Explorador da radiação de corpo negro

Ajuste a temperatura para ver como a forma e o comprimento de onda de pico da emissão térmica mudam.

Exemplo resolvido — Explorador da radiação de corpo negro

Comprimento de onda de pico de Wien	502.04 nm
Banda espectral do pico	Visível

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Explorador da radiação de corpo negro

A lei de Planck dá o brilho que um emissor térmico perfeito produz em cada comprimento de onda, a partir de um único número: a sua temperatura. Vale a pena conhecê-la não só por estar certa, mas porque chegar a ela obrigou a física a aceitar que a energia vem em pacotes discretos — esta curva é onde o quântico começou.

O que significa cada símbolo

B(λ, T): a radiância espectral — brilho por unidade de comprimento de onda. O gráfico desta página mostra apenas a sua forma; o painel não dá qualquer valor de radiância.
λ_max: o comprimento de onda do pico, o único número que esta página imprime: 502.04 nm a 5772 K, 241.48 nm a 12000 K, 9659.24 nm a 300 K.
h: a constante de Planck. Ponha-a a zero e a lei desaba na previsão clássica que falhou.
k_B T: a escala de energia térmica. Um comprimento de onda é brilhante quando o seu fotão custa menos do que isto, e escuro quando custa muito mais.

De onde vem a fórmula

Conte de quantas maneiras a luz pode vibrar dentro de uma caixa quente. Os comprimentos de onda curtos cabem de muitas mais maneiras do que os longos — a contagem cresce como 1/λ⁴. A física clássica entrega então a cada uma delas a mesma energia média, k_B T.
Essa previsão é um desastre. Sem um comprimento de onda mínimo, a energia total irradiada é infinita — qualquer objecto quente, incluindo você, inundaria a sala de ultravioleta. É a catástrofe do ultravioleta, e não foi um erro de arredondamento mas uma contradição frontal com o facto de os objectos quentes ficarem ali sossegados.
A reparação de Planck: uma vibração de frequência ν só pode transportar energia em múltiplos inteiros de hν. Comprimento de onda curto significa hν grande, portanto quando hν excede em muito k_B T não há energia térmica suficiente para comprar sequer um pacote, e esse modo fica às escuras.
É esse o e^(hc/λk_B T) − 1 no denominador da lei. Suprime exponencialmente os comprimentos de onda curtos, e é isso que faz a curva virar em vez de subir para sempre — e uma curva que vira tem um pico. Derive para o encontrar e obtém o comprimento de onda que esta página apresenta.

Como ler o que vê

A curva é desenhada normalizada ao seu próprio máximo, pelo que a sua altura não transporta informação — qualquer temperatura chega ao topo do enquadramento. Só a forma e a posição do pico têm aqui significado. Na realidade um corpo mais quente é mais brilhante em todos os comprimentos de onda, e não apenas mais azul, e essa diferença está deliberadamente invisível neste gráfico.

Pressupõe: Um corpo em equilíbrio térmico a uma única temperatura definida, opaco, que absorve tudo o que nele incide e nada reflecte. As superfícies reais ficam aquém disso por um factor chamado emissividade, que baixa a curva inteira sem alterar a sua forma nem o seu pico.
Falha quando: A lei de Planck descreve apenas emissão térmica. Um tubo fluorescente, um letreiro de néon e um laser produzem luz sem estarem quentes, e os seus espectros são riscas estreitas que esta curva não aproxima a temperatura nenhuma. A página mostra também um limite mais discreto: carregue a predefinição de temperatura ambiente e o pico passa para 9659.24 nm, muito para lá da margem direita, de modo que o gráfico deixa de desenhar qualquer marca de pico. A física não mudou; a janela é apenas estreita demais.

O pico do Sol é verde 🖖

Carregue o exemplo do Sol: a ferramenta informa um pico em 502 nm e pinta sua amostra de cor em verde, porque 502 nm é luz verde. Ainda assim a luz solar é branca. Um pico é um único comprimento de onda, enquanto seu olho soma a curva inteira, e um espectro de Planck a 5772 K entrega bastante vermelho e azul de cada lado desse máximo — na média, dão branco. A amostra é honesta quanto ao pico e enganosa quanto à estrela. Vale manter em vista: dos quatro exemplos, só o pico do Sol cai na faixa visível; o filamento fica em 1035 nm no infravermelho e a estrela de 12.000 K em 241 nm no ultravioleta.

Por que tudo o que é quente brilha 🖖

Tudo o que está acima do zero absoluto emite luz. Esta ferramenta mostra a regra que explica o fenómeno: a forma do espectro de um corpo negro depende apenas da sua temperatura, nunca do material de que é feito. Um pedaço de ferro e uma estrela distante à mesma temperatura produzem exatamente a mesma curva. A cor funciona como um termómetro: ao passar do rubro ao branco-azulado, lemos a temperatura diretamente no brilho.

