指数法則、そしてなぜ a⁰ は 1 になるのか

底とふたつの指数を選んでみてください。三つの指数法則の計算が並んで示されます。その下の階段は、a⁰ と a⁻ⁿ がどこから来るのかを表しています。ゼロの段に別の数字を置いて、数値の列が階段ではなくなる様子を確かめることもできます。

計算例 — 指数法則、そしてなぜ a⁰ は 1 になるのか

0の段	1
−1の段	1/2
底で割るステップ	6 / 6
すべてのステップを等しく保つ値	1

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

誰も a⁰ が 1 だと決めたわけではない 🖖

2⁰ = 7と仮定するを押してみてください。2の累乗を縦に並べると、8、4、2と続き、空白を挟んで 1/2、1/4、1/8 となります。一段下がるごとに必ず 2 で割られていますね。この空白に 7 を入れると、二箇所で同時に矛盾が生じます。7 へ入る段では 2/7 で割ることになり、7 から出る段では 14 で割ることになるからです。すべての段の変化を一定に保てる数は一つしかありません。他のボタンも試し、底を 10 や 20 に変えてみましょう。どんな場合でもその数は 1 になります。九つの候補値を二十種類の底すべてで試しても、条件を満たすのは常にただ一つだけです。それでは空白の下を見てください。そこでも 1/2、1/4、1/8 と同じ割り算が続いています。そこに第二の規則は導入されておらず、またその必要もありませんでした。これが負の指数の意味するすべてです。

教科書にある三つの法則、根底にある一つの概念 🖖

一番上の行では 2³ × 2² を因数として書き出しています。三つの 2 の横に二つの 2 を並べれば、五つの 2 になるという単純な理屈です。割り算では因数を集める代わりに打ち消し合うため、指数は引き算になります。累乗の累乗ではその数える操作自体を数えるため、掛け算になります。これが本当に役立つのは、図で表せる範囲を越えたときです。m と n を負の値にすると「a を数える」という考え方は意味を失いますが、それでも三つの法則はすべて成り立ちます。底を 2 から 12、指数を −6 から 6 に設定して、両辺が正確に計算できる 5,229 個のすべての状態で確かめてみてください。物を数えるという直感が整数の規則を裏付け、その規則が今度は図に描けない場合の値を必然的に決定してくれるのです。

法則の拘束力が及ばなくなるただ一つの場所 🖖

底をゼロにするを押してみてください。三つの法則のうち、二つはそのまま成り立ちます。0³ × 0² は 0⁵ で、(0³)² は 0⁶ となり、計算結果はすべて 0 です。しかし割り算の行には答えが一切表示されません。0³ ÷ 0² は 0 ÷ 0 を求めることになるからです。このはしごをさらに下ることを阻む障壁が、ここで初めて姿を現します。列は 0、0、0 と下りてきて停止します。どの段階も割り算で進んできたものの、今回は 0 で割ることになるからです。その結果、a⁰ を 1 に帰着させる論理はこの段には届きません。この点には、正しい二つの規則がそれぞれ異なる答えを持って辿り着くのです。a⁰ = 1 は 0 を除くすべての底で成り立ちます。一方、0ⁿ = 0 は 0 を除くすべての指数で成り立ちます。一方の軸に沿ってこの点に近づけば xᵞ は 1 に近づき、もう一方の軸から近づけば 0 に近づきます。つまり極限は存在しないため、極限を扱う文献ではこの記号を定義しません。JavaScript と Python の答えはどちらも 1 です。空積が 1 であることに加え、二項定理は x = 0 のときに x⁰ を 1 としないと破綻してしまうためです。誰も不注意でそう定めているわけではありません。この特異な場所に求める役割が、それぞれ違うというだけなのです。

全プロセスの詳細解説

a½ とは何か、そして誰がそれを決めたのか？ このツールが扱うのは整数の指数だけです。しかし、a⁰ の意味を強制した規則はそこでは止まりません。では、その規則が 1/2 に対してどのような意味を要求するのかを導き出してみましょう。

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1. ツールの三行目に示されている法則から出発し、目で確認できる例を使って確かめてみてください。累乗をさらに累乗すると、指数は掛け合わされます。
  
  $(a^{m})^{n} = a^{mn} ⟹ (3^{2})^{3} = 3^{6} = 729$
2. 今度はその同じ法則に、指数を 1/2、外側の累乗を 2 にして当てはめてみます。右辺は a¹ となり、つまり a のことです。
  
  $(a^{1/2})^{2} = a^{\frac{1}{2} \times 2} = a^{1} = a$
3. これが何を意味しているのか読み解いてみましょう。a½ とは、2乗すると a になる数、つまり平方根のことです。ここで新たな定義は何も行われていません。法則が他の解釈の入り込む余地を残さなかったのです。
  
  $a^{1/2} = a$
4. 全く同じ手順で、すべての累乗根が定まります。外側の累乗を 3 にすれば、3乗して a になる数が得られます。
  
  $(a^{1/3})^{3} = a^{1} = a ⟹ a^{1/3} = 3 a$
5. そして、さらなる規則を付け足すことなく、分数の指数も解決します。16 の 3/2 乗は、平方根の 3乗であるか、3乗の平方根であるかのどちらかですが、法則はこれらが一致すると告げています。4³ も √4096 も、ともに 64 です。
  
  $1 6^{3/2} = (1 6^{1/2})^{3} = 4^{3} = 64, (1 6^{3})^{1/2} = 4096 = 64$
6. ここで問題になるのは代数計算ではなく、どの根を選ぶのかという点です。−8 には −2 という実数の立方根が一つあり、さらに二つの複素数の立方根も存在します。三つのプログラムに計算させると、三つの異なる答えが返ってくるでしょう。実数の慣例に沿った −2、JavaScript が返す NaN、そして代わりに主値を取る Python が出力する 1 + i√3 です。
  
  $(- 8)^{1/3} \in {- 2, 1 + i 3, 1 - i 3}$
解答

a^(1/q) が a の q乗根になることは、a⁰ = 1 を強制したのと同じ法則によって必然的に導かれます。整数と分数の間で、新たな定義は一切作られていません。分数の指数が整数の指数のすべての規則に従うのはそのためです。純粋に選択の余地があるのは、ある数が複数の q乗根を持つときにどれを指すのかという点だけであり、(−8)^(1/3) をめぐる意見の不一致はすべてこの選択に起因します。正の底については正の根が一つだけ存在し、議論の余地はありません。教科書が分数の指数の法則を a > 0 として提示し、負の数のケースを複素数の章に委ねているのはこのためです。

$a^{p / q} = q a^{p} = (q a)^{p} (a > 0)$

参考文献 (2)

Where the two answers at 0⁰ come from, and why neither camp is careless: Donald E. Knuth, "Two Notes on Notation", The American Mathematical Monthly 99(5), 403–422, 1992. doi:10.2307/2325085
What the machines named in the same block actually do, measured rather than assumed: Measured in this repo: Node 22 gives Math.pow(0,0) = 1 and 0 ** 0 = 1; CPython gives 0 ** 0 = 1 and (-8) ** (1/3) = 1 + i√3, while JavaScript's Math.pow(-8, 1/3) is NaN. Asserted in scripts/check-compute.mjs.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。