Amas de coïncidences (paradoxe des séries)

pourquoi les longues séries de lancers de pièce sont bien plus courantes qu'on ne le pense

Valeurs de départ — Amas de coïncidences (paradoxe des séries)

Lancers par séquence (N)	100
Longueur de série (L)	6
Essais de simulation ℹ️	1000

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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La roue n’était pas l’étrange 🖖

Le 18 août 1913, la roulette du casino de Monte-Carlo est tombée sur le noir vingt-six fois de suite, et les joueurs autour ont perdu des fortunes en misant toujours plus sur le rouge, qui était forcément dû. Le rouge n’était pas dû. Chaque tour payait toujours 18 sur 37, et la série elle-même n’était que rare : la probabilité qu’un tour donné ouvre vingt-six noirs est d’environ une sur 137 millions. Le nom est resté — on appelle encore le sophisme du joueur le sophisme de Monte-Carlo. Réglez cet outil sur 100 lancers et une série de six apparaît 80,7 % du temps ; ce qu’aucun réglage ne change, c’est le lancer suivant.

Pourquoi les longues séries sont quasi garanties 🖖

L'intuition attend que pile et face alternent bien sagement, mais le hasard se regroupe. La plus longue série de résultats identiques croît avec le nombre de lancers — environ log₂(N). Lancez une pièce équilibrée 100 fois et une série de six identiques apparaît plus souvent qu'elle ne manque. Cet outil montre comment cette intuition se brise : augmentez N et la courbe des séries grimpe abruptement.

Repérer un relevé de lancers truqué 🖖

Demandez à des étudiants d'inventer en secret 200 lancers au lieu de lancer une vraie pièce, et un statisticien repère généralement les faux d'un coup d'œil. Ceux qui inventent des suites « aléatoires » n'écrivent presque jamais une série de six ou sept résultats identiques, alors que les vrais lancers en contiennent presque toujours une. Cette démonstration (popularisée par le mathématicien Theodore Hill) révèle que l'humain lisse justement les amas que le vrai hasard impose.

Problème entièrement résolu

6 résultats identiques de suite sur 100 lancers d'une pièce équilibrée 5 étapes
100 lancers d'une pièce équilibrée, et la question est de savoir si 6 résultats identiques d'affilée apparaissent quelque part parmi eux. Dénombrez les séquences qui y échappent — mais 2¹⁰⁰ séquences ne seront pas comptées une à une.
1. Découpez une séquence en ses séries maximales. Échapper à une série de 6 signifie que chaque série est de longueur 5 au maximum ; ce que vous comptez revient donc aux façons d'écrire 100 sous forme de somme ordonnée de termes de 1 à 5, multipliées par deux car le premier lancer peut donner l'une ou l'autre face. Notons ce décompte R(i) : une série initiale de longueur j laisse R(i − j) derrière elle, et les cinq longueurs autorisées donnent cinq termes.
  
  $R (i) = R (i - 1) + R (i - 2) + R (i - 3) + R (i - 4) + R (i - 5), R (0) = 1$
2. Divisez par 2^N pour raisonner en probabilités plutôt qu'en décomptes, et chaque partie de longueur j apporte avec elle un facteur 2^−j. Tout ce qui est inférieur à 6 lancers est sans risque par définition, donc q₁ à q₅ valent 1, et la première valeur réelle peut se vérifier à la main : exactement 2 des 64 séquences de six lancers sont entièrement identiques, d'où q₆ = 31/32.
  
  $q_{N} = \frac{2 R ( N )}{2 ^{N}} = j = 1 \sum 5 2^{- j} q_{N - j}, q_{6} = \frac{31}{32}$
3. Jusqu'à 11 lancers, il existe un raccourci, car deux séries de 6 distinctes nécessitent 12 lancers pour se juxtaposer. En dessous, aucune séquence ne peut en contenir deux, de sorte que la probabilité d'une série est exactement son nombre espéré — 2/64 pour une série commençant au lancer 1, et 1/64 pour chaque début ultérieur, qui nécessite également que le lancer précédent soit différent. Pour N = 10, cela donne 6/64, donc q₁₀ = 29/32 = 0,90625, sans la moindre approximation.
  
