Visualiseur de champ électrique

Place des charges et regarde les lignes de champ électrique et les équipotentielles se former en temps réel.

Valeurs de départ — Visualiseur de champ électrique

Charges (q,x,y; ...)	1,0,0
Lignes de champ	on
Équipotentielles	off

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

Chargement de la simulation interactive...

Certains chemins dans ce champ sont entièrement gratuits 🖖

Activez les équipotentielles et l'image gagne une seconde famille de courbes. Faire glisser une charge le long de l'un de ces anneaux coûte exactement zéro travail — pas un peu, zéro — quelle que soit la distance parcourue, car tous les points de l'anneau sont au même potentiel. C'est ce qui rend le champ conservatif, et la conséquence est plus tranchante encore : promenez une charge sur n'importe quelle boucle fermée, aussi tortueuse soit-elle, et le travail total revient à zéro. Remarquez aussi que les lignes de champ et les équipotentielles se coupent toujours à angle droit, partout, sur chaque préréglage. Ce n'est pas décoratif. Le champ indique la direction où le potentiel chute le plus vite, et la direction de plus forte pente est toujours perpendiculaire à la ligne de niveau où l'on se trouve.

Rendre visible une poussée invisible 🖖

Cet outil transforme en image quelque chose d'invisible : l'influence électrique autour d'une charge. Chaque ligne trace le chemin qu'emprunterait une minuscule charge d'essai positive : en s'éloignant des charges positives et en se rapprochant des négatives. Le réflexe le plus utile est d'observer la densité. Là où les lignes se resserrent, le champ est fort ; là où elles s'écartent, il est faible. La densité, c'est la force mise en dessin.

Pourquoi on ne peut pas piéger une charge en l'air 🖖

Placez deux charges de même signe et un point neutre apparaît entre elles, où le champ est exactement nul. Il ressemble à un point de repos, mais c'est un point col, pas une cuvette : une petite poussée et la charge d'essai s'échappe. Le théorème d'Earnshaw (1842) prouve qu'aucune configuration fixe de charges ne peut maintenir une autre charge en équilibre statique stable. Les mêmes mathématiques interdisent de faire léviter un aimant avec de seuls aimants — il faut toujours rotation, diamagnétisme ou contrôle actif.

Problèmes entièrement résolus

La configuration dipolaire avec deux charges distantes de 4 unités 6 étapes
Deux charges de même valeur et de signes opposés sont distantes de 4 unités. Déterminez le champ et le potentiel au point milieu entre elles, puis étudiez le comportement du champ à grande distance. Il s'agit de la configuration Dipôle : q₁ = +1 en (-2, 0), q₂ = -1 en (+2, 0), la sonde se trouvant à l'origine.
1. Le principe de superposition constitue l'ensemble de l'électrostatique : chaque charge crée son champ comme si l'autre n'existait pas, et l'on additionne les vecteurs. Le vecteur pertinent pointe de la charge vers la sonde, ce qui permet au signe de q de déterminer si le champ s'éloigne de la charge ou se dirige vers elle.
  
  $E (p) = i \sum q_{i} \frac{p - x _{i}}{∣ p - x _{i} ∣ ^{3}}, p = (0, 0)$
2. La charge positive se trouve 2 unités vers la gauche, ainsi son vecteur vers la sonde pointe de 2 unités vers la droite, et le cube de 2 au dénominateur donne 0,250. Charge positive, champ sortant : cette contribution pointe vers la droite.
  
  $q_{1} = + 1, x_{1} = (- 2, 0) : r_{1} = (2.000, 0.000), r_{1} = 2.000, E_{1} = \frac{+ 1 \cdot ( 2 , 0 )}{2 ^{3}} = (0.250, 0.000)$
3. La charge négative se trouve 2 unités vers la droite, son vecteur pointe donc vers la gauche — et q étant négatif, cela l'inverse à nouveau. Deux inversions, et la contribution pointe également vers la droite. Arrêtons-nous ici : les charges sont de part et d'autre de la sonde et portent des signes opposés, et ces deux oppositions s'annulent au lieu de se cumuler.
  
