実験 1 · 幾何・厳密な上下界
2つの多角形の間にπを閉じ込める
直径1の円では、内接多角形の周長は短すぎ、外接多角形の周長は長すぎます。その半周長がπを上下からはさみます。
結論: 両方が同じ極限へ近づくため、はさみうちの原理によりその極限はπです。
円とπの秘密
実験 2 · 測定・円周
円周を直線上に展開する
πの定義はC/dです。直径1の車輪は1回転でちょうど円周1つ分を進みます。
結論: 1回転の距離はCです。d = 1なら、その距離がπです。
実験 3 · 微積分・面積
同心円リングを三角形へ変える
半径xの薄いリングの長さは2πxです。すべてを切って並べると、長さは0から2πrまで順に並びます。
結論: 底辺2πr、高さrなので、面積は½(2πr)r = πr²です。
実験 4 · 物理・位相空間
2つの弾性ブロックでπを数える
運動量とエネルギーの保存により、2つの速度は楕円上に拘束されます。尺度を変えると各衝突は円上の反射になります。
結論: M/m = 100^dでは回数がfloor(π·10^d)となり、πの桁が順に現れます。
実験 5 · 確率・向き
ランダムな針でπを推定する
針の中心が線に十分近く、向きの射影が線へ届くときだけ交差します。ランダムな角度からsin θの積分が現れます。
結論: 針の長さと線間隔が等しいとP(交差) = 2/πなので、π ≈ 2N/Cです。
実験 6 · 確率・面積
外接する正方形から円を測る
一様なランダム点が領域へ入る確率は、その領域が全体の面積に占める割合と等しくなります。
結論: 観測した割合を4倍するとπ ≈ 4H/Nです。
実験 7 · 解析・収束
1項ずつπを組み立てる
無限級数は円を描かずにπを表せます。異なる恒等式は、同じ極限へ異なる速さで近づきます。
結論: 部分和は近似値であり、絶対誤差がπまでの距離を示します。
πへ至る9つの意外な道
各節は1つの主題に絞り、式を導き、図が実際に何を示しているかを説明します。
πは尺度に依存しない比
ユークリッド平面のすべての円で、円周と直径の比は同じです。
C / d = π
円をk倍するとCとdがともにk倍されるため、C/dは変わりません。この不変量がπで、C = πd = 2πrです。
特定の単位ではなく相似性がπを普遍的にします。
多角形が単なる推定ではなく証明になる理由
アルキメデスは円周より小さい図形と大きい図形を使いました。
n sin(π/n) < π < n tan(π/n)
d = 1なら、正n角形によりn sin(π/n) < π < n tan(π/n)が保証されます。辺を増やすほど確実な区間が狭まります。
上下界は近似値と最大誤差を同時に与えます。
車輪上の点はサイクロイドを描く
中心は等速で進みますが、縁の点は加速と減速を繰り返します。
x = r(θ − sin θ), y = r(1 − cos θ)
角度θに対してx = r(θ − sin θ)、y = r(1 − cos θ)です。各尖点で点は地面に接し、瞬間的に静止します。
滑らない回転では、距離と角度がs = rθで結ばれます。
リングによる証明は積分を図にしたもの
各薄いリングの面積は、およそ円周×厚さです。
∫₀ʳ 2πx dx = πr²
半径x、厚さdxならdA = 2πx dxです。すべて足すとA = ∫₀ʳ 2πx dx = πr²になります。
リングを細かくするほど階段状の境界が直線へ近づきます。
弾性衝突が角度の刻みを数える理由
エネルギー保存により速度状態は楕円上を動きます。
N = floor(π√(M/m)), M/m = 100ᵈ
座標(√m·v₁, √M·v₂)で楕円は円に、衝突は反射になります。M/m = 100^dは約π·10^d回の反射を作ります。
桁は不思議な力ではなく、速度空間の円幾何から生まれます。
ビュフォンの針は向きをπへ変える
交差確率は全角度にわたる三角関数の射影の平均です。
P = 2L/(πD)
L ≤ Dではθ ∈ [0, π]について平均するとP = 2L/(πD)です。この実験はL = DなのでP = 2/πです。
乱数でπを推定できるのは、基礎となる確率が厳密に導かれているからです。
モンテカルロ誤差はゆっくり減る
点を増やせば改善しますが、標本誤差は平方根の速さでしか減りません。
π ≈ 4H/N
p = π/4のとき標準誤差は1/√Nのように減ります。小数1桁を増やすには通常約100倍の点が必要です。
ばらつきは正常で、新しい標本が毎回改善するとは限りません。
正しいπ級数がすべて実用的とは限らない
同じ極限でも収束速度は大きく異なります。
Σ 1/n² = π²/6
ライプニッツは非常に遅く、ニーラカンタは高速です。バーゼル問題はΣ1/n² = π²/6で整数の算術とπを結びます。
グラフが示すのは部分和であり、π自体が変化するわけではありません。
円積問題の厳密解が不可能な理由
πの代数的性質が古代の作図問題を決着させました。
π ∉ Q̄
単位円と同面積の正方形には辺√πが必要です。定規とコンパスで得られるのは代数的数ですが、リンデマンは1882年にπが超越数だと証明しました。
近似は容易で、不可能なのは規則に従った厳密な作図です。