Explorateur du paradoxe des anniversaires

Le paradoxe se dissipe dès qu'on arrête de compter les personnes pour compter les paires. Avec 23 personnes, il n'y a que 23 anniversaires à comparer, mais C(23,2) = 253 paires distinctes qui pourraient chacune produire une coïncidence — et il suffit d'une seule. L'intuition humaine se fixe sur « combien de personnes me ressemblent », qui croît linéairement, alors que la grandeur qui compte réellement, le nombre de comparaisons par paires, croît de façon quadratique en n(n−1)/2. C'est pourquoi la courbe de probabilité grimpe si tôt : dès n=23 on dépasse déjà 50%, et à n=57 elle dépasse 99%, car on offre au problème de l'ordre de n² occasions de coïncider.

Plutôt que de suivre chaque manière dont une coïncidence pourrait apparaître, l'outil pose la question inverse, bien plus simple : quelle est la probabilité que tous les anniversaires soient différents ? Ajoutez les personnes une à une — la deuxième doit éviter 1 jour déjà pris (364/365), la troisième 2, et ainsi de suite —, multipliez ces fractions décroissantes et soustrayez le résultat de 100%. L'essentiel : à 23 personnes, la probabilité que 'tous soient différents' passe enfin sous la moitié, et c'est précisément pourquoi 23 est le point de bascule.

La même logique régit discrètement la sécurité numérique. Pour casser une fonction de hachage, un attaquant a rarement besoin d'une cible précise : deux entrées quelconques donnant le même résultat suffisent, ce qui est exactement le problème de 'n'importe quelle paire'. Ainsi, un hachage à N sorties possibles cède à une attaque des anniversaires après environ √N essais, et non N. Voilà pourquoi un hachage de 256 bits n'offre qu'environ 128 bits de résistance aux collisions, obligeant les concepteurs à doubler la longueur.