O universo é o corpo negro perfeito 🖖

O corpo negro mais impecável já medido não está em nenhum laboratório: é o céu inteiro. A radiação cósmica de fundo em micro-ondas, um vestígio de cerca de 380.000 anos após o Big Bang, ajusta-se a um espectro de Planck a T = 2.725 K com precisão melhor que 0.01%, atingindo o pico próximo de 1.06×10⁻³ m na faixa de micro-ondas. O instrumento FIRAS da NASA não encontrou nenhum desvio maior que poucas partes em 10⁵: a luz mais antiga da cosmologia é também a curva térmica mais limpa da física.

Problema resolvido na íntegra

Constante de Wien a partir da lei de Planck para uma superfície de 5772 K 6 passos
A luz solar provém de uma superfície a 5772 K. Deduza a constante de Wien a partir da lei de Planck em vez de a procurar em tabelas, determine o comprimento de onda de pico — e, em seguida, obtenha a potência total emitida pelo Sol a partir desses mesmos dois números.
1. A lei de Planck dá a intensidade por unidade de comprimento de onda. O pico situa-se onde a sua derivada se anula, pelo que ao derivar — o resultado não será uma equação comum.
  
  $B_{λ} (T) = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5}} \frac{1}{e ^{h c / λk T} - 1}, \frac{\partial B _{λ}}{\partial λ} = 0$
2. A substituição do grupo adimensional x = hc/λkT reduz a derivada a uma equação transcendental sem raiz sob forma fechada. A iteração a partir de x = 5 converge em poucas passagens.
  
  $x = \frac{h c}{λk T} : x = 5 (1 - e^{- x}) ⟹ x = 4.9651$
3. Como x é um número puro, o produto λT é uma constante constituída apenas por h, c e k. É por esta razão que a constante de deslocamento de Wien existe: nada a respeito do objeto sobrevive à álgebra.
  
  $b = \frac{h c}{4.9651 k} = \frac{1.9864 \times 1 0 ^{- 25}}{6.8555 \times 1 0 ^{- 23}} = 2.8978 \times 1 0^{- 3} m K$
4. Divida pela temperatura. 502 nm corresponde ao verde, o que vale a pena assinalar — o pico de emissão do Sol ocorre no verde e o Sol parece branco, porque o olho integra toda a curva em vez de registar o seu máximo.
  
  $λ_{m a x} = \frac{b}{T} = \frac{2.8978 \times 1 0 ^{- 3}}{5772} = 5.0204 \times 1 0^{- 7} m = 502.04 nm$
5. A área sob esta mesma curva de Planck é a lei de Stefan, e é a quarta potência que torna as estrelas tão implacáveis: 10% mais quente significa 46% mais brilhante.
  
  $F = σ T^{4} = 5.6704 \times 1 0^{- 8} \times 577 2^{4} = 6.294 \times 1 0^{7} W/ m^{2}$
6. Multiplique pela área de superfície. Esta é a luminosidade solar, e concorda com o valor medido até aos algarismos indicados.
  
  $L = 4 π R_{⊙}^{2} F = 6.082 \times 1 0^{18} \times 6.294 \times 1 0^{7} = 3.828 \times 1 0^{26} W$
Resposta

502,04 nm e 3,83 × 10²⁶ W. O segundo número é o mais impressionante: a cor da luz solar e o raio do Sol chegam para determinar a sua luminosidade com quatro algarismos significativos, sem qualquer medição do brilho em todo o processo. Essa é a própria razão pela qual a astrofísica estelar funciona. Uma estrela está demasiado distante para ser pesada e é demasiado brilhante para que dela nos aproximemos, mas o seu espetro fornece uma temperatura, o tamanho angular dá o raio e a lei de Stefan converte o par num balanço energético — de onde derivam o tempo de vida na sequência principal e, eventualmente, uma supernova.

$λ_{m a x} = \frac{b}{T} = 502.04 nm; 4 π R_{⊙}^{2} σ T^{4} = 3.828 \times 1 0^{26} W$

Referências (3)

The distribution the curve is drawn from: M. Planck, "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum." Annalen der Physik 309(3), 553–563, 1901.
The 5772 K solar effective temperature the Sun preset uses: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.
The Wien displacement constant used to place the peak marker: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010, 2021.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-11

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Problemas de exemplo

Temperatura ambiente - A 300 K, o pico ocorre nos 9659 nm, ou 9,7 micrómetros, bem dentro do infravermelho e precisamente na faixa para a qual são concebidas as câmaras térmicas.
Fotosfera tipo solar - A 5772 K, o pico ocorre nos 502 nm. É a única predefinição cujo pico se situa na faixa visível. A ferramenta apresenta a amostra a verde, mas a luz solar é branca.
Estrela quente O/B - A 12000 K, o pico ocorre nos 241 nm, no ultravioleta. Ainda assim, a estrela parece branco-azulada, pois os nossos olhos recebem a cauda da curva, não o seu máximo.
Filamento incandescente - A 2800 K, o pico ocorre nos 1035 nm, para lá do extremo vermelho do espectro visível. Uma lâmpada de incandescência é sobretudo um aquecedor de infravermelhos que também emite luz.