ブラックホール計算機

太陽質量単位で質量を入力すると、極小ブラックホールから超大質量クエーサーの中心エンジンまで、ブラックホールの幾何学と熱力学を探ることができます。

計算例 — ブラックホール計算機

シュワルツシルト半径	29.5 km
光子球	44.3 km
ISCO	88.6 km
ホーキング温度	6.17 nK

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インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

落ちたものは失われず、かき混ぜられるだけ 🖖

1974年、ホーキングは事象の地平面付近の量子効果によってブラックホールが熱的に放射することを示しました — あたかも温度T_H ∝ 1/Mの黒体であるかのようにです。放射するにつれてブラックホールは質量を失って縮小し、最終的には完全に蒸発します。しかしここにパラドックスがあります。熱放射は落ち込んだものに関する情報を一切運びません。量子力学は情報が決して失われないことを要求しますが、ホーキングの計算はそれを消し去ってしまうように見えます。これがブラックホール情報パラドックスです。数十年におよぶ議論は解決に至りませんでしたが、近年の「アイランド」やページ曲線に関する研究により、情報はホーキング放射自体に含まれる微妙な量子相関 — 局所的な観測者には見えないもつれ構造 — に符号化されている可能性が示唆されています。パラドックスは完全には解決されていませんが、現在の共通見解では、ユニタリー性は保たれる、つまり情報は脱出しており、それを解読するには完全な量子重力理論が必要な形で符号化されているとされています。

一つの数が全体の幾何を決める 🖖

回転しないブラックホールは、その質量だけで完全に記述されます。シュヴァルツシルト半径 r_s = 2GM/c² が分かれば、他のすべての目印は決まった倍数として導かれます。光子球は 1.5 r_s、最内安定円軌道は 3 r_s です。質量を2倍にすれば、これらもすべて2倍になります。太陽をブラックホールにすると直径はわずか ~3 km、地球ではたった ~9 mm です。

ブラックホールは縮むほど熱くなる 🖖

普通の物体はエネルギーを失うと冷えますが、ブラックホールは逆です。T_H ∝ 1/M なので、質量を放射すると穴は冷えるどころか熱くなります。これは負の熱容量です。そのため蒸発は暴走します。穴が小さくなるほど速く放射し、最後は閃光のような爆発で終わります。つまりブラックホールは、無限の熱浴と安定した熱平衡に達することが決してできないのです。

全プロセスの詳細解説

10太陽質量のブラックホールの事象の地平面 5 ステップ
10 太陽質量のブラックホールの事象の地平線を求め、それから一見荒唐無稽に思える問いに答えなさい：ブラックホールの密度はどれくらいでなければならないか？
1. 脱出速度の結果を用いて、それが光速と等しくなる場所を求めます。これはニュートン力学的な近道であり（完全な導出には一般相対性理論が必要です）、偶然にもまったく正しい答えを与えます。これは知っておく価値のある歴史的偶然であり、ミッチェルが1783年に書き残しました。
  
  $v_{esc} = \frac{2 GM}{R} = c ⟹ R_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$
2. 10 太陽質量を代入します。上記の計算ツールはこの半径を表示しますが、驚くべき特徴は数値そのものというよりもその比例関係にあります。R_s は質量に比例してスケールします。
  
  $R_{s} = \frac{2 ( 6.674 \times 1 0 ^{- 11} ) ( 10 \times 1.989 \times 1 0 ^{30} )}{( 2.998 \times 1 0 ^{8} ) ^{2}} = 2.95 \times 1 0^{4} m = 29.5 km$
3. 他の2つの半径は定数倍として定まるため、本ツールではこれらをまとめて表示しています。光自体は 1.5R_s で周回することができ、3R_s の内側には安定した円軌道が存在しません。この内側の縁が降着円盤の大きさを決定づけています。
  
  $r_{ph} = 1.5 R_{s} = 44.3 km, r_{ISCO} = 3 R_{s} = 88.6 km$
4. さて、ここから導かれる結果です。密度は質量を体積で割ったものであり、体積は半径の3乗に比例し、半径は質量に比例します。そのため、密度は質量の逆二乗に比例して低下します。より大きなブラックホールほど密度は低くなります。
  
  $ρ = \frac{M}{\frac{4}{3} π R _{s}^{3}} \propto \frac{M}{M ^{3}} = \frac{1}{M ^{2}}$
5. 具体的に数値を当てはめてみましょう。恒星質量のブラックホールは原子核よりも高密度です。超大質量ブラックホールはそうではありません。
  
  $M = 10 M_{⊙} : ρ \approx 1.8 \times 1 0^{17} kg/ m^{3} M = 1 0^{8} M_{⊙} : ρ \approx 1.8 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$
解答

29.5 kmであり、光子球は 44.3 km、最内部安定円軌道は 88.6 km となります。しかし、この物体のイメージを覆すのは最後の一行です。10⁸ 太陽質量のブラックホールの平均密度は約 1800 kg/m³ であり、水より少し重く、鉄より軽い程度です。その事象の地平線を通過しても、局所的には何も気づかないでしょう。「ブラックホール」とは幾何学構造を指す名称であって物質ではなく、地平線は何らかの物質でできた表面ではなく、脱出が不可能になる場所なのです。

$R_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}} \propto M ⟹ ρ \propto \frac{1}{M ^{2}}$

参考文献 (2)

Insight blocks 1 and 3 — the radiation, and the 1/M temperature that makes evaporation run away: S. W. Hawking, "Black hole explosions?" Nature 248, 30–31, 1974.
The curve block 1 names: D. N. Page, "Information in black hole radiation." Physical Review Letters 71(23), 3743–3746, 1993 — where the entropy of the radiation is argued to turn over rather than rise forever.

42Math チーム · 更新 2026-07-29

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例題

恒星質量(10 M☉) - 恒星質量ブラックホール(10 M☉)→ Rₛ ~ 29.5 km、Tₕ ~ 6.2 × 10⁻⁹ K
いて座A*(4×10⁶ M☉) - いて座A*の事象の地平面は0.0790 AU。太陽から水星までの距離の五分の一に相当します。さらに光子球が0.118 AU、最内殻安定円軌道が0.237 AUに位置しています。地平面において人体にかかる潮汐加速度は1.16 mm/s²。地球の重力の約一万分の一にすぎません。つまり、そこを通過したとしても何も感じることはないでしょう。
TON 618(6.6×10¹⁰ M☉) - 事象の地平面の半径は0.0206光年。光が通過するのにも七日半を要し、約1,300 AUに及びます。これはボイジャー1号までの距離の八倍にあたります。ホーキング温度は9.35 × 10⁻¹⁹ K、蒸発にかかる時間は6.03 × 10⁹⁹年。この天体においては、何一つとして急ぐものはありません。
原始(10⁻⁸ M☉) - 事象の地平面の直径は29.5 μm。砂粒にも満たない大きさです。そしてホーキング温度は6.17 Kであり、宇宙マイクロ波背景放射の2.725 Kを上回ります。ここが決定的な意味を持ちます。恒星質量のブラックホールはどれも周囲の宇宙空間より冷たく、今なお成長を続けています。一方、このブラックホールは吸収する以上のエネルギーを放射するため、実際に蒸発していくことができるのです。地平面における潮汐加速度は1.85 × 10²⁶ m/s²に及びます。