Outil de sommation sigma

Choisissez une expression, définissez les bornes et observez comment le total cumulé évolue terme par terme.

Exemple résolu — Outil de sommation sigma

Somme finie	55
Nombre de termes	10

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Outil de sommation sigma

La notation sigma est une écriture compacte pour exprimer une somme. ∑ indique : prenez l'expression située à sa droite, faites varier l'indice sur chaque nombre entier de la borne inférieure jusqu'à la borne supérieure — bornes incluses — et additionnez les résultats obtenus.

Les quatre parties d'une expression sigma : le symbole de sommation, avec la borne supérieure écrite au-dessus, l'indice et la borne inférieure en dessous, suivis du terme à additionner.

Le symbole de sommation. Il ne possède aucune valeur — il indique d'effectuer une addition.
La borne supérieure n, au-dessus du sigma : la dernière valeur de l'indice, incluse.
L'indice et sa borne inférieure, k = m, sous le sigma : là où commence le comptage, également incluse.
Le terme f(k), à droite : évalué une fois pour chaque valeur de l'indice, et ce sont ses résultats qui sont additionnés.

Ce que signifie chaque symbole

k: l'indice — un compteur qui prend successivement chaque valeur entière. Mathématiquement, son nom est muet au sein de la somme, de sorte que i ou j signifieraient exactement la même chose ; ici, c'est toujours k, et la colonne du tableau ci-dessus est intitulée Index (k).
m: la borne inférieure, écrite sous le sigma sous la forme k = m. C'est la première valeur de l'indice, et elle est incluse — il s'agit du champ de ci-dessus.
n: la borne supérieure, écrite au-dessus du sigma. La dernière valeur que prend l'indice, également incluse, ce qui explique pourquoi aller de 1 à 10 donne dix termes au lieu de neuf. Il s'agit du champ à ci-dessus.
f(k): le terme — l'expression évaluée une fois pour chaque valeur de l'indice. Ici, il est choisi parmi cinq propositions : k, k^2, 2k+1, 1/k et (-1)^k.

D’où vient la formule

Puisque les deux bornes sont incluses, le nombre de termes n'est pas n − m. Écrivez les valeurs de l'indice : m, m + 1, et ainsi de suite jusqu'à n.
Soustrayez m de chaque élément pour que la liste commence à zéro : 0, 1, … , n − m. Le changement d'étiquettes modifie le nom des éléments, pas leur nombre.
Une liste allant de 0 à n − m contient n − m + 1 éléments. Ainsi, aller de 1 à 10 donne dix termes et de 0 à 12 en donne treize — c'est ce qu'indique le Nombre de termes ci-dessus dans chaque cas.

Suppose: Des valeurs d'indice entières, progressant pas à pas, et en nombre fini : les deux bornes sont arrondies à des entiers et restreintes à l'intervalle −30 à 30 pour éviter que la page ne se bloque. Le terme est choisi parmi cinq prédéfinitions plutôt que saisi au clavier, ce qui en fait un démonstrateur de la notation plutôt qu'une calculatrice de sommation générale.
Ne tient plus quand: Choisissez 1/k et faites démarrer l'indice à 0 : le premier terme n'est pas défini. Il n'est pas ignoré silencieusement — le calcul s'arrête là : le résultat indique undefined, le Nombre de termes tombe à 1, et le tableau de décomposition s'arrête à cette unique ligne. Le développement écrit affiche toujours undef + 1/1 + 1/2 + ⋯, ce qui reflète exactement la réalité — un seul terme non défini rend l'ensemble de la somme non définie, quel que soit le nombre de termes réguliers qui le suivent.

Dans le préréglage des nombres impairs, chaque total cumulé est un carré parfait 🖖

Chargez le préréglage 2k+1 et lisez la colonne cumulée de haut en bas : 1, 4, 9, 16, 25 — cela ne cesse jamais d’être un carré, et cela finit sur 169, soit 13². Ce n’est pas un hasard dû à ces bornes. La somme des n premiers nombres impairs vaut toujours exactement n², donc le total cumulé que l’outil affiche après chaque étape est le nombre de termes déjà additionnés, au carré. Les sommes partielles font de la géométrie : chaque impair est la bande en L qui transforme un carré en le suivant.

