正則タイル張りラボ

このページのすべては、一つの比較から出てきます。正 p 角形の内角は 180(p−2)/p 度。これを一点のまわりに q 枚並べると q·180(p−2)/p になります。360° より小さければ頂点には余裕があり、折れるほかありません。ちょうど 360° なら平らなまま。それより大きければ、平らな部品では組み立てられません。書き直せばこの三つの場合は (p−2)(q−2) が 4 より小さい・等しい・大きいであり、最初のものには整数解がちょうど 5 組、二つめにはちょうど 3 組あります。これは現代風の言い換えではありません。ユークリッドが『原論』第 13 巻を締めくくる注意そのもので、六つめの立体を、三角形 6 枚を一点に集めると「四直角になる」から平らになってしまう、として退けています。

立方体は、8 つの点を除けばどこも平らです。面の上を歩いても何も曲がりません。ところが頂点をまわると、平面なら 360° あるはずのところに 270° しかありません。足りない 90° が曲率で、ほかに居場所はありません。足してみましょう。8 × 90° = 720°。正二十面体でも 12 × 60° = 720°。正十二面体では 20 × 36° = 720°。この合計は決して動きません。正則かどうかを問わず、どんな凸多面体でも同じです。デカルトが 1630 年ごろに気づきました。これはオイラーの V − E + F = 2 が数えている 720° = 2 × 360° と同じものであり、『ピタゴラス』で見たガウス・ボネの定理でもあります。あちらでは三角形の角の超過が曲率 × 面積として面全体になめらかに広がっていましたが、こちらでは同じ量が点に集中しているのです。

五つの立体は、担えるより多くの理論を引き寄せてきました。ケプラーは『宇宙の神秘』（1596 年）でこれらを入れ子にし、当時知られていた六惑星の間隔を決めようとしました。美しい着想でしたが、誤りでした。彼は残りの生涯を、実際に合う軌道でそれを置き換えることに費やします。双曲の場合は、それを描く双曲平面が現れるまで待たねばなりませんでした。1950 年代にコクセターがその図を発表し、エッシャーがそれを見て作り方を尋ねます。その答えから四点の『円の極限』が生まれました。タイルが縁に向かって縮むのは、小さくなっているからではなく、円板が無限の面の地図だからです。辺の数を 7、頂点あたりを 3 にすれば、同じ構成を見ていることになります。

サッカーボールの形は意匠ではありません。面が五角形と六角形からなり、各頂点にちょうど三面が集まる閉じた立体を取り、五角形を数えてみてください。12 枚です。どれほど大きくても、六角形が何枚あっても、つねに 12 枚です。頂点あたり三面から 3V = 2E が出て、V − E + F = 2 はそこから五角形 12 枚に帰着します。六角形の枚数は完全に消えてしまうのです。これが、測らずに形から読み取るということです。サッカーボールは五角形 12 枚と六角形 20 枚。バックミンスターフラーレン C₆₀ も五角形 12 枚と六角形 20 枚。建物ほどの大きさのジオデシックドームにも、六角形のあいだに五角形がきっかり 12 枚隠れています。理由はこのページの 720° です。六角形は頂点で三枚集まるとちょうど 360°、つまり平らで何も寄与しません。720° はすべて五角形が担うほかなく、1 枚 60° なら 12 枚必要になります。多くのウイルスが正二十面体の殻をつくるのも同じ理由です。一種類のタンパク質の繰り返しで閉じた容器をつくる方法はごくわずかで、その内訳を 1962 年にカスパーとクルーグが突き止めました。

平面の場合は可能というだけでなく、最適です。面を等面積の領域に分けるあらゆる方法のうち、六角形のタイル張りは周の総和が最小になります。二千年にわたって予想され、2001 年にトーマス・ヘイルズが証明しました。蜂の巣は蜜蝋の経済の結果であって、美意識の結果ではありません。双曲の場合は、円板で見えるあの成長で元を取ります。外側の輪ほどタイルが多いのです。木の枝分かれも同じで、木は外側の枝を押し合わせずに平面へは描けません。平面が与える面積は r² に比例するだけだからです。双曲空間はそれより指数的に多くを与えるので、階層構造やスケールフリー・ネットワークは余裕をもって収まります。だから双曲埋め込みは、いまやそれらをモデル化し配置する標準的な方法になりました。しかもこの面は手に取れます。レタスやケール、サンゴが波打つのは、成長する縁が後ろの面の面積より速く長さを増やすからで、平面が受け止められる以上の周をもつ面は、うねるほかないのです。