コラッツ予想

初期値を選んで、この規則がどこへ向かうのか観察してみてください。その後、二番目の図を見てみましょう。そこには上限までのすべての初期値が一度に描かれています。

計算例 — コラッツ予想

全停止時間	111
到達した最大値	9,232
最大値 ÷ 初期値	341.93
隣との最大の差	101
1回の3倍化あたりの半減回数	1.7073
+1を取り除いた軌道	0.8341
結末	1に到達
10,000 以下の最長の軌道	261

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

27は111ステップ。隣の数は十ステップ。 🖖

初期値に26を入力してみてください。軌道は 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 となります。10ステップで完了し、その過程で値が40を超えることはありません。

次に27を入力してみましょう。すると111ステップもかかり、途中で初期値の341.93倍である9,232まで上昇します。

27という数字のどこを見ても、このような振る舞いは予想できません。27は26と28の間に位置していますが、28は18ステップで終着点に到達します。隣接する数との最大ステップ差の行は、これを101として算出しています。初期値のスライダーを動かして下のパネルを見ても、点が滑らかな曲線を描くことは決してありません。

10,000以下で最も極端なステップ数の差は225であり、6組の隣接する数がこの差を記録しています。その最初の組が6,170と6,171です。一方は36ステップで終わりますが、もう一方は261ステップを要します。

3倍化一回につき四分の三、その予測は常に正しい 🖖

奇数は 3n + 1 となり必ず偶数になるため、その次は必ず半分にされます。その値は半分の確率で4で割り切れ、四分の一の確率で8で割り切れるため、平均すると二回の半減が続くことになります。一回の3倍化と二回の半減で、掛け算としては¾倍になります。

これを最後まで適用すると、nを1まで減らすのに必要な3倍化の回数はおおよそ ln n ÷ ln(4/3) 、つまり 3.4761 ln n になるはずです。

結果の表では、これを探索範囲内のすべての初期値と照らし合わせています。10,000までの場合、3倍化の平均回数は28.21回ですが、1回の3倍化につき¾という理論が予測する値は28.54回です。1,000までなら実際は19.67回に対し予測は20.57回。100,000までなら35.65回に対し36.54回となります。

この論証全体を支えている言葉は「平均すると」です。ひとつの軌道における半減の回数は独立したコイントスのようなものではなく、nを選んだ瞬間にすべて決まっています。しかし、その事実を数式に組み込んだ上で答えを導き出す方法は、まだ誰も見つけていません。1985年にジェフリー・ラガリアスが引用した、ポール・エルデシュの言葉が有名です。「数学は、このような問題に挑む準備がまだできていない」

3を5に変えると、同じ規則が27を永遠に閉じ込める 🖖

5n + 1を押して、初期値を13に設定してみてください。軌道は 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26 と進み、そこで13に戻ってきます。十個の数字からなるループであり、そのままにしておけばいつまでもその中を回り続けます。ここに「予想」は介入しません。一分もあれば手計算で確認できるリストです。

27もまた、別の十個の数字からなるループに捕らえられます。 27, 136, 68, 34, 17, 86, 43, 216, 108, 54 です。

経験則がその理由を教えてくれます。一回の3倍化と二回の半減では¾倍ですが、一回の5倍化と二回の半減では5/4倍になります。平均して5/4倍になる規則が、1に向かって小さくなっていく理由などありません。 5n + 1 を選んだまま、ほとんど空になってしまった下部パネルを見てください。最初の10,000個の初期値のうち、1に到達するのは256個です。別の470個はループに落ち込みます。残りの9,274個は2⁵³を超えて上昇しますが、ツールでの計算の正確性が担保できなくなるため、そこから先は追跡されません。

したがって、コラッツ予想の証明とは「3と5の違い」を理解した証明でなければなりません。2025年の時点で、この規則は2⁷¹までのすべての初期値、数にして約 2.36 × 10²¹ 個について、欧州のスーパーコンピュータを使ったDavid Bařinaによって確認されています。その次の数字の行き先は、まだ誰にもわかっていません。

