Lição
A teoria — Calculadora de Densidade Planetária
A densidade média é a massa total de um planeta dividida pelo seu volume total — um único número para todo o corpo. Não é a densidade de nada que se possa pegar na mão: é a média da crosta, do manto e do núcleo em conjunto.
O que significa cada símbolo
ρ- a densidade média, apresentada aqui em gramas por centímetro cúbico para que os números sejam comparáveis aos de materiais familiares — a água é 1, o ferro cerca de 7,9.
R- o raio do planeta,
6.371 × 10⁶m para a Terra. Entra ao cubo, pelo que um erro de 10% no raio altera a densidade em cerca de 30%. 3/4π- a constante geométrica que surge ao assumir uma esfera — nada de físico, apenas a forma.
De onde vem a fórmula
- A densidade é a massa sobre o volume:
ρ = M / V. Ainda nada sobre planetas. - Assumindo que o corpo é uma esfera, o seu volume é
V = (4/3)πR³. - Substituindo e simplificando:
ρ = M / ((4/3)πR³) = 3M / (4πR³). É essa a expressão na página e, com a massa e o raio da Terra, resulta em5.513 g/cm³.
- Pressupõe
- Uma esfera, e que tanto a massa como o raio são conhecidos. Nenhum dos dois é medido diretamente para um planeta distante: a massa decorre da sua atração gravítica sobre outro corpo, e o raio da quantidade de luz estelar que bloqueia — pelo que a densidade global herda as margens de erro de ambos.
- Falha quando
- Uma média oculta totalmente a estrutura, e a Terra é o exemplo mais evidente: a média é
5.513 g/cm³, mas o seu núcleo tem sensivelmente o dobro desse valor e a sua crosta cerca de metade. Dois planetas com estruturas muito diferentes podem ter exatamente a mesma densidade média, pelo que o número condiciona aquilo de que um mundo é feito sem nunca o determinar.
Prática
Verifique você mesmo
Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.
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O raio entra ao cubo, por isso um pequeno erro nele é um grande erro na densidade. Os
6.371 × 10⁶ mda Terra dão5.513 g/cm³. Aumente o raio 10% para7.008 × 10⁶e depois baixe-o 10% para5.734 × 10⁶. Os dois erros são do mesmo tamanho?Mostrar a resposta
Não, e a diferença vale a pena saber-se antes de anunciar uma barra de erro. Dez por cento a mais dá4.142 g/cm³, uma queda de 25%. Dez por cento a menos dá7.563 g/cm³, uma subida de 37%. Um cubo não é simétrico em torno de 1:1.1³ = 1.331mas0.9³ = 0.729. O mesmo deslize no raio custa metade mais num dos sentidos, e é da densidade tirada de um raio subestimado que menos se deve fiar. -
Carregue em Mercury e depois em Earth. As duas médias saem
5.427e5.513 g/cm³, menos de 2% de diferença. Isso faz deles mundos parecidos?Mostrar a resposta
Não — e as caixas da massa mostram a armadilha antes de qualquer correção: os5.972 × 10²⁴ kgda Terra contra os3.301 × 10²³de Mercúrio são um fator de dezoito. Um planeta grande comprime-se a si próprio, por isso a média da Terra exagera o que o seu material seria em repouso, enquanto Mercúrio, bem mais leve, quase não se comprime. Corrija isso e os dois trocam de lugar: Mercúrio perto de5.3contra os4.4da Terra. Uma densidade média é uma restrição forte e uma conclusão fraca: exclui aquilo de que um mundo não pode ser feito muito antes de dizer do que é feito.
Problema resolvido na íntegra
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Gravidade superficial a partir da densidade média da Terra de 5,513 g/cm³ e rocha superficial 6 passos
A massa e o raio da Terra dão uma densidade média de 5,513 g/cm³. A rocha à superfície é de cerca de 2,9. Determine o que isso implica e, em seguida, obtenha a gravidade à superfície a partir dos mesmos dois números.
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A densidade média é a massa sobre o volume, e o volume de uma esfera é onde o raio faz o seu trabalho — ao cubo, pelo que um erro de 1% em R é de 3% em ρ.
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Converta para a unidade que os geólogos usam e coloque-a ao lado de uma rocha. O basalto é 2,9, o granito 2,7, e a média da Terra é quase o dobro de ambos.
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A gravidade à superfície a partir dos mesmos dados de entrada. O valor de 9,82 está ligeiramente acima do padrão de 9,80665 porque o valor padrão inclui a rotação e a protuberância equatorial, e esta esfera não tem nenhum dos dois.
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Substitua a densidade de volta na fórmula da gravidade e a massa desaparece. A gravidade à superfície de uma esfera uniforme é proporcional a ρR e a mais nada.
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Teste isso num corpo com uma massa muito diferente. A Lua tem 1,2% da massa da Terra, mas 27% do seu raio e 61% da sua densidade, e a fórmula calcula a sua gravidade corretamente.
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Mais uma linha dá a velocidade de escape, que é a mesma afirmação de energia escrita para um objeto em afastamento em vez de um objeto parado.
Resposta
Isto implica um interior cerca de duas vezes mais denso do que qualquer coisa que se possa pegar. A média é uma média ponderada pelo volume, e a crosta é um erro de arredondamento nesse volume — portanto, se a parte exterior é de 2,9, a parte interior tem de estar muito acima de 5,5 para puxar a média para aí, e o único material cosmicamente abundante com essa densidade é o ferro. Esse único passo aritmético, acessível a qualquer pessoa com o G de Cavendish e um raio médio, é a razão pela qual sabíamos que a Terra tinha um núcleo de ferro muito antes de a sismologia o conseguir ver. Os mesmos dois números dão a gravidade à superfície, e a forma elegante g = (4/3)πGρR mostra que a gravidade depende apenas da densidade e do raio, não da massa — introduzindo os 3340 kg/m³ e 1738 km da Lua, obtém-se 1,62 m/s², que é o valor em que a Apollo caminhou.
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Referências (1)
- Earth's mass and radius, as the nominal values adopted by the IAU: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.