Simulateur de Mouvement de Projectile

trajectoire parabolique avec animation en direct

Valeurs de départ — Simulateur de Mouvement de Projectile

Vitesse de lancement (v₀)	20
Angle de lancement (θ)	45
Hauteur de lancement (h)	0

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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Quarante-cinq degrés ne gagnent que sur terrain plat 🖖

Le mouvement d'un projectile est l'analyse cinématique d'un objet lancé dans un champ gravitationnel avec une accélération g descendante constante. Sans résistance de l'air, la vitesse horizontale reste constante tandis que le mouvement vertical est uniformément accéléré, générant une parabole. La portée maximale est obtenue à 45°.

Deux mouvements en un seul 🖖

Un projectile fait en réalité deux choses indépendantes à la fois : il dérive latéralement à vitesse constante tout en tombant sous l'effet de la gravité. Aucun n'influence l'autre, d'où un résultat célèbre : une balle tirée à l'horizontale et une balle simplement lâchée de la même hauteur touchent le sol au même instant. Changez ici la vitesse de lancement et observez la portée latérale grandir alors que le temps de vol ne dépend que du mouvement vertical.

En hauteur, 45° cesse de gagner 🖖

La célèbre règle des 45° pour la portée maximale ne vaut que si le lancement et la retombée sont à la même hauteur. Ajoutez une hauteur de lancement h et le meilleur angle passe sous 45°, suivant θ = arctan(v / √(v² + 2gh)). Lancez une balle du haut d'une falaise : viser un peu plus bas que 45° l'envoie plus loin — montez le curseur de hauteur et cherchez le véritable optimum.

PROJECTILES — L'ANGLE DÉCIDE DE TOUT, SAUF DE CE QUE DÉCIDE LA VITESSE

Quel cas de tir résolvez-vous ?

Les mouvements horizontal et vertical sont indépendants : vitesse constante sur le côté, accélération constante vers le bas. Tout le reste découle de cette séparation. À hauteur égale, la portée vaut R = v²sin(2θ)/g, maximale à 45° et identique pour les angles appariés de part et d'autre. Lancez depuis une hauteur et cette symétrie se brise : le meilleur angle passe sous 45°.

45° sur terrain plat — la portée maximale R = v²/g at θ = 45°

Angles complémentaires — deux façons d'atteindre le même point R = v²sin(2θ)/g

À la verticale — que de la hauteur, aucune portée h = v²/2g, R = 0

Lancer depuis une hauteur — la symétrie se brise h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

45° sur terrain plat — la portée maximale

Ce que vous savez: Départ et arrivée sont à la même hauteur et vous cherchez le tir le plus long. sin(2θ) est maximal quand 2θ = 90°.

Portée: R = v²/g at θ = 45°

Exemple résolu: v = 20 m/s à 45° → R = v²/g = 400/9,81 = 40,8 m, le plus loin que cette vitesse permette

Ouvrir ce cas: 45° portée max

45° sur terrain plat — la portée maximale. À 45°, temps de vol et vitesse horizontale s'équilibrent, et la portée culmine. Départ et arrivée sont à la même hauteur et vous cherchez le tir le plus long. sin(2θ) est maximal quand 2θ = 90°. — À 45°, temps de vol et vitesse horizontale s'équilibrent, et la portée culmine.

Angles complémentaires — deux façons d'atteindre le même point

Ce que vous savez: Tout angle θ et son complément 90° − θ donnent la même portée sur terrain plat, car sin(2θ) = sin(180° − 2θ).

Portée: R = v²sin(2θ)/g

Exemple résolu: v = 20 m/s à 30° → 35,3 m ; à 60° → 35,3 m de nouveau. Le tir tendu dure 2,0 s, le tir haut 3,5 s

Ouvrir ce cas: 30°

Angles complémentaires — deux façons d'atteindre le même point. Deux trajectoires, un point de chute : 30° et 60° donnent la même portée à des hauteurs différentes. Tout angle θ et son complément 90° − θ donnent la même portée sur terrain plat, car sin(2θ) = sin(180° − 2θ). — Deux trajectoires, un point de chute : 30° et 60° donnent la même portée à des hauteurs différentes.

À la verticale — que de la hauteur, aucune portée

Ce que vous savez: θ = 90°, la composante horizontale est donc nulle. Tout ce que le lancer a donné part dans la montée et le retour.

Portée: h = v²/2g, R = 0

Exemple résolu: v = 20 m/s à la verticale → hauteur maximale v²/2g = 20,4 m, portée 0, et l'objet revient dans la main à 20 m/s

Ouvrir ce cas: 90° tout droit vers le haut

À la verticale — que de la hauteur, aucune portée. Lancer vertical : la trajectoire se réduit à une ligne et la portée disparaît. θ = 90°, la composante horizontale est donc nulle. Tout ce que le lancer a donné part dans la montée et le retour. — Lancer vertical : la trajectoire se réduit à une ligne et la portée disparaît.