全プロセスの詳細解説

計算上は12回となるはずなのに、なぜ27には41回もの3倍操作が必要なのか 8 ステップ
¾の法則によれば、軌道が1まで下りてくるには約 ln n ÷ ln(4/3) 回の3倍化が必要なはずです。 n = 27 の場合、これは十一回から十二回の間になります。ところが、ツールは41回だと示しています。余分な二十九回がどこから来たのかを解き明かし、その上で、人類がこれまでに確認した最大の初期値に対して同じ計算を当てはめてみましょう。

この問題をツールで開く
1. 奇数nの次の値は 3n + 1 であり、これは偶数なので、少なくとも一度は半分にされます。その値は半分の確率で4で割り切れ、四分の一の確率で8で、八分の一の確率で16で割り切れます。半減する回数の期待値は k·2^−k の総和となり、ぴったり2になります。一回の3倍化の後に二回の半減が続くと、掛け算として¾倍になります。
  
  $E [v_{2} (3 n + 1)] = k \geq 1 \sum k 2^{- k} = 2 ⟹ \frac{3}{2 ^{2}} = \frac{3}{4}$
2. 毎回¾を掛けていくと、 (¾)^o がnを削りきったときに軌道は1に到達するはずです。oについて解くと ln 27 ÷ ln(4/3) = 11.46 になります。これを十二回の3倍化とみなせば、それぞれに二回の半減が伴うため、全部で三十五ステップ程度になります。
  
  $(\frac{3}{4})^{o} = \frac{1}{n} ⟹ o = \frac{ln 27}{ln ( 4/3 )} = \frac{3 . 2958}{0 . 28768} = 11.46$
3. それでは、ツールに27を入力してみましょう。全停止時間は111と表示されます。その内訳は3倍1回あたりの半減回数に示されており、3倍操作が41回、半減操作が70回となっています。予測値から3.58倍もずれていることになります。したがって、27はごく一般的な初期値ではないことがわかります。
  
  $o = 41, e = 70, t = o + e = 111, \frac{41}{11 . 46} = 3.58$
4. +1を取り除いてみると、軌道は純粋な掛け算になります。27に対して41回の3倍化と70回の半減を行うのです。その積は0.8341であり、ツールはそれを「+1を取り除いた軌道」の下に表示します。もし+1が何の影響も与えないのであれば、この値はぴったり1になるはずです。1を下回るのは、それぞれの+1が半減のプロセスに少しずつ余分な削りしろを与えているからです。奇数のステップが一度も発生しない2の累乗の場合は、ぴったり1になります。
  
  $L = n \cdot \frac{3 ^{o}}{2 ^{e}} = 27 \cdot \frac{3 ^{41}}{2 ^{70}} = 0.8341 < 1, 2^{k} \cdot \frac{3 ^{0}}{2 ^{k}} = 1$
5. この式を変形します。到達した値をLと置くと、n·3^o ÷ 2^e = L となります。両辺の底を2とする対数をとれば e = o·log₂3 + log₂(n/L) となり、これを o で割ることでツールが表示する比率が得られます。27の場合は 1.58496 + 0.12236 = 1.70732 となり、ツールはこれを四捨五入して1.7073と表示します。1へと到達する軌道において、この比率が log₂3 = 1.5850 を下回ることは決してありません。この下限に最も近づくのは、初期値の大きさに対して3倍操作の回数が最も多くなる軌道です。100,000以下の範囲で、27以上にこの下限へ近づく数はありません。
  
  $\frac{e}{o} = lo g_{2} 3 + \frac{lo g _{2} ( n / L )}{o} = 1.58496 + \frac{lo g _{2} ( 27/0 . 8341 )}{41} = 1.58496 + 0.12236 = 1.70732$
6. 半減の回数が不足する軌道、それが「長い軌道」の正体です。ここに、27と、スキャンの三つの範囲でトップに立つ三つの初期値があります。比較のために26も並べてみましょう。典型的な初期値なら、一回の3倍化あたり平均して約二回の半減があります。しかし、ここの記録保持者たちはすべて1.70から1.74の間で動いています。軌道は3倍化を浪費するばかりで、割る回数を回収できていないのです。
  