  $1 - q_{N} = \frac{2}{64} + \frac{N - 6}{64} = \frac{N - 4}{64} (6 \leq N \leq 11)$
4. Au-delà de 11 lancers, les événements se chevauchent et le raccourci de décompte ne fonctionne plus, mais la récurrence se stabilise en une décroissance géométrique régulière. En substituant q_N = Ax^N, il reste cinq puissances de 2x dont la somme vaut 1, et la formule de la série géométrique condense ces cinq termes en un seul : y = 2 − y⁻⁵, avec y = 2x. En itérant à partir de y = 2, la suite converge en quatre étapes — 1,968750, 1,966190, 1,965969, 1,965950 — vers y = 1,965948, d'où x = 0,982974.
  
  $1 = j = 1 \sum 5 (2 x)^{- j} ⟹ y = 2 - y^{- 5}, y = 2 x = 1.965948$
5. Quatre-vingt-dix lancers séparent le point d'ancrage exact à N = 10 de la cible à N = 100. La décroissance géométrique a à peine commencé à N = 10, il s'agit donc d'une approximation, mais la correction s'atténue suffisamment vite pour reproduire les deux décimales qu'affiche l'outil à partir de sa récurrence exacte.
  
  $q_{100} \approx q_{10} x^{90} = 0.90625 \times 0.98297 4^{90} = 0.1932 ⟹ P = 0.8068$
Réponse

19,32 % des séquences de 100 lancers y échappent, de sorte que les 80,68 % du tableau indiquent qu'une série de 6 est le résultat ordinaire, et non un fait étrange. Le nombre porteur de cette leçon est 0,982974 : chaque lancer supplémentaire réduit votre chance d'y échapper de 1,7 %, la divisant par deux tous les 40,4 lancers. En remontant le fil, une chance sur deux s'atteint à 45 lancers ; en poursuivant, 180 lancers laissent moins de 5 % des séquences intactes. La colonne simulée à côté de la colonne exacte est un nombre d'une tout autre nature. Une estimation basée sur 1000 essais d'un événement à 80,68 % comporte un écart-type de √(0,8068×0,1932/1000) = 1,25 point de pourcentage, elle varie donc de plus d'un point entier entre deux exécutions, et même au plafond de cet outil fixé à 10 000 essais, elle reste de ±0,39 point. La seconde décimale de la colonne exacte a du sens alors que celle de la colonne simulée ne peut pas en avoir — ce qui est précisément ce que mesure la ligne z ci-dessous.

$\frac{ln 2}{- ln 0.982974} = 40.4, σ = \frac{0.8068 \times 0.1932}{1000} = 0.0125$

Références (2)

Insight block 3 — why a fabricated coin-flip log gives itself away: T. P. Hill, "The Difficulty of Faking Data." CHANCE 12(3), 27–31, 1999.
And the general result behind the tool: P. Diaconis and F. Mosteller, "Methods for Studying Coincidences." Journal of the American Statistical Association 84(408), 853–861, 1989 — why surprising runs are expected rather than remarkable.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

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Exemples de problèmes

100 lancers, série de 6 - Avec 100 lancers de pièce et une recherche de série de 6 faces ou piles consécutifs, la probabilité exacte est de 80.7%. La plupart des gens pensent que 6 d'affilée est très inhabituel, mais c'est en réalité plus probable qu'improbable sur 100 lancers !
50 lancers, série de 5 - Avec 50 lancers, une série de 5 faces ou piles consécutifs est tout à fait attendue, avec une probabilité de 82.1% de se produire naturellement.
150 lancers, série de 7 - Avec 150 lancers, une série de 7 faces ou piles consécutifs a une probabilité de 69.7%. Cela montre comment le regroupement rend les séries de résultats identiques inévitables sur de plus longues séquences.