  $q_{2} = - 1, x_{2} = (2, 0) : r_{2} = (- 2.000, 0.000), r_{2} = 2.000, E_{2} = \frac{- 1 \cdot ( - 2 , 0 )}{2 ^{3}} = (0.250, 0.000)$
4. Ainsi, les deux contributions s'ajoutent bout à bout plutôt que de s'opposer, et la paire fournit 0,500 là où chaque charge seule fournirait 0,250.
  
  $E = E_{1} + E_{2} = (0.500, 0.000), ∣ E ∣ = 0.500$
5. Le potentiel produit l'effet inverse avec ces deux mêmes charges. V est un scalaire, il porte donc le signe de q et rien d'autre, et les deux distances sont égales — les termes sont +0,500 et -0,500 et le point milieu se trouve à V = 0. Champ et potentiel ne sont pas deux mesures d'une même grandeur : ici, l'un double et l'autre s'annule en ce même point.
  
  $V = i \sum \frac{q _{i}}{r _{i}} = \frac{+ 1}{2.000} + \frac{- 1}{2.000} = 0.500 - 0.500 = 0.000$
6. Quittons maintenant le point milieu. Plaçons la sonde à la hauteur y sur la médiatrice, où les deux charges sont à la même distance. Les composantes verticales s'annulent par symétrie et les composantes horizontales subsistent, donnant une unique formule pour toute la droite. Posez y = 0 dans cette formule, et elle doit reproduire la valeur déjà obtenue — c'est le cas, ce qui montre que cette formule traduit la même physique et non une nouvelle.
  
  $p = (0, y) : E_{y} = 0, E_{x} = \frac{2 q a}{( a ^{2} + y ^{2} ) ^{3/2}}, a = 2; y = 0 : \frac{4}{8} = 0.500$
Réponse

L'outil affiche |E| = 0,500 à l'origine, assemblé à partir de deux contributions de 0,250 qui pointent dans le même sens, et V = 0,000 en ce même point. L'étape 6 est celle à retenir. À grande distance, les deux champs en 1/r² s'annulent presque exactement, et ce qui subsiste est déterminé par la séparation et décroît en 1/y³ — soit une puissance entière de la distance plus vite qu'une charge isolée. Le rapport est 2a/y = 4/y, donc pour y = 20, cette paire rassemble un peu moins d'un cinquième de ce qu'une charge isolée de même grandeur y produirait. La raison est affichée une ligne au-dessus du champ : Q_total = 0,00. Le terme en 1/r² appartient à la charge totale, et lorsque celle-ci est nulle, la séparation est la seule chose que l'on ressent encore. Une paire neutre n'est pas invisible — elle est à courte portée, et ce sont deux choses différentes.

$y ≫ a : E_{x} \to \frac{2 q a}{y ^{3}} = \frac{4}{y ^{3}}, \frac{E _{x}}{q / y ^{2}} = \frac{2 a}{y} = \frac{4}{y}; y = 20 : 0.2$
Deux charges positives identiques distantes de 3 unités 5 étapes
Deux charges positives identiques, distantes de 3 unités. Déterminez le champ et le potentiel au point milieu, puis déterminez si une charge test positive libérée en ce point y resterait. Il s'agit de la configuration Deux + : q₁ = +1 en (-1,5, 0), q₂ = +1 en (+1,5, 0), la sonde se trouvant à l'origine.
1. Même sonde, même superposition, résultat opposé. Les deux charges se trouvent à 1,500 de l'origine et sont toutes deux positives, donc les deux contributions ont la même grandeur et pointent dans des directions exactement opposées. Elles s'annulent, et le champ au point milieu est 0.
  
  $E_{1} = \frac{( 1.500 , 0 )}{1. 5 ^{3}} = (0.444, 0.000), E_{2} = \frac{( - 1.500 , 0 )}{1. 5 ^{3}} = (- 0.444, 0.000) ⟹ ∣ E ∣ = 0.000$
2. Le potentiel ne peut pas s'annuler, car un scalaire n'a pas de direction dans laquelle s'annuler. Les deux termes valent +0,667 et V vaut 1,333. Un point où E = 0 mais V ≠ 0 n'est pas un paradoxe : E est la pente de V, et une pente nulle ne vous dit rien sur la hauteur.
  