Lancer depuis une hauteur — la symétrie se brise

Ce que vous savez: Le point de chute est plus bas que le point de lancer : le vol n'est plus symétrique et la règle des 45° tombe.

Portée: h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

Exemple résolu: v = 22 m/s à 35° depuis 18 m → 3,6 s en l'air et 65 m de portée ; l'angle optimal est ici 37,2°, pas 45°

Ouvrir ce cas: depuis une falaise

Lancer depuis une hauteur — la symétrie se brise. La hauteur en plus achète du temps de vol en plus : le tir plus tendu l'emporte. Le point de chute est plus bas que le point de lancer : le vol n'est plus symétrique et la règle des 45° tombe. — La hauteur en plus achète du temps de vol en plus : le tir plus tendu l'emporte.

Problèmes entièrement résolus

Une balle lancée à 20 m/s et 45° depuis un sol plat 5 étapes
Une balle est lancée à 20 m/s et 45° depuis un sol horizontal. Déterminez la durée de son vol et sa portée — puis déterminez le coût d'une erreur de visée de 5°, la question qui permet de savoir s'il vaut la peine de viser à 45°.
1. Décomposez le lancer en deux mouvements qui n'interagissent jamais entre eux. La pesanteur n'agit que vers le bas, de sorte que la vitesse horizontale est la même à l'atterrissage qu'au lancer, et 45° est le seul angle pour lequel les deux composantes sont égales au départ.
  
  $v_{x} = v_{0} cos θ = 20 cos 4 5^{\circ} = 14.142 m/s, v_{y} = v_{0} sin θ = 14.142 m/s$
2. Le vol prend fin lorsque la hauteur redevient nulle, ce que seul le mouvement vertical permet de déterminer. La montée et la descente prennent le même temps depuis un sol horizontal, le vol entier dure donc le double du temps mis pour atteindre le sommet.
  
  $y (t_{f}) = 0 : t_{f} = \frac{2 v _{y}}{g} = \frac{2 ( 14.142 )}{9.81} = 2.8832 s$
3. La distance horizontale s'obtient en conservant une vitesse constante pendant cette durée de vol. La substitution des composantes résume le tout à l'angle double, et comme sin 2θ reste inchangé lorsque θ est remplacé par 90° − θ, un lancer à 30° comme à 60° fait atterrir la balle à 35,312 m.
  
  $R = v_{x} t_{f} = 14.142 \times 2.8832 = 40.775 m = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g} = \frac{400}{9.81}$
4. Le sommet dépend de la seule composante verticale, freinée jusqu'à l'arrêt par la pesanteur. À 45°, la hauteur maximale vaut exactement le quart de la portée, et ce rapport d'un quart reste vrai à 45° quelle que soit la vitesse initiale.
  
  $y_{m a x} = \frac{v _{y}^{2}}{2 g} = \frac{200}{19.62} = 10.194 m = \frac{R}{4}$
5. Passons à l'erreur de visée. La fonction sin 2θ est stationnaire à 45°, de sorte qu'un écart de 5° constitue une erreur du second ordre et ne coûte que 62 cm sur 40,775 m. Le même écart de 5° à 30° est du premier ordre et décale la portée de 8,5 %, soit environ 3 m.
  
  $\frac{R ( 5 0 ^{\circ} )}{R ( 4 5 ^{\circ} )} = sin 10 0^{\circ} = 0.9848 (- 0.62 m), \frac{R ( 3 5 ^{\circ} )}{R ( 3 0 ^{\circ} )} = \frac{sin 7 0 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} = 1.085$
Réponse

L'outil affiche 2,8832 s de vol, une portée de 40,775 m et une hauteur maximale de 10,194 m. Ces deux dernières valeurs sont dans un rapport exact de 4, et conservent ce rapport à 45° quelle que soit la vitesse — une trajectoire à 45° est toujours quatre fois plus large que haute, de sorte qu'il n'existe qu'une seule forme et que seule la taille varie. L'étape 5 est celle qu'il faut retenir : le maximum est plat, ce qui explique pourquoi 45° subsiste comme une règle empirique que personne ne vérifie rigoureusement. Cependant, cet aplatissement joue dans les deux sens : un sommet plat est difficile à localiser — quiconque cherche le meilleur angle par tâtonnement obtient une large plage d'angles qui paraissent tous aussi bons.

$R = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}, \frac{R}{y _{m a x}} = 4 (θ = 4 5^{\circ})$
L'angle qui porte le plus loin depuis 18 m de haut 7 étapes
Le panneau résout le tir que vous lui donnez : 35° depuis 18 m de haut portent à 64,764 m. Il ne vous dira pas si 35° valait la peine. Trouvez l'angle qui porte le plus loin depuis cette falaise — puis demandez ce que la réponse vaut réellement.
1. Décomposez le lancer. Tout ce qui suit est une vitesse horizontale constante et une chute libre verticale qui commence 18 m au-dessus du sol d'arrivée.
  
