惑星密度計算機

ρ = 3M / 4πR³ ―― 平均密度は、実際に着陸することなく惑星が何でできているかを制約するたった一つの数値だ。

初期値 — 惑星密度計算機

質量 (M)	5.972 × 10²⁴
半径 (R)	6.371 × 10⁶

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レッスン

理論 — 惑星密度計算機

平均密度とは、惑星の全質量を全体積で割った値 — 天体全体を表す1つの数値です。手に取れるような特定の物質の密度ではなく、地殻、マントル、核を合わせた全体の平均値です。

各記号の意味

ρ: 平均密度。身近な物質と比較しやすいよう、ここでは g/cm³ で示されています — 水は 1、鉄は約 7.9 です。
R: 惑星の半径。地球では 6.371 × 10⁶ m です。半径は3乗されるため、半径に 10% の誤差があると、密度は約 30% 変化します。
3/4π: 球体を仮定したときに現れる幾何学定数 — 物理的な意味はなく、単に形状に由来するものです。

公式の導き方

密度は質量を体積で割ったものです：ρ = M / V。まだ惑星に関する要素はありません。
天体を球体と仮定すると、その体積は V = (4/3)πR³ となります。
代入して整理します：ρ = M / ((4/3)πR³) = 3M / (4πR³)。これがページ上の数式であり、地球の質量と半径を代入すると 5.513 g/cm³ になります。

前提: 球体であること、そして質量と半径の両方が既知であることを前提としています。遠方の惑星において、どちらも直接測定されるわけではありません。質量は他の天体に及ぼす引力から、半径は遮る主星の光の量から求められます — そのため、全体としての密度には双方の誤差範囲が引き継がれます。
成り立たない場合: 平均値は内部構造を完全に覆い隠してしまいます。地球はその最も明確な例です：平均密度は 5.513 g/cm³ ですが、核はおよそその2倍、地殻はおよそ半分です。全く異なる構造を持つ2つの惑星であっても平均密度が完全に一致することがあるため、この数値は惑星の構成物質を制約するにとどまり、一意に決定するものではありません。

惑星のレントゲン写真としての密度 🖖

私たちは地球を12kmより深く掘ったことは一度もないが、それでも核が鉄でできていることを知っている。その鍵は平均密度だ:ρ = 3M/(4πR³)。質量は衛星や探査機の軌道の周期から、半径は掩蔽やレーダー高度測定から得られる。得られた密度を高圧下の岩石・氷・鉄の状態方程式と照合することで、内部にどんな物質の組み合わせがあるはずかを絞り込める。密度が~2 g/cm³未満なら、岩石の割合が大きいことはあり得ない。~5 g/cm³を超えると、大きな鉄核はほぼ避けられない。地震学や慣性モーメントの測定がこの描像をさらに精緻にするが ―― 探査機を送る前の段階で大半の仕事をこなすのは密度だけなのだ。

詰まり具合が語る惑星の正体 🖖

密度とは、ある空間にどれだけ物質が詰め込まれているかを1立方センチあたりのグラム数で表すだけのものです。この一つの数値を惑星どうしで比べれば、着陸せずとも中身を推し量れます。印象的な例が土星で、平均密度はわずか約0.69 g/cm³と水より小さく、十分大きな海があれば浮いてしまうほど。一方、岩石でできた地球は5.51 g/cm³で、太陽系で最も密度の高い惑星です。

重力が惑星の密度を偽装する 🖖

大きな惑星は自らを押しつぶします。自身の重力で内部が圧縮されるため、測定される平均密度は物質本来の値より高く出ます。天文学者はこれを補正して非圧縮密度を求めます。すると最も密度が高いのは地球ではなく水星で、約5.3 g/cm³に対し地球は約4.4。これは半径の約83%を占める巨大な鉄の核の存在を物語っています。

練習

自分で確かめる

まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。

半径は3乗で効くので、そこの小さな誤差は密度の大きな誤差になります。地球の 6.371 × 10⁶ m は 5.513 g/cm³ を与えます。半径を10%上げて 7.008 × 10⁶ にし、次に10%下げて 5.734 × 10⁶ にしてください。2つの誤差は同じ大きさでしょうか。

答えを表示

いいえ。そしてこの差は、誤差範囲を口にする前に知っておく価値があります。10%大きいと 4.142 g/cm³、25%の低下です。10%小さいと 7.563 g/cm³、37%の上昇です。3乗は1のまわりで対称ではありません。1.1³ = 1.331 に対して 0.9³ = 0.729 だからです。同じ取り違えでも一方の向きでは1.5倍高くつくわけで、最も疑うべきは、小さすぎる半径から求めた密度です。
Mercury を押し、続いて Earth を押してください。2つの平均は 5.427 と 5.513 g/cm³、差は2%未満です。これで両者は似た世界だと言えるでしょうか。

