Lições Interativas de Matemática e Ciências

Explorador da Gravidade Newtoniana

F = Gm₁m₂/r² — a lei universal da gravitação de Newton. Toda massa atrai toda outra massa, e dobrar a distância reduz a força a um quarto.

A carregar a simulação interativa...

a lei do inverso do quadrado e seus limites 🖖

A dependência 1/r² não é uma escolha arbitrária — ela surge da geometria. A gravidade se propaga como a luz de uma fonte pontual: o mesmo fluxo total atravessa qualquer esfera ao redor da massa, então a intensidade cai como 1/(4πr²). É por isso que todos os campos que se propagam isotropicamente em três dimensões compartilham o mesmo perfil 1/r². A lei se mantém em todos os lugares onde Newton a testou — planetas, pêndulos, marés —, mas falha em regimes de campo forte. O periélio de Mercúrio avança 43 segundos de arco por século a mais do que a gravidade newtoniana prevê. A relatividade geral substitui a força instantânea pela curvatura do espaço-tempo: a massa diz ao espaço como se curvar, e o espaço curvo diz à massa como se mover. Para a maioria das aplicações de engenharia e do sistema solar, a fórmula newtoniana é precisa a mais de uma parte por milhão.

A atração vai nos dois sentidos 🖖

A fórmula F = G·m₁·m₂/r² trata as duas massas de forma igual: a força que a Terra exerce sobre você é exatamente a que você exerce sobre a Terra — igual e oposta, como exige a terceira lei de Newton. Você não sai voando na direção dos objetos porque a aceleração é a força dividida pela massa: a enorme massa da Terra mal se mexe. A constante G ≈ 6.674 × 10⁻¹¹ é tão minúscula que a gravidade só se torna perceptível quando ao menos uma das massas é astronomicamente grande.

A força mais fraca de longe 🖖

Das quatro forças fundamentais da natureza, a gravidade é de longe a mais fraca. Compare dois prótons: a repulsão elétrica entre eles supera a atração gravitacional por um fator de cerca de 10³⁶. É por isso que um ímã do tamanho de uma moeda levanta um clipe vencendo a atração do planeta inteiro. A gravidade só domina o cosmos porque a massa, ao contrário da carga elétrica, nunca se cancela: apenas se soma.

Problema resolvido na íntegra

  1. Verificação da força gravitacional em relação à órbita real da Lua 5 passos

    Calcule a força gravítica Terra–Lua, verifique-a com a órbita real da Lua — e depois pergunte-se se a Terra é sequer a atração dominante sobre a Lua.

    1. Uma fórmula, três números, e o único cuidado necessário é com o quadrado. As distâncias entram duas vezes e as massas uma, pelo que um erro de 1% em r custa 2%.

    2. Multiplique o numerador, eleve o denominador ao quadrado, divida. A ferramenta apresenta este valor e mais nada na página é medido.

    3. A força não é a verificação — a aceleração é que o é, pois é isso que uma órbita mostra. Divida pela massa da Lua.

    4. Agora obtenha a mesma aceleração a partir da própria órbita: a Lua percorre 2πr em 27,32 dias, e uma órbita circular exige v²/r. A diferença de 1% é real e deve-se ao facto de a Terra também se mover — ambos os corpos orbitam em redor do seu centro comum.

    5. Por fim, aplique a mesma lei com o Sol no lugar da Terra. A razão das massas e a razão das distâncias opõem-se, e a razão das massas vence.

    Resposta

    1,98 × 10²⁰ N, e a resposta é não: o Sol atrai a Lua com 2,2 vezes mais força. Essa razão é um facto que depende apenas de massas e distâncias — o Sol é 333.000 vezes mais pesado e está 389 vezes mais distante, e 333.000/389² = 2,2 — pelo que se mantém independentemente do que se entenda por órbita. A consequência é verdadeiramente estranha: a trajetória da Lua em torno do Sol é em toda a parte côncava em relação ao Sol. Nunca recua em laço. O que a Terra faz não é manter a Lua capturada contra a atração do Sol; perturba uma órbita solar que as duas já partilham, razão pela qual a órbita da Lua é descrita em relação à Terra por convenção e não por necessidade.

Referências (1)
  • The law this tool evaluates, and the third-law pairing block 2 turns on: I. Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Book III, Proposition VII. London, 1687.

· Atualizado

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Astronomia & Espaço →

Problemas de exemplo

  • Terra–Lua - Terra–Lua: F ≈ 1.98 × 10²⁰ N — a força que mantém nossa Lua em órbita
  • Terra–Sol - Sol–Terra: F ≈ 3.54 × 10²² N — mantém a Terra em sua trajetória anual
  • Você–Terra - Você e a Terra (70 kg): F ≈ 687.4 N — esse é o seu peso
  • ISS–Terra - ISS e a Terra: F ≈ 3.65 × 10⁶ N — quase o mesmo g da superfície
  • Você–Júpiter - Você e Júpiter (70 kg): F ≈ 1735 N — você pesaria 2.5× mais do que na Terra