電場ビジュアライザー

電荷を配置すると、電気力線と等電位線がリアルタイムで形成される様子が見られます。

初期値 — 電場ビジュアライザー

電荷 (q,x,y; ...)	1,0,0
電気力線	on
等電位線	off

上のコントロールを変えると、ここから結果が計算し直されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

この場を通る道のうち、いくつかは完全に無料である 🖖

等電位線を表示すると、図に第二の曲線の族が現れます。電荷をそのリングのどれかに沿って滑らせるのに必要な仕事は、ちょうどゼロです。少しではなくゼロで、どれだけ回っても変わりません。リング上のどの点も同じ電位にあるからです。これが場を保存的にしている性質で、帰結はもっと鋭いものです。どんなに曲がりくねっていてもよい任意の閉じた経路で電荷を運べば、全体の仕事はゼロに戻ります。さらに、電気力線と等電位線はどのプリセットでも、どの場所でも必ず直角に交わることに注目してください。これは飾りではありません。場は電位が最も急に下る向きを指し、最急降下の向きは、いま立っている等高線に対して常に垂直だからです。

目に見えない力を可視化する 🖖

このツールは、目に見えないもの——電荷のまわりの電気的な影響——を絵に変えます。各線は、小さな正の試験電荷がたどる道筋を描いています。正電荷から遠ざかり、負電荷へと向かうのです。いちばん役立つ習慣は線の間隔に注目すること。線が混み合う場所では電場が強く、広がる場所では弱くなります。線の密度こそが、力を目に見える形にしたものです。

なぜ電荷を空中に固定できないのか 🖖

同符号の電荷を二つ置くと、その間に電場がちょうどゼロになる中性点が現れます。休息の場所のように見えますが、実際はくぼみではなく鞍点です。少し押すだけで試験電荷は逃げ出します。アーンショーの定理(1842年)は、固定した電荷のどんな配置も別の電荷を安定な静的平衡に保てないことを証明しました。同じ数学が、磁石だけで磁石を浮かせることも禁じます——必ず回転・反磁性・能動制御が必要です。

全プロセスの詳細解説

4単位離れた2つの電荷による双極子配置 6 ステップ
大きさが等しく符号が反対の2つの電荷が 4 単位離れて置かれている。それらの点電荷の中点における電場と電位を求め、さらに遠方における電場の振る舞いを求めよ。これは双極子の配置である。(-2, 0) に q₁ = +1、(+2, 0) に q₂ = -1 があり、原点にプローブが置かれている。
1. 重ね合わせは静電気学のすべてである。各電荷は他の電荷が存在しないかのように自身の電場を作り、それらのベクトルを足し合わせる。ここで重要なベクトルは電荷からプローブへ向かうベクトルであり、これによって q の符号が、電場が電荷から遠ざかる向きに向かうのか、それとも電荷へと戻る向きに向かうのかを決定づける。
  
  $E (p) = i \sum q_{i} \frac{p - x _{i}}{∣ p - x _{i} ∣ ^{3}}, p = (0, 0)$
2. 正の電荷は 2 単位左側に位置しているため、プローブへ向かうベクトルは右向きに 2 単位となり、分母にある 2 の 3 乗によって 0.250 が得られる。正電荷であり電場は外向きとなるため、この寄与は右を指す。
  
  $q_{1} = + 1, x_{1} = (- 2, 0) : r_{1} = (2.000, 0.000), r_{1} = 2.000, E_{1} = \frac{+ 1 \cdot ( 2 , 0 )}{2 ^{3}} = (0.250, 0.000)$
3. 負の電荷は 2 単位右側に位置しているため、そのベクトルは左を指すが、q が負であるため再び反転する。2 回の反転により、この寄与もまた右を指すことになる。ここで立ち止まって考えてみよう。電荷はプローブの反対側に位置し、かつ互いに反対の符号を帯びており、これら 2 つの反対関係が重なり合うのではなく互いに打ち消し合っているのである。
  
