等加速度直線運動 (SUVAT) 計算機

運動方程式を解く — 3つ入力すれば残り2つがわかる

初期値 — 等加速度直線運動 (SUVAT) 計算機

s 変位, m	36
u 初速度, m/s	5
v 最終速度, m/s	13
a 加速度, m/s²	2
t 時間, s	4

上のコントロールを変えると、ここから結果が計算し直されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

なぜ文字は5つなのに、独立した式は2つだけなのか 🖖

SUVATの5つの文字は5つの独立した事実のように見えますが、実はそうではありません。SUVATの式はすべて、等加速度直線運動の基本式である v=u+at と s=ut+½at² を変形したものにすぎません — 残りの3つの式 (s=(u+v)/2·t、v²=u²+2as、s=vt-½at²) は、一方をもう一方に代入すればそのまま導けます。だからこそ、3つの値さえ分かれば残り2つが決まるのです:実際に解いているのは2つの未知数に対する2つの式にすぎません。

変位はグラフの面積そのもの 🖖

このツールが描く速度-時間グラフは、加速度が一定なので直線になります。その直線の下の網かけ部分がそのまま変位 s であり、この部分は台形なので、その面積は平均速度 (u+v)/2 と時間の積に等しくなります。ポイント: 加速度が一定なら、距離は面積としてグラフから直接読み取れ、式を操作する必要はありません。

ガリレオの奇数の法則 🖖

微積分よりずっと前に、ガリレオは静止から加速する物体が等しい時間間隔で 1 : 3 : 5 : 7 の比で距離を進むこと——つまり常に奇数——に気づきました。これらを足すと 1, 4, 9, 16、すなわち平方数になり、まさにこれが s = ½at² の理由です。彼は17世紀に斜面でボールを転がしてこれを導き出しました。ニュートンが方程式として書き記す数十年も前のことです。

運動学の理論 — 5つの運動方程式

SUVAT方程式の選び方：どの文字が欠けているか

等加速度運動は5つの量を結びつけます — 変位 s、初速度 u、終速度 v、加速度 a、時間 t。問題はいつも3つを与え、4つ目を尋ねます。下の各式はちょうど1文字を含みません。必要な式は、あなたが知らず、かつ求めてもいない量を含まない式です。

s なし — v, u, a, t を使う v = u + at

v なし — s, u, a, t を使う s = ut + ½at²

a なし — s, u, v, t を使う s = ½(u + v)t

t なし — s, u, v, a を使う v² = u² + 2as

u なし — s, v, a, t を使う s = vt − ½at²

s なし — v, u, a, t を使う

与えられるもの: 初速度 u、終速度 v、加速度 a、時間 t のうち3つ。変位はまったく現れません。

式: v = u + at

計算例: u = 25 m/s、v = 0、t = 5 s → a = (0 − 25) / 5 = −5 m/s²

この場合を開く: 停止までのブレーキ

s なし — v, u, a, t を使う. 速度-時間グラフ：v は時間 t 後の直線の高さ。変位は関係しません。初速度 u、終速度 v、加速度 a、時間 t のうち3つ。変位はまったく現れません。 — 速度-時間グラフ：v は時間 t 後の直線の高さ。変位は関係しません。

v なし — s, u, a, t を使う

与えられるもの: 初速度 u、加速度 a、時間 t。求めるのは進んだ距離であって、終速度ではありません。

式: s = ut + ½at²

計算例: u = 0、a = 9.81 m/s²、t = 3 s → s = 0 + ½ · 9.81 · 3² = 44.1 m

この場合を開く: 静止状態からの落下

v なし — s, u, a, t を使う. 直線の下の面積は、長方形 ut と三角形 ½at² に分かれます。初速度 u、加速度 a、時間 t。求めるのは進んだ距離であって、終速度ではありません。 — 直線の下の面積は、長方形 ut と三角形 ½at² に分かれます。

a なし — s, u, v, t を使う

与えられるもの: 初速度 u、終速度 v、時間 t。加速度は未知、あるいはそもそも問題になりません。

式: s = ½(u + v)t

計算例: u = v = 12 m/s、t = 6 s → s = ½(12 + 12) · 6 = 72 m

この場合を開く: 等速運動

a なし — s, u, v, t を使う. 台形の面積：u と v の平均に t を掛けたもの。初速度 u、終速度 v、時間 t。加速度は未知、あるいはそもそも問題になりません。 — 台形の面積：u と v の平均に t を掛けたもの。

t なし — s, u, v, a を使う

与えられるもの: 変位 s、2つの速度のうち一方、そして加速度。時計は一度も動かしません。

式: v² = u² + 2as

計算例: s = 5 m、u = 15 m/s、a = −9.81 m/s² → v² = 225 − 98.1、つまり v = ±11.3 m/s

この場合を開く: ボールが2回通過

t なし — s, u, v, a を使う. 同じ高さ、2つの速度：± は上昇と下降を表します。変位 s、2つの速度のうち一方、そして加速度。時計は一度も動かしません。 — 同じ高さ、2つの速度：± は上昇と下降を表します。