Une écriture abrégée pour additionner 🖖

Le grand Σ n'est qu'une consigne : additionnez chaque terme tandis que l'indice monte de la borne inférieure à la borne supérieure. Cet outil fait l'addition à votre place et, tout aussi utile, affiche le total courant après chaque étape — les sommes partielles. Le résultat final n'est rien d'autre que la dernière somme partielle de cette trajectoire.

Quand n'additionner rien donne zéro 🖖

Une somme vide — c'est-à-dire sans aucun terme, car la borne supérieure est inférieure à la borne inférieure — n'est pas non définie. Par convention, elle est égale à 0 : zéro étant l'élément neutre de l'addition, un total vide ne modifie pas la valeur à laquelle il s'ajoute. Son pendant multiplicatif est tout aussi surprenant, un produit vide valant 1. Vous ne pouvez toutefois pas en créer ici, et c'est bon à savoir : si vous définissez une borne supérieure inférieure à la borne inférieure, les deux sont permutées silencieusement, ainsi k = 5 descendant jusqu'à 2 devient k = 2 montant jusqu'à 5 et renvoie 14.

Euler l'a posée par écrit, et vous cliquez déjà dessus 🖖

Ce symbole est dû à Euler. Dans Institutiones calculi differentialis (1755), il a établi qu'une somme serait représentée par le signe Σ — le sigma majuscule grec, initiale de summa — et cette notation s'est imposée, ce qui est rare en mathématiques : la plupart des propositions de cette époque ont été remplacées. Elle a depuis longtemps dépassé le cadre strictly mathématique. Le bouton Somme automatique dans tous les grands tableurs est ce même Σ, ainsi des personnes qui ne se diraient jamais mathématiciennes utilisent la notation d'Euler presque tous les jours ouvrés. Une mise en garde toutefois, car les deux semblent liés alors qu'ils ne le sont pas : le Σ majuscule est une instruction, additionnez ces termes, tandis que le σ minuscule désigne l'écart type d'une distribution. C'est le minuscule qui est utilisé dans “Six Sigma”.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

Le préréglage nombres impairs somme 2k+1 de k = 0 à 12 et annonce 169 sur 13 termes. Les autres préréglages affichent une forme close sous leur total ; celui-ci n’en affiche aucune. Trouvez le motif vous-même — fixez la borne supérieure à 4, puis 9, puis 19.

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25, 100 et 400, sur 5, 10 et 20 termes. La somme des n premiers nombres impairs vaut exactement n², à chaque fois, et 169 est 13². Imaginez un carré bâti en couches en forme de L : un point, puis un L de trois points autour, puis un L de cinq points autour — après n couches vous tenez un carré n × n, et chaque couche ajoutée était le nombre impair suivant. L’outil connaît les formes closes de k et k² et les affiche ; celle-ci, il ne la reconnaît pas, donc vous n’obtenez que le total.
Le préréglage harmonique somme 1/k de 1 à 8 et obtient 2.717857, avec une note disant que les sommes partielles ne convergent vers aucune limite finie. Devinez jusqu’où doit aller la borne supérieure pour que la somme dépasse 5 — puis vérifiez.

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83. Le terme 82 la laisse à 4.990020 et le terme 83 la fait basculer à 5.002068. Atteindre 6 demande 227 termes, et 226 s’arrête à 5.999961 — quatre millionièmes trop bas. Remarquez que 227 ÷ 83 = 2.73, soit presque exactement e : les sommes partielles suivent ln n, donc chaque pas supplémentaire de +1 coûte environ e ≈ 2.718 fois plus de termes que tout ce qui précède. Franchir 10 demande 12367 termes ; l’outil le fera si vous le lui demandez. Voilà à quoi ressemble « ne converge pas » vu de l’intérieur — ça ne cesse jamais de monter, mais ça ralentit géométriquement, et c’est pourquoi huit termes ne vous ont mené qu’à 2.7.