  $q_{2} = - 1, x_{2} = (2, 0) : r_{2} = (- 2.000, 0.000), r_{2} = 2.000, E_{2} = \frac{- 1 \cdot ( - 2 , 0 )}{2 ^{3}} = (0.250, 0.000)$
4. したがって、2 つの寄与は反発し合うのではなく順に足し合わされ、単独の電荷が 0.250 を与える場所で、この対は 0.500 をもたらす。
  
  $E = E_{1} + E_{2} = (0.500, 0.000), ∣ E ∣ = 0.500$
5. 電位は、同じ 2 つの電荷に対して逆の振る舞いをする。V はスカラーであるため、q の符号のみを反映し、2 つの距離は等しい。各項は +0.500 と -0.500 となり、中点では V = 0 となる。電場と電位は一つの物理量を異なる見方で測ったものではない。ここでは同じ点で、一方が 2 倍になり、他方が消滅しているのである。
  
  $V = i \sum \frac{q _{i}}{r _{i}} = \frac{+ 1}{2.000} + \frac{- 1}{2.000} = 0.500 - 0.500 = 0.000$
6. ここで中点を離れよう。垂直二等分線上の高さ y の位置にプローブを置くと、両方の電荷からの距離は等しくなる。対称性により垂直成分は相殺し、水平成分のみが残るため、直線全体を表す 1 つの公式が得られる。その公式に y = 0 を代入すると、すでに得られている数値を再現しなければならないが、実際に再現される。これにより、この公式が新しい物理ではなく同じ物理を表していることがわかる。
  
  $p = (0, y) : E_{y} = 0, E_{x} = \frac{2 q a}{( a ^{2} + y ^{2} ) ^{3/2}}, a = 2; y = 0 : \frac{4}{8} = 0.500$
解答

ツールは原点において |E| = 0.500 と表示する。これは同じ向きを指す 2 つの寄与 0.250 から組み合わされたものであり、同点での電位は V = 0.000 である。心にとどめるべきはステップ 6 である。遠方では、2 つの 1/r² 電場はほぼ完全に相殺され、残る成分は電荷間の距離によって決まり、1/y³ に比例して減衰する。これは単一の電荷よりも距離の乗数がまるまる 1 乗分速い減衰である。比率は 2a/y = 4/y となるため、y = 20 では、この電荷対が生み出す電場は、同サイズの単一電荷がそこで生み出す電場の 5 分の 1 をわずかに下回る程度にしかならない。その理由は電場の 1 行上に表示されている。すなわち Q_total = 0.00 である。1/r² の項は全電荷に帰属するものであり、全電荷がゼロである場合、感知できるのは電荷の離隔のみとなる。中性の電荷対は不可視なのではない。短距離的なのであり、両者は異なるものである。

$y ≫ a : E_{x} \to \frac{2 q a}{y ^{3}} = \frac{4}{y ^{3}}, \frac{E _{x}}{q / y ^{2}} = \frac{2 a}{y} = \frac{4}{y}; y = 20 : 0.2$
3単位離れた2つの同一の正電荷 5 ステップ
3 単位離れた 2 つの同一の正電荷。中点における電場と電位を求め、そこに放たれた正の試験電荷が留まるかどうかを判定せよ。これは2つの正電荷の配置である。(-1.5, 0) に q₁ = +1、(+1.5, 0) に q₂ = +1 があり、原点にプローブが置かれている。
1. 同じプローブ、同じ重ね合わせであるが、結果は逆となる。両方の電荷は原点から 1.500 離れており、ともに正であるため、2 つの寄与は同じ大きさで完全に反対の向きを指す。それらは打ち消し合い、中点における電場は 0 となる。
  
  $E_{1} = \frac{( 1.500 , 0 )}{1. 5 ^{3}} = (0.444, 0.000), E_{2} = \frac{( - 1.500 , 0 )}{1. 5 ^{3}} = (- 0.444, 0.000) ⟹ ∣ E ∣ = 0.000$
2. 電位は打ち消し合うことができない。スカラーには相殺する方向が存在しないからである。両方の項は +0.667 であり、V は 1.333 となる。E = 0 であっても V ≠ 0 である点はパラドックスではない。E は V の傾きであり、傾きがゼロであることは高さについて何も語らない。
  
