre. Ce qu'elle abandonne, ce sont les cinquièmes et les dixièmes, et ceux-là comptent surtout parce que nous comptons déjà par dizaines. Un cinquième paraît fondamental parce qu'il fait 20 %, et les pourcentages sont une habitude décimale, pas une propriété des cinquièmes.

La limite honnête, c'est qu'aucune base ne sauve les septièmes, et un septième se présente dans la vie ordinaire à peu près aussi souvent qu'un cinquième. Quelle que soit la base choisie, une division quotidienne finit en lambeaux, et c'est pourquoi compter les gagnants ne règle rien. Le seul endroit où un choix a été fait et tenu, c'est le soixante de Babylone. Quatre mille ans plus tard, c'est encore ainsi que vous lisez une horloge et encore ainsi qu'on divise un cercle.

$\frac{p}{q} terminates in base b ⟺ rad (q) ∣ rad (b)$

Parcours

Écrire un nombre

Mène à Approximation rationnelle un nombre que vous ne finirez jamais d'écrire.

Références (3)

The rule the tool implements: when a fraction terminates, and the period as the order of the base Hardy, G. H. and Wright, E. M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press — Chapter IX, Decimals.
Artin's constant 0.3739558, the density the worked problem compares 9 of 23 against Wrench, J. W. (1961). Evaluation of Artin's Constant and the Twin-Prime Constant. Mathematics of Computation, 15(76), 396–398. doi:10.1090/S0025-5718-1961-0124305-0
Why the worked problem ends by saying nobody has proved it Heath-Brown, D. R. (1986). Artin's Conjecture for Primitive Roots. The Quarterly Journal of Mathematics, 37(1), 27–38. doi:10.1093/qmath/37.1.27

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Mathématiques →

Exemples de problèmes

1/3 en base 10 - Un tiers se répète dès le premier chiffre : 0 chiffre avant la période, puis un cycle de 1. Dix vaut 2 × 5, et 3 ne divise ni l'un ni l'autre.
1/3 en base 12 - La même fraction en base 12 vaut 0,4 et s'arrête. Le nombre un tiers n'a pas changé. Douze vaut 2 × 2 × 3, le 3 s'élimine donc de lui-même.
1/5 en base 12 - Un cinquième fait l'inverse. Il s'arrête en base 10 ; ici il se répète, avec un cycle de 4. C'est le plus long cycle qu'un cinquième puisse atteindre.
1/6 — les deux à la fois - Un sixième fait les deux. Six vaut 2 × 3 : le 2 divise dix et donne 1 chiffre qui ne se répète jamais, puis le 3 prend le relais avec un cycle de 1.
1/7 — la plus célèbre - Un cycle de 6 pour un dénominateur de 7, c'est la longueur maximale possible. La division posée n'a que 6 restes non nuls à visiter avant de retomber sur ses pas.
1/17 — seize chiffres - Seize chiffres, et de nouveau le maximum. Le parcours ci-dessous visite les 16 restes disponibles avant de revenir à son point de départ.