黒体放射エクスプローラー

プランクの放射法則は、理想的な熱放射体が各波長でどれだけ明るく光るかを、たった一つの数——温度——から与える。知る価値があるのは正しいからだけではない。これを正しく導くために、物理はエネルギーが離散的な塊で来ることを受け入れざるを得なかった。この曲線こそ量子の始まりである。

各記号の意味

B(λ, T)

分光放射輝度。波長あたりの明るさ。このページの図が示すのは形だけであり、読み出しは放射輝度の値を一切示さない。

λ_max

ピーク波長。このページが印字する唯一の数値であり、5772 K で 502.04 nm、12000 K で 241.48 nm、300 K で 9659.24 nm。

h

プランク定数。これをゼロにすると、法則は破綻したあの古典的予測へ戻ってしまう。

k_B T

熱エネルギーの尺度。ある波長は、その光子の値段がこれより安ければ明るく、はるかに高ければ暗い。

公式の導き方

1. 暖かい箱の中で光が振動できる仕方を数える。短い波長は長い波長よりずっと多くの仕方で収まり、その数は 1/λ⁴ のように増える。古典物理はそのすべてに同じ平均エネルギー k_B T を与えてしまう。
2. この予測は破滅的である。最短波長が存在しない以上、放射される全エネルギーは無限になる。あらゆる暖かい物体は——あなたも含めて——部屋を紫外線で満たすはずだ。これが紫外破綻であり、丸め誤差などではなく、暖かい物がただ静かにそこにあるという事実との真っ向からの矛盾だった。
3. プランクの修理はこうである。振動数 ν の振動は、hν の整数倍でしかエネルギーを持てない。波長が短いとは hν が大きいということであり、hν が k_B T をはるかに超えると、熱エネルギーでは一塊すら買えず、そのモードは暗いままになる。
4. それが法則の分母にある e^(hc/λk_B T) − 1 である。短波長を指数関数的に抑え込み、そのおかげで曲線は限りなく上昇するのではなく折り返す。折り返す曲線にはピークがある。微分して求めれば、このページが表示している波長が出てくる。

表示の読み方

曲線はそれ自身の最大値で正規化して描かれているので、高さは何の情報も持たない。どの温度でも枠の上端まで届く。ここで意味を持つのは形とピークの位置だけである。現実には、より高温の物体は単に青いのではなくあらゆる波長で明るい。その違いはこの図では意図的に見えなくしてある。

前提

ただ一つの定まった温度で熱平衡にあり、不透明で、当たったものをすべて吸収し何も反射しない物体。実在の表面は放射率と呼ばれる因子のぶんだけ及ばず、その因子は曲線全体を下へ縮尺するだけで、形もピークも変えない。

成り立たない場合

プランクの法則が記述するのは熱放射だけである。蛍光灯もネオン管もレーザーも、熱くならずに光を出し、そのスペクトルは細い輝線であって、この曲線はどんな温度でもそれを近似しない。このページはもっと静かな限界も見せる。室温のプリセットを読み込むとピークは 9659.24 nm へ移り、右端のはるか外に出るため、図はピークの目印をまったく描かなくなる。物理は変わっていない。窓が狭すぎるだけである。