答えを表示

言えません。補正を持ち出すまでもなく、質量の欄が落とし穴を示しています。地球の 5.972 × 10²⁴ kg に対し水星は 3.301 × 10²³、18倍の差です。大きな惑星は自分自身を圧縮するので、地球の平均は静止状態の物質より高く出ます。はるかに軽い水星はほとんど圧縮されません。それを差し引くと両者は順位を入れ替え、水星が約 5.3、地球が 4.4 になります。平均密度は強い制約であり、弱い結論です。何でできているかを言うよりずっと先に、何ではありえないかを排除してくれます。

全プロセスの詳細解説

地球の平均密度5.513 g/cm³と表面の岩石から求める表面重力 6 ステップ
地球の質量と半径から平均密度 5.513 g/cm³ が得られる。地表の岩石の密度は約 2.9 である。これが何を意味するかを導き出し、同じ二つの数値から表面重力を求めよ。
1. 平均密度は体積あたりの質量であり、球体の体積において半径は三乗として効いてくる。そのため R の 1% の誤差は ρ において 3% の誤差となる。
  
  $ρ = \frac{M}{\frac{4}{3} π R ^{3}} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{\frac{4}{3} π ( 6.371 \times 1 0 ^{6} ) ^{3}} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{1.0832 \times 1 0 ^{21}} = 5513 kg/ m^{3}$
2. 地質学者が用いる単位に変換し、岩石と比較する。玄武岩は 2.9、花崗岩は 2.7 であり、地球の平均密度はどちらのほぼ二倍である。
  
  $ρ = 5.513 g/c m^{3} against surface basalt at 2.9 g/c m^{3}$
3. 同じ入力から表面重力を求める。得られる 9.82 は標準値の 9.80665 よりわずかに大きい。これは標準値が自転と赤道膨らみを含んでいるのに対し、この球体にはそのどちらもないためである。
  
  $g = \frac{GM}{R ^{2}} = \frac{6.674 \times 1 0 ^{- 11} \times 5.972 \times 1 0 ^{24}}{( 6.371 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}} = 9.82 m/ s^{2}$
4. 密度を重力の公式に代入し直すと質量が消去される。一様な球体の表面における重力は ρR に比例し、ほかの何物にも依存しない。
  
  $g = \frac{G \cdot \frac{4}{3} π R ^{3} ρ}{R ^{2}} = \frac{4}{3} π GρR ⟹ g \propto ρR$
5. 質量が大きく異なる天体でそれを検証する。月は地球の質量の 1.2% にすぎないが、半径の 27%、密度の 61% を占めており、公式によってその重力が正確に得られる。
  
  $Moon : ρ = 3340, R = 1.737 \times 1 0^{6} ⟹ g = \frac{4}{3} π G (3340) (1.737 \times 1 0^{6}) = 1.62 m/ s^{2}$
6. もう一行計算を進めると脱出速度が得られる。これは静止している物体ではなく離脱していく物体に対して記述された同じエネルギー関係式である。
  
  $v_{esc} = \frac{2 GM}{R} = 2 g R = 11186 m/s$
解答

このことから、地球内部は手に取れるどんな物質よりも約二倍高密度であることが強制される。 平均密度は体積加重平均であり、地殻はその体積において四捨五入の誤差程度にすぎない。したがって外層が 2.9 であれば、平均をそこまで引き上げるために内層は 5.5 を大幅に上回る必要があり、それほど高密度で宇宙に豊富に存在する唯一の物質は鉄である。キャベンディッシュの G と平均半径さえあれば誰にでも計算できるこの単一の算術ステップによって、地震学で確認されるはるか以前から地球に鉄の核が存在することが知られていたのである。同じ二つの数値から表面重力が得られ、簡潔な形式 g = (4/3)πGρR は重力が質量ではなく密度と半径のみに依存することを示している。月の 3340 kg/m³ と 1738 km を代入すると 1.62 m/s² が得られ、これはアポロが歩いた環境の数値である。

$ρ = 5.513 g/c m^{3} ≫ 2.9 ⟹ something much denser is underneath$

参考文献 (1)

Earth's mass and radius, as the nominal values adopted by the IAU: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.

42Math チーム · 更新 2026-07-29

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

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例題

水星 - 水星 — 5.43 g/cm³、半径の83%を占める異常に鉄に富んだ核
金星 - 金星 — 5.24 g/cm³、大きさ・質量・密度のいずれでも地球の双子
地球 - 地球 — 5.51 g/cm³、太陽系でもっとも密度の高い惑星
火星 - 火星 — 3.92 g/cm³、岩石質だが核の割合は地球より小さい
木星 - 木星 — 1.33 g/cm³、海王星に次いで4つの巨大惑星で最も密度が高い
土星 - 土星 — 0.69 g/cm³、水より軽く、浮いてしまう
天王星 - 天王星 — 1.27 g/cm³、土星を除けば巨大惑星で最も密度が低い
海王星 - 海王星 — 1.64 g/cm³、ほぼ同じ大きさの天王星より密度が高い
月 - 月 — 3.34 g/cm³、岩石質で核はごく小さい
冥王星 - 冥王星 — 1.85 g/cm³、およそ岩石3分の2、氷3分の1