  $n 2627871 6, 171 77, 031 t 10111178261350 o 2416596129 e 870113165221 e / o 4.0000 1.7073 1.7385 1.7188 1.7132$
7. 2⁷¹ までのすべての初期値（およそ 2.36 × 10²¹ 個）は、欧州のスーパーコンピュータを用いて David Bařina によって検証され、2025年に発表されています。そのすべてが終着点へと到達しました。それほど巨大な数になると、終着点までの道のりはどのくらいになるのでしょうか。ln(2⁷¹) は 49.213 です。したがってヒューリスティクスによれば、この規模の一般的な数であれば、3倍操作が171回、ステップ数にして約513回と予測されます。
  
  $n = 2^{71} \approx 2.36 \times 1 0^{21} : o \approx \frac{71 ln 2}{ln ( 4/3 )} = \frac{49 . 213}{0 . 28768} = 171, t \approx 3 o = 513$
8. しかし、この問題を面白くしているのは一般的な数ではありません。検証された各範囲における平均全停止時間（59.60、84.98、107.54ステップ）に対して、最長記録を持つ数はそれぞれ2.99倍、3.07倍、3.25倍ものステップ数を要しています。この最後の倍率を当てはめると、2⁷¹ 付近で最も進行が遅い初期値は、500回ではなく1,700回に近いステップ数を必要とすることになります。ツールがスキャンする最大の範囲においてこの倍率は依然として上昇を続けているため、1,700という数字は単なる予測値というよりも下限と見るべきでしょう。ここでの数値はすべてヒューリスティクスに基づく外挿に過ぎません。とはいえ、それほど巨大な数について現在言えるのは、そのような推測だけなのです。
  
  $\frac{178}{59 . 60} = 2.99, \frac{261}{84 . 98} = 3.07, \frac{350}{107 . 54} = 3.25 ⟹ 3.25 \cdot 513 \approx 1, 700$
解答

なぜ12回ではなく41回もの3倍操作になるのでしょうか。それは、一般的な軌道では3倍操作1回に対して約2回の半減操作が行われるのに対し、27の軌道ではそれが1.7073回にとどまるからです。27の値を減少させているのは 1.7073 と log₂3 = 1.5850 の間にあるごくわずかな差に過ぎません。その差があまりにも小さいため、減少の過程に111ステップも要するのです。

もっとも、これらは何の証明にもなっていません。¾ という数字は、それぞれの 3n + 1 が2で何回割り切れるかをコイントスで決めているかのように扱うことで導かれています。しかし、そのコインは架空の存在です。ある軌道上での半減回数は、初期値 n を選んだ瞬間にすべて確定しています。いずれにせよ、これまで検証された 2.36 × 10²¹ 個の数は、例外なくすべて終着点に到達しました。解決に最も近づいたのはテレンス・タオです。彼は、無限大へ発散する関数 f(n) （どんなにゆっくり増加する関数であっても）に対して、ほとんどすべての初期値が最終的に f(n) を下回ることを証明しました。ここでの「ほとんどすべて」とは、対数密度が1であることを意味しています。しかし、ほとんどすべてとは「すべて」ではありません。このわずかな隙間にこそ、未だにこの問題の難しさが潜んでいるのです。

$\frac{e}{o} = lo g_{2} 3 + \frac{lo g _{2} ( n / L )}{o} o \to \infty lo g_{2} 3 = 1.5850$

参考文献 (3)

The verification limit the page quotes, and where the 2.36 × 10²¹ comes from: David Bařina, "Improved verification limit for the convergence of the Collatz conjecture", The Journal of Supercomputing 81(1), 1–14, 2025. doi:10.1007/s11227-025-07337-0
The strongest partial result, which the answer quotes: Terence Tao, "Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values", Forum of Mathematics, Pi 10, e12, 2022 (posted 2019). doi:10.1017/fmp.2022.8
Where the Erdős line comes from, and the standard survey of the problem: Jeffrey C. Lagarias, "The 3x + 1 problem and its generalizations", American Mathematical Monthly 92(1), 3–23, 1985.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。