  $V = \frac{1}{1.500} + \frac{1}{1.500} = 0.667 + 0.667 = 1.333$
3. Une pente nulle correspond au sommet d'une colline, à une vallée ou à un col de montagne, et un seul des trois retient une bille. Déplacez légèrement la charge test d'une distance x le long de la droite reliant les charges. La charge la plus proche pousse alors plus fort que la plus éloignée, la différence pointe à nouveau vers l'origine, et la raideur de rappel vaut 4q/a³ = 1,1852.
  
  $E_{x} (x, 0) = \frac{q}{( a + x ) ^{2}} - \frac{q}{( a - x ) ^{2}} = \frac{- 4 q a x}{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{2}} \approx - \frac{4 q}{a ^{3}} x = - 1.1852 x$
4. Déplacez-la plutôt perpendiculairement. Désormais, les deux charges sont derrière elle, toutes deux poussent dans le même sens, et elle continue d'avancer. Mêmes deux charges, même sonde, verdict opposé — et la raideur d'expulsion vaut 2q/a³ = 0,5926, exactement la moitié de la raideur de rappel.
  
  $E_{y} (0, y) = \frac{2 q y}{( a ^{2} + y ^{2} ) ^{3/2}} \approx + \frac{2 q}{a ^{3}} y = + 0.5926 y, E_{z} \approx + 0.5926 z$
5. Hors du plan, on retrouve le cas perpendiculaire, car deux points n'ont rien qui permette de distinguer une direction d'une autre autour de leur axe. Il y a donc trois raideurs, une négative et deux positives, et leur somme vaut zéro. Pas presque zéro.
Réponse

L'outil affiche |E| = 0,000 à partir de deux contributions de 0,444 qui s'annulent, et V = 1,333 à partir de deux contributions de 0,667 qui ne s'annulent pas. Le point d'annulation est un col, non une vallée : stable le long de la droite reliant les charges, instable transversalement. Cela n'a jamais dépendu du choix de l'emplacement des charges. Les trois raideurs sont les trois dérivées secondes de V, et leur somme est la divergence de E, qui est nulle en tout point dépourvu de charge — ainsi, chaque direction qui rappelle une charge test doit être payée par des directions qui la repoussent. Aucune disposition fixe de charges ne peut maintenir une autre charge immobile, quelle que soit son ingéniosité. C'est le théorème d'Earnshaw, et vous venez de l'obtenir à partir de trois nombres dont l'outil a affiché le point de départ. Tout ce qui piège réellement une particule chargée ne le fait donc pas par la seule électrostatique.

$\frac{\partial E _{x}}{\partial x} + \frac{\partial E _{y}}{\partial y} + \frac{\partial E _{z}}{\partial z} = - \frac{4 q}{a ^{3}} + \frac{2 q}{a ^{3}} + \frac{2 q}{a ^{3}} = - 1.1852 + 0.5926 + 0.5926 = 0$

Références (1)

Insight block 3 — why the null point between two like charges is a saddle and not a trap: S. Earnshaw, "On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminiferous ether." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 7, 97–112, 1842.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Physique →

Exemples de problèmes

Une charge + - Une charge à l’origine : le champ est partout dirigé radialement vers l’extérieur, et les équipotentielles forment des cercles autour d’elle. C’est la seule configuration prédéfinie sans point remarquable.
Dipôle - Sur toute la médiatrice des deux charges, le potentiel vaut exactement 0, mais le champ n’est pas nul : 0,500 au centre et 0,177 deux unités plus haut. Un potentiel nul n’implique pas un champ nul.
Deux + - Au centre, le champ vaut exactement 0 et le potentiel 1,3333. C’est le pendant symétrique du dipôle : champ nul, potentiel non nul.
Quadrupôle - Deux charges positives et deux charges négatives occupent les sommets d’un carré. Au centre, le champ et le potentiel sont tous deux exactement nuls ; c’est la seule configuration prédéfinie où ils s’annulent simultanément.