ピクセルサンプリング・ラボ

サンプリングレートがどの詳細を残すかを変える仕組み

計算例 — ピクセルサンプリング・ラボ

パターン	正弦波
元の周波数	10
サンプリングレート	22
位相	0∘ 見た目のみに影響(ナイキスト/エイリアス指標は変わりません)
1周期あたりのサンプル数	2.2
状態	サンプリング安全

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

ピクセル版の馬車車輪効果 🖖

標本化周波数が低すぎると、細部は失われるのではなく、別の位置に現れます。エイリアシングを読み込んでください。16周期の信号を18回標本化すると、|16 − 18| = 2 なので、2周期として復元されます。次にチェッカーのプリセットを読み込むと、12周期を14回標本化した信号も2周期になります。異なる二つの模様が、標本化後には見分けられません。センサーが捉えているのは、細部が少ない像ではなく、誤った細部です。

1周期に2標本のルール 🖖

波を忠実に捉えるには、1周期あたり2回より多く標本化する必要があります。この境界がナイキスト周波数で、サンプリング周波数 Fs の半分です。これを下回ると標本はどこかには落ちますが、もはや元の波を表しません。再構成された形は偽者です。ここで freq を Fs/2 より上げ、黄色の再構成が緑の元信号から離れていく様子を見てください。

CDの音声が44,100 Hzである理由 🖖

人間の聴覚は約20 kHzまでなので、ナイキストの定理はサンプリング周波数を40 kHz超に要求します。ではなぜ中途半端な44,100なのでしょう。初期のデジタル音声はビデオテープに記録され、有効走査線1本あたり3標本、NTSCの245本×60フィールド、PALの294本×50フィールドがともにちょうど毎秒44,100標本になります。聴覚の限界がビデオ規格と出会い、その数字が定着したのです。

連鎖のひとつの段 — 何が入り、何が出て、後段で何が壊れるか

この段はエンコード処理のどこに位置するか

動画エンコーダは単一のアルゴリズムではなく、順序の決まった 8 つの段です。その順序は恣意的ではありません。どの段も、直前の段が仕事を可能にしてくれたからこそ存在します。このツールはそのうちの 1 つを扱います。下の連鎖から残りの 7 つに移動できます。

ピクセルサンプリング・ラボ — 連続的な像を画素の格子に変え、あとから決して取り戻せない細部を確定させる

入ってくるもの: センサー上の連続的な光学像。細部は無限で、まだ画素はありません。
出ていくもの: ひとつの決まった空間解像度をもつ標本の格子。
次の段が前提とすること: 以降のすべての段は、この格子がすでに場面を公正に記録していることを前提にします。どの段も細部を戻すことはできません。
ここで壊れるもの: 存在する最も細かい細部の 2 倍より低く標本化すると、その細部は消えるのではなく、場面に一度もなかった偽の粗い模様として戻ってきます。エイリアシングはエンコーダに届く前に焼き付いており、どんなビットレートでも元に戻せません。

次の段: 色差の間引き

全プロセスの詳細解説

22回サンプリングされた10サイクルのパターンの境界 5 ステップ
10サイクルのパターンは22回サンプリングすれば安全だが、18回サンプリングすると8として戻ってくる。その境界がどこにあるか、アンド境界の誤った側で信号が何に変化するかを求めよ。
1. サンプリング定理が課す条件は1つである。レートは含まれる最高周波数の2倍を超えなければならない。ここでの場合、20を超えるすべての値を意味する。
  
  $Nyquist : f_{s} > 2 f ⟹ f_{s} > 20$
2. 10サイクルに対する22回のサンプルは1サイクルあたり2.2回となる。これは境界をクリアしているため、原理的には元の信号を復元可能である。ただしギリギリであり、信号内に隠れたより高い周波数成分に対する余裕はない。
  
  $f_{s} = 22 : \frac{22}{10} = 2.2 samples per cycle$
3. 境界を下回ると、信号は劣化するのではなく、正体を変化させる。18でサンプリングすると、10サイクルのパターンは8サイクルのパターンと区別できなくなり、再構成によって8が戻ってくる。
  
  $f_{s} = 18 : ∣ f - f_{s} round (f / f_{s}) ∣ = ∣10 - 18∣ = 8 — an alias, not the signal$
4. これがエイリアシングであり、その言葉は的確である。高周波数は消滅するのではなく、偽名を名乗り、システムが忠実に再現する何かとして戻ってくる。
5. この境界は包含的ではなく厳密なものである。ちょうど20でサンプリングすると、すべてのゼロ交差点に当たって何も記録されない可能性がある。等号だけでは不十分である。
  
  $f_{s} = 20 exactly : the bound is STRICT; equality can sample every zero crossing$
解答

ツールは元周波数10、レート22、および1サイクルあたり2.2のサンプル数を出力する。この結果こそが、すべてのカメラやサウンドカードがサンプリングの「後」ではなく「前」にフィルタリングを行う理由である。一度周波数がエイリアシングを起こすと、それはデータ内で正当な低周波数となり、後からの処理でそれが実際に存在していたものと区別することはできなくなる。レートを18に下げると、再構成によってより遅い波が戻ってくるのを確認できる。サンプラーにはそれが誤りであることを知る術はない。写真におけるモアレは、これと同じ効果が2次元で生じたものである。

$f_{s} > 2 f strictly : below it a high tone RETURNS as a low one$

参考文献 (1)

The sampling theorem behind the Nyquist limit: C. E. Shannon, "Communication in the Presence of Noise." Proceedings of the IRE 37(1), 10–21, 1949.

42Math チーム · 更新 2026-05-26

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例題

オーバーサンプリングした正弦波 - 6周期を36回読み取ると、1周期当たり6標本です。規則が求める2標本の3倍にあたり、復元波形は元の波形とぴたりと重なります。
ナイキスト近傍 - 10周期を22回読み取ると、1周期当たり2.2標本です。規則が求める2標本をわずかに上回り、ナイキスト周波数は11、信号の周波数は10です。復元はできますが、余裕はありません。
エイリアシングの例 - 16周期を18回読み取ると、|16 - 18| = 2 なので、2周期として復元されます。標本化周波数がわずかに足りないだけで、8分の1の周波数に見えてしまいます。
チェッカーのモアレ - 12周期を14回読み取った場合も2周期として復元されます。模様も標本化周波数も異なるのに、エイリアシングと同じ結果です。標本だけを見ても、元がどちらだったかは判別できません。