  $V = \frac{1}{1.500} + \frac{1}{1.500} = 0.667 + 0.667 = 1.333$
3. 傾きゼロとは、山頂、谷底、あるいは鞍点（峠）のいずれかであり、ボールを静止させられるのはその 3 つのうち 1 つだけである。電荷を結ぶ直線に沿って試験電荷を距離 x だけわずかに動かす。近い方の電荷が遠い方の電荷よりも強く押すようになり、その差分は原点へと向かい、復元剛性は 4q/a³ = 1.1852 となる。
  
  $E_{x} (x, 0) = \frac{q}{( a + x ) ^{2}} - \frac{q}{( a - x ) ^{2}} = \frac{- 4 q a x}{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{2}} \approx - \frac{4 q}{a ^{3}} x = - 1.1852 x$
4. 代わりに垂直方向にわずかに動かしてみよう。今度は両方の電荷が試験電荷の後方に位置し、ともに同じ方向へ押し出すため、試験電荷はそのまま進み続ける。同じ 2 つの電荷、同じプローブでありながら、結論は逆となる。そして反発剛性は 2q/a³ = 0.5926 であり、復元剛性のちょうど半分である。
  
  $E_{y} (0, y) = \frac{2 q y}{( a ^{2} + y ^{2} ) ^{3/2}} \approx + \frac{2 q}{a ^{3}} y = + 0.5926 y, E_{z} \approx + 0.5926 z$
5. 面外方向も再び垂直方向の場合と同様である。2 点の軸の周りの方向を互いに区別するものは何もないからである。したがって、3 つの剛性（1 つが負、2 つが正）が存在し、それらの和はゼロとなる。ほぼゼロなのではなく、正確にゼロである。
解答

ツールは、相殺する 2 つの寄与 0.444 から |E| = 0.000 と表示し、相殺しない 2 つの寄与 0.667 から V = 1.333 と表示する。このゼロ点は谷ではなく鞍点（峠）である。電荷を結ぶ直線に沿っては安定であり、それに直交する方向には不安定である。これは電荷をどこに置くかという選択の問題では決してない。3 つの剛性は V の 3 つの 2 階導関数であり、それらの和は E の発散に等しく、電荷が存在しないあらゆる場所でゼロとなる。したがって、試験電荷を引き戻すあらゆる方向は、それを推し進める方向によって相殺されなければならない。いかに巧みに配置しようとも、電荷の固定配置によって別の電荷を静止させ続けることはできない。これがアーンショーの定理であり、ツールが表示した出発点の 3 つの数値から今まさに導き出されたものである。したがって、荷電粒子を実際に捉え続けるものは、静電気学単独によるものではない。

$\frac{\partial E _{x}}{\partial x} + \frac{\partial E _{y}}{\partial y} + \frac{\partial E _{z}}{\partial z} = - \frac{4 q}{a ^{3}} + \frac{2 q}{a ^{3}} + \frac{2 q}{a ^{3}} = - 1.1852 + 0.5926 + 0.5926 = 0$

参考文献 (1)

Insight block 3 — why the null point between two like charges is a saddle and not a trap: S. Earnshaw, "On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminiferous ether." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 7, 97–112, 1842.

42Math チーム · 更新 2026-07-29

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例題

単一の + - 原点に電荷を一つ置くと、電場はどこでも原点からまっすぐ外向きになり、等電位線はその周囲を囲む円になる。特別な点をもたない唯一のプリセット。
双極子 - 二つの電荷のちょうど中間を通る直線上では、電位はどこでも正確に0になるが、電場は0ではない。中心では0.500、そこから上へ二単位の位置では0.177である。電位が0でも、電場が0とは限らない。
2つの + - 中心では電場が正確に0になり、電位は1.3333になる。双極子と対照的に、電場は0だが電位は0ではない。
四極子 - 正電荷二つと負電荷二つを、正方形の頂点に配置する。中心では電場も電位も正確に0になる。両方が消えるプリセットは、ここではこれだけである。