Problème entièrement résolu

La somme des carrés que l'appariement de 1 à 10 ne peut pas atteindre 6 étapes
Faites la somme de 1 à 10 par appariement plutôt que par addition, puis utilisez la même astuce pour obtenir la somme des carrés — ce que l'appariement ne permet pas d'atteindre.
1. Écrivez la somme. Dix termes, c'est suffisamment peu pour les ajouter directement, ce qui est précisément la raison pour laquelle c'est la mauvaise approche.
  
  $S = k = 1 \sum 10 k = 1 + 2 + \dots + 10$
2. Ajoutez la somme à son propre inverse. Chaque colonne donne le même total, et il y en a n — ainsi, la somme doublée forme un rectangle.
  
  $2 S = (1 + 10) + (2 + 9) + \dots + (10 + 1) = 10 \times 11 ⟹ S = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$
3. Le résultat général. Remarquez que l'argument double la somme au lieu de la plier en deux, c'est pourquoi il n'a pas besoin de cas séparé pour n impair — contrairement à la version qui apparie les termes aux deux extrémités.
  
  $k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2} — the pairing needs no case split, because it doubles the sum rather than folding it$
4. Passons aux carrés. Partez d'une différence de cubes consécutifs, qui se développe en quelque chose contenant k².
  
  $(k + 1)^{3} - k^{3} = 3 k^{2} + 3 k + 1 ⟹ k = 1 \sum n [(k + 1)^{3} - k^{3}] = (n + 1)^{3} - 1$
5. Faites la somme des deux côtés. Le membre de gauche se réduit par télescopage à un seul terme ; le membre de droite contient la somme recherchée plus la somme que vous avez déjà.
  
  $(n + 1)^{3} - 1 = 3 \sum k^{2} + 3 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + n ⟹ k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = 385$
6. Une puissance de plus et le schéma se referme sur lui-même.
  
  $k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2} = 5 5^{2} = 3025$
Réponse

55, puis 385, puis 3025 — et le troisième est le carré du premier. L'argument par appariement est célèbre et c'est aussi une impasse : il fonctionne parce que les termes sont linéaires, et il n'y a aucun moyen de regrouper des carrés en paires égales. Ce qui le remplace, c'est le télescopage. Écrivez une différence de cubes consécutifs, faites-en la somme, et presque tout s'annule ; la somme des carrés surgit des décombres. Le même mécanisme appliqué une puissance plus haut donne la somme des cubes, et aboutit à 55² — la somme des n premiers cubes est le carré de la somme des n premiers nombres, pour tout n. Ce n'est pas une coïncidence que l'on peut voir en observant les nombres, et c'est pourquoi le télescopage vaut la peine d'être appris même si l'appariement permet d'obtenir la première réponse plus rapidement.

$k = 1 \sum 10 k = 55, \sum k^{2} = 385, \sum k^{3} = 5 5^{2} = 3025$

Références (3)

Where the Σ sign comes from — Euler’s own text: L. Euler, Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, vol. 1. Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae, 1755 (E212).
And the history of the notation itself: Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Volume II. The Open Court Publishing Company, 1929.
The conventions this page relies on — inclusive limits, index changes, and why an empty sum is 0: R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik, Concrete Mathematics, 2nd ed., chapter 2 (“Sums”). Addison-Wesley, 1994. ISBN 978-0-201-55802-9.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-21

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Exemples de problèmes

nombres naturels - Somme classique des dix premiers nombres entiers naturels.
carrés - Somme finie de carrés dont les termes croissent rapidement.
expression linéaire - Accumulation de termes linéaires suivant un motif de nombres impairs.
somme partielle harmonique - La somme harmonique partielle illustre une croissance logarithmique lente.