u なし — s, v, a, t を使う

与えられるもの: 終速度 v、加速度 a、時間 t。初速度は未知で、必要もありません。

式: s = vt − ½at²

計算例: v = 0、a = −3 m/s²、t = 25 s → s = 0 − ½(−3)(25²) = 937.5 m

この場合を開く: 着陸滑走

u なし — s, v, a, t を使う. 終点から逆算：vt から減速が削り取る分を引いたもの。終速度 v、加速度 a、時間 t。初速度は未知で、必要もありません。 — 終点から逆算：vt から減速が削り取る分を引いたもの。

参考文献 (1)

Insight block 3 — the odd-number rule, and the ramps it came from: G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Leiden, 1638, Third Day — distances in the ratio 1 : 3 : 5 : 7 over equal times, which sum to the squares.

全プロセスの詳細解説

5 m/s で出発し 2 m/s² で加速する車 5 ステップ
自動車が 5 m/s で発進し、2 m/s² で 4 秒間加速する。最終的な速度と移動距離を求めよ。さらに、中間地点を通過する時刻を求めよ（この時刻は経過時間の半分ではない）。
1. まず速度を求める。これは加速度の定義式を変形したものであり、得られる速度の増加分は加速度と時間の積に等しいためである。
  
  $v = u + a t = 5 + 2 (4) = 13 m/s$
2. 変位は、初速度のまま 4 秒間移動した場合の距離に、加速度によって加わる距離を足し合わせたものである。この 2 つの項は 20 m と 16 m であり、まだ一方のみが支配的というわけではない。
  
  $s = u t + \frac{1}{2} a t^{2} = 5 (4) + \frac{1}{2} (2) (16) = 20 + 16 = 36 m$
3. 次に、時間 t を含まない公式で確認する。両辺はともに 169 となるが、これは新しい事実ではない。最初の 2 つの公式から t を消去したものに過ぎないため、両辺の一致は当然であり、不一致は計算上の誤りを意味する。
  
  $v^{2} = u^{2} + 2 a s : 169 = 25 + 2 (2) (36) = 25 + 144 = 169 ✓$
4. 平均速度は始点と終点の速度の平均となるが、これが成り立つのは加速度が一定である場合に限られる。これに時間を掛けると、同じ変位が再び得られる。
  
  $\overset{v}{ˉ} = \frac{u + v}{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9 m/s, 9 \times 4 = 36 m$
5. 次に中間地点を考える。距離の半分は 18 m であり、二次方程式を解くとその時刻は 2 s ではなく 2.424 s と求まる。t = 2 s の時点で、自動車は 36 m のうち 14 m しか進んでいない。
  
  $5 t + t^{2} = 18 ⟹ t = \frac{- 5 + 97}{2} = 2.424 s$
解答

ツールは s = 36 m および v = 13 m/s と出力する。ステップ 5 は特に覚えておくべき内容である。加速運動においては、時間の半分と距離の半分は異なる瞬間であり、加速する道のりの後半は常に前半よりも早く通過する。距離に基づいて追い越しを計画したときに感覚のズレが生じるのはこのためである。目に見える車間距離は、空間的に詰まるのではなく、残された時間において詰まるからだ。ステップ 3 はもう一つの重要な教訓を示している。5 つの SUVAT 公式に対して独立した事実は 2 つだけであるため、3 つ目の公式は計算の正しさを検証できても、新しい情報を追加することは決してない。

$half the time \to 14 m; half the distance \to 2.424 s$

学習の道すじ

物を投げること

この次に投射運動

42Math チーム · 更新 2026-08-17

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

物理学のレッスン一覧 →

例題

加速する車 - u=5 m/s、a=2 m/s²、t=4 s → v=13 m/s、s=36 m
停止までのブレーキ - u=25 m/s、v=0、t=5 s → a=-5 m/s²、s=62.5 m(停止までブレーキ)
ボールが2回通過 - s=5 m、u=15 m/s、a=-9.81 m/s² → 上に投げたボールは上昇時と下降時の2回、5 mの高さを通過する
等速運動 - u=v=12 m/s、t=6 s → a=0、s=72 m(加速度なし)
静止状態からの落下 - u=0、a=9.81 m/s²、t=3 s → v=29.4 m/s、s=44.1 m(静止状態から落下)
着陸滑走 - v=0、a=-3 m/s²、t=25 s → s=937.5 m（接地速度 u=75 m/s は使わずに済む）

YouTube

Numberphile·Zeno's Paradox