  $v_{x} = v_{0} cos θ = 22 cos 3 5^{\circ} = 18.021 m s^{- 1}, v_{y} = v_{0} sin θ = 22 sin 3 5^{\circ} = 12.619 m s^{- 1}$
2. Le vol s'achève quand la hauteur revient à zéro, ce qui est une équation du second degré en t. Prenez la racine positive ; l'autre serait l'instant où le projectile aurait quitté le sol s'il était parti d'en bas.
  
  $h + v_{y} t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 ⟹ t_{f} = \frac{v _{y} + v _{y}^{2} + 2 g h}{g} = \frac{12.619 + 159.24 + 353.16}{9.81} = 3.5938 s$
3. La portée est la vitesse horizontale multipliée par le vol entier, puisque rien n'agit horizontalement. Trois des quatre nombres obtenus jusqu'ici figurent sur le panneau.
  
  $R = v_{x} t_{f} = 18.021 \times 3.5938 = 64.764 m$
4. Le sommet est atteint quand la vitesse verticale s'épuise, et la falaise ne fait que soulever l'ensemble : 18 m d'avance, plus exactement la montée qu'un lancer au sol aurait obtenue.
  
  $y_{m a x} = h + \frac{v _{y}^{2}}{2 g} = 18 + \frac{159.24}{19.62} = 26.116 m$
5. Vient la question à laquelle le panneau ne répond pas. Écrivez la portée comme fonction du seul angle, à v₀ et h fixés. Le temps de vol dépend maintenant de θ lui aussi, et c'est précisément pourquoi ce n'est pas la formule commode du niveau de la mer.
  
  $R (θ) = \frac{v _{0} cos θ}{g} (v_{0} sin θ + v_{0}^{2} sin^{2} θ + 2 g h)$
6. Dérivez et annulez. Tout se ramène à une seule condition sur sin θ, et la falaise n'intervient que par le groupe sans dimension 2gh/v₀². Avec h = 0, on retrouve sin θ = 1/√2, les 45° familiers. Ici on obtient 37,248°.
  
  $\frac{d R}{d θ} = 0 ⟹ sin θ^{*} = \frac{1}{2 + 2 g h / v _{0}^{2}} = \frac{1}{2.72967} = 0.60526 ⟹ θ^{*} = 37.24 8^{\circ}$
7. Mettez maintenant les trois angles côte à côte et lisez les grandeurs, pas seulement l'ordre.
  
  $R (37.24 8^{\circ}) = 64.887, R (3 5^{\circ}) = 64.764, R (4 5^{\circ}) = 63.355 (m)$
Réponse

Le meilleur angle depuis cette falaise est 37,248°, et se réajuster vaut 12 cm sur un tir de 65 m. Voilà la vraie leçon, et elle n'est pas dans l'optimum : un maximum est plat, donc le manquer de 2,2° ne coûte presque rien. Ce qui coûte cher, c'est d'apporter le mauvais modèle — 45° n'est optimal qu'au niveau du sol, et l'employer ici gaspille 1,532 m, douze fois le prix de l'erreur de visée. Élevez la falaise et θ* continue de baisser ; à la limite d'une falaise très haute, le tir le plus long est presque horizontal.

$sin θ^{*} = (2 + \frac{2 g h}{v _{0}^{2}})^{- 1/2} ⟹ θ^{*} = 37.24 8^{\circ}; R^{*} - R (3 5^{\circ}) = 0.123 m, R^{*} - R (4 5^{\circ}) = 1.532 m$

Parcours

Lancer des objets

Mène à Traînée et vent le cas en deux dimensions où cette condition demeure vérifiée.

Références (1)

Insight block 2 stacks two motions. Arriving at that decomposition took Galileo most of a career: S. Drake, "Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory", in Essays on Galileo and the History and Philosophy of Science, 160–170. University of Toronto Press, 1999.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

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Exemples de problèmes

45° portée max - v=20 m/s, θ=45°, h=0 → portée≈40.8 m (maximale pour cette vitesse)
30° - v=20 m/s, θ=30° → portée≈35.3 m (identique à 60° par symétrie)
60° - v=20 m/s, θ=60° → portée≈35.3 m (identique à 30°)
90° tout droit vers le haut - v=20 m/s, θ=90° → tir vertical, portée=0, hauteur max≈20.4 m
tir rasant - v=55 m/s, θ=12° → trajectoire tendue, portée≈125 m
depuis une falaise - v=22 m/s, θ=35°, h=18 m → portée≈65 m, durée de